Le funzioni pari e dispari

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Una prima informazione che si può ottenere quando si studiano le funzioni reali di variabile reale, è se esse sono pari o dispari. Una funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è pari se il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$ , mentre è dispari se il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine. Il nome “pari” e “dispari” è dovuto al fatto che la funzione definita da $x^n$ è pari se e solo se $n$ è pari, ed è dispari se e solo se $n$ è dispari.
Nonostante l’informazione sulla parità possa sembrare a prima vista trascurabile, essa consente in alcuni casi di semplificare un problema in maniera determinante per la sua soluzione.
In questo articolo, pensato per studenti dei corsi universitari di Analisi Matematica 1 e per appassionati, esploriamo a fondo le definizioni e alcune delle proprietà a esse collegate, oltre a presentare alcuni esercizi, completamente risolti, per l’applicazione di tali concetti.

Rimandiamo agli articoli per la teoria di base collegata:

Buona lettura!

Sommario

Presentiamo qui un breve articolo sulle funzioni pari e dispari, comprensivo di qualche esercizio sull’argomento.

Autori e revisori

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Autore: Chiara Gambicchia. Revisore: Sergio Fiorucci.

Notazioni

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$\begin{array}{ll} \mathbb{R} & \text{Insieme dei numeri reali}; \\ \mathbb{R}^{\geq 0} & \text{Semiretta dei numeri reali non negativi}; \\ x\in A & \text{L'elemento } x \text{ appartiene all'insieme } A; \\ f\,:\,\mathcal{D}\to \mathbb{R} & \text{Funzione } f \text{ dal dominio } \mathcal{D} \text{ a valori in } \mathbb{R}. \end{array}$

Introduzione

Presentiamo un breve documento sulla parità di funzioni a valori reali. L’idea è quella di partire dalla definizione per dedurne in modo diretto alcune proprietà di semplice dimostrazione, che spesso poi risultano utili nello studio di funzioni e nella teoria dell’integrazione. Leggendo questo documento si troverà:

Nella sezione 1 la definizione di partenza e alcune proprietà facilmente deducibili;
Nella sezione 2 alcuni esercizi con soluzioni.

Definizione e alcune simpatiche proprietà

Partiamo subito con la definizione parità di una funzione.

Definizione 1.1. Sia $f\,:\,\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funzione reale.
Diciamo che $f$ è:

pari se per ogni $x$ in $\mathbb{R}$ vale $f(x)=f(-x)$ ;
dispari se per ogni $x$ in $\mathbb{R}$ vale $f(x)=-f(-x)$ .

Come si può osservare immediatamente dalla definizione appena data, il concetto di parità di una funzione è fortemente legato al fatto che la funzione considerata sia a valori reali, che permettono di dare un significato all’espressione $-f(x)$ . Tuttavia, per discutere la parità di una funzione, non è necessario che questa sia definita su tutta la retta dei numeri reali; ciò che è veramente necessario è che valga la seguente affermazione:

$\text{Sia } \mathcal{D} \subset \mathbb{R} \text{ il dominio della funzione } f, \text{ allora per ogni } x \in \mathcal{D} \text{ si ha che } -x \in \mathcal{D}.$

In sostanza, il concetto di parità di una funzione è fortemente legato alla simmetria del suo dominio di definizione. Nel caso in cui il dominio di definizione sia simmetrico rispetto all’origine, possiamo quindi ridare la definizione di funzione pari o dispari come sopra:

Definizione 1.2. Sia $f\,:\,\mathcal D\to \mathbb{R}$ una funzione reale.
Diciamo che $f$ è:

pari se per ogni $x$ in $\mathcal D$ vale $f(x)=f(-x)$ ;
dispari se per ogni $x$ in $\mathcal D$ vale $f(x)=-f(-x)$ .

Precisiamo che una funzione può anche non presentare alcuna parità: una funzione che non è pari non deve essere necessariamente dispari!

Esempio 1.3. Si osservi la figura 1.

La funzione $f\,:\, \mathbb{R}\to \mathbb R$ data da $f(x)=x^2$ è una funzione pari.

La funzione $f\,:\, \mathbb{R}\to \mathbb R$ data da $f(x)=x^3$ è una funzione dispari.

La funzione $f\,:\, \mathbb{R}\to \mathbb R$ data da $f(x)=x^3-x+1$ non è né pari né dispari.

Una curiosità, che aiuta a ricordare la distinzione tra funzioni pari e dispari è la seguente:

Le funzioni associate alle potenze pari sono funzioni pari;
Le funzioni associate alle potenze dispari sono funzioni dispari.

funzioni pari e dispari

Figura 1: i grafici delle funzioni x → x², x → x³ e x → x³ – x + 1.

In particolare, questo rende molto semplice lo studio della parità dei polinomi, si veda l’esercizio 2.7 nella sezione 2.

Passiamo ora ad esplorare alcune proprietà che si possono dedurre facilmente dalla parità di una funzione.

Il grafico

Sia $f\,:\, \mathcal D\to \mathbb R$ una funzione pari e sia $\Gamma:=\left\{(x,y)\in \mathcal D\times\mathbb R\,:\, y=f(x)\right\}$ il suo grafico. Dalla definizione sappiamo che, se un punto $(x,y)$ appartiene a $\Gamma$ , allora apparterrà a $\Gamma$ anche il punto $(-x,y)$ poiché vale

$f(-x)=f(x)=y.$

Abbiamo dimostrato che il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse delle $y$ .
In maniera del tutto analoga si dimostra che il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine, come si può osservare in figura 2.

Funzioni pari e dispari

Figura 2: si veda in figura la simmetria dei grafici di funzioni pari (in blu) e di funzioni dispari (in viola).

Il valore in $0$

Consideriamo una funzione dispari $f\,:\,\mathcal D\to \mathbb R$ con dominio contenente lo $0$ . Osserviamo allora che necessariamente deve valere $f(0)=0$ . Infatti, sia $y=f(0)$ ; allora per definizione sappiamo che $-y=f(-0)$ , ma dato che $-0=0$ questo implica che

$-y=y,$

che ha come unica soluzione $y=0$ .

Operazioni

Un’altra proprietà facilmente osservabile è il comportamento per somma, che lasciamo come esercizio per il lettore o la lettrice.

Esercizio 1.4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $f,g$ due funzioni a valori reali definite sullo stesso dominio $\mathcal D$ . Dimostrare che:

se sono entrambe funzioni pari, allora la somma $f+g\,:\,\mathcal D\to \mathbb R$ è anch’essa una funzione pari;
se sono entrambe funzioni dispari, allora la somma $f+g\,:\,\mathcal D\to \mathbb R$ è anch’essa una funzione dispari;
se $f$ è pari e $g$ è dispari, non si può dire nulla sulla parità di $f+g$ .

Svolgimento punto 1.

Sotto queste ipotesi sappiamo che per ogni $x\in \mathcal{D}$ si ha

$f(x)=f(-x),\qquad g(x)=g(-x).$

In particolare, sommando le due uguaglianze e usando la definizione di somma di funzioni otteniamo

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(-x),$

che conclude la dimostrazione del primo punto.

Svolgimento punto 2.

Del tutto analogamente al punto precedente, sotto queste ipotesi abbiamo

$f(x)=-f(-x),\qquad g(x)=-g(-x).$

A questo punto, sommando le due uguaglianze e usando la definizione di somma di funzioni otteniamo

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=-f(-x)-g(-x)=-(f+g)(-x),$

che conclude la dimostrazione del secondo punto.

Svolgimento punto 3.

Per questo punto ci basta mostrare un esempio di funzioni che rispettano le ipotesi la cui somma non sia né pari, né dispari.

Siano $f,g: \mathbb R\to \mathbb R$ definite da

$f(x)=\cos x, \qquad g(x)=\sin (x).$

Queste rispettano le ipotesi e la loro somma non ha nessuna parità, come si può vedere per esempio considerando $x=\frac{\pi}{4}$ , dove vale

$f(x)+g(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},$

mentre

$f(-x)+g(-x)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0.$

Questo conclude la dimostrazione dell’ultimo punto e dell’esercizio.

Analogamente è interessante il comportamento della parità di funzioni rispetto al prodotto.

Esercizio 1.5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano $f,g$ due funzioni a valori reali definite sullo stesso dominio $\mathcal D$ . Dimostrare che:

se sono entrambe funzioni pari o entrambe funzioni dispari, allora il prodotto $fg\,:\,\mathcal D\to \mathbb R$ è una funzione pari;
se $f$ è pari e $g$ è dispari, allora il prodotto $fg\,:\,\mathcal D\to \mathbb R$ è una funzione dispari.

Svolgimento punto 1.

Supponiamo che siano entrambe pari. Sotto queste ipotesi sappiamo che per ogni $x\in \mathcal{D}$ si ha

$f(x)=f(-x),\qquad g(x)=g(-x).$

In particolare, quando svolgiamo il prodotto troviamo

$(fg)(x)=f(x)\cdot g(x)=f(-x)\cdot g(-x)=(fg)(-x),$

che conclude la dimostrazione del primo punto nel caso in cui siano entrambe pari. Supponiamo che siano entrambe dispari. Sotto queste ipotesi sappiamo che per ogni $x\in \mathcal{D}$ si ha

$f(x)=-f(-x),\qquad g(x)=-g(-x).$

In particolare, quando svolgiamo il prodotto troviamo

$(fg)(x)=f(x)\cdot g(x)=-f(-x)\cdot (-g(-x))=(fg)(-x),$

che conclude la dimostrazione del primo punto.

Svolgimento punto 2.

Del tutto analogamente al punto precedente, sotto queste ipotesi abbiamo

$f(x)=f(-x),\qquad g(x)=-g(-x).$

A questo punto, quando svolgiamo il prodotto si ha

$(fg)(x)=f(x)g(x)=f(-x)\cdot (-g(-x))=-(fg)(-x),$

che conclude la dimostrazione del secondo punto e dell’esercizio.

Decomposizione in pari $+$ dispari

Una proprietà che a volte risulta utile è la seguente proprietà di decomposizione, valida per funzioni definite su domini simmetrici rispetto all’origine.

Proposizione 1.6. Sia $D\subset \mathbb{R}$ un insieme simmetrico rispetto all’origine e sia $f\,:\,\mathcal D\to \mathbb R$ una funzione. Allora $f$ si può scrivere come somma di una funzione pari (parte pari di $f$ ) e una funzione dispari (parte dispari di $f$ ).

Dimostrazione.

Sia $f$ come nelle ipotesi. Definiamo le funzioni $g,h:\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ come di seguito:

$g(x):=\frac{f(x)+f(-x)}{2},\qquad h(x):=\frac{f(x)-f(-x)}{2},$

per ogni $x\in\mathcal D$ .

Si vede facilmente che per ogni $x\in \mathcal D$ vale $f(x)=g(x)+h(x)$ ; infatti

$g(x)+h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)}{2}=f(x).$

Verifichiamo ora che $g$ è una funzione pari, mentre $h$ è dispari:

$g(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=g(x);$

$h(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-h(x).$

Questo conclude la dimostrazione.

Esempio 1.7. Sia $f:\mathbb R\to \mathbb R$ definita da $f(x)=e^x$ . Possiamo scrivere $f$ come somma di:

Parte pari: $\frac{e^x+e^{-x}}{2}=:\cosh(x)$ ;
Parte dispari: $\frac{e^x-e^{-x}}{2}=:\sinh(x)$ ,

che prendono il nome di coseno iperbolico e seno iperbolico.

Osservazione 8. La proprietà appena dimostrata risulta utile nella teoria dell’integrazione, in quanto può portare ad una riduzione dei calcoli da svolgere. Infatti se si ha $f$ come nelle ipotesi, allora questa si può decomporre comme somma di $g$ pari e $h$ dispari e si ha:

$\int_\mathcal{D} f(x)dx=\int_\mathcal{D} g(x)dx+\int_\mathcal{D} h(x)dx=\int_\mathcal{D} g(x)dx=2\int_{\mathcal{D}\cap \mathbb R^{\geq 0}} g(x)dx.$

Esempio 9. Calcoliamo l’integrale della funzione $f:\mathbb R\to \mathbb R$ definita da $f(x)=e^x$ sull’insieme $\mathcal{D}:=[-3,-1]\cup [1,3]$ :

$\int_\mathcal{D} f(x)dx=\int_\mathcal{D} \cosh(x)dx+\int_\mathcal{D} \sinh(x)dx=2\int_{1}^{3} \cosh(x)dx=2\sinh(3)-2\sinh(1).$

Parità della derivata

Una proprietà curiosa è la seguente.

Proposizione 10. Sia $f:\mathbb R\to \mathbb R$ una funzione pari (risp. dispari) e derivabile su tutto $\mathbb R$ . Allora la sua derivata $f'$ è una funzione dispari (risp. pari).

In sostanza, la parità di una funzione derivabile viene invertita nel passaggio alla derivata.

Funzioni pari e dispari

Figura 3: il grafico di una funzione pari (in blu) e della sua derivata (in lilla).

Vediamone la dimostrazione.

Dimostrazione.

Supponiamo come nelle ipotesi che $f$ sia pari, cioè che per ogni $x\in \mathbb R$ valga

(1) $\begin{equation*} f(x)=f(-x). \end{equation*}$

Derivando entrambi il lati dell’equazione (1) nella variabile $x$ (e usando la regola di derivazione per le funzioni composte) abbiamo

(2) $\begin{equation*} f' (x)=-f' (-x), \end{equation*}$

che corrisponde a dire che $f'$ è dispari.

Passiamo ora al caso di una funzione $f$ dispari, che si tratta in modo del tutto analogo. Infatti sappiamo per definizione che per ogni $x\in \mathbb R$ vale

(3) $\begin{equation*} f(x)=-f(-x). \end{equation*}$

Derivando entrambi il lati dell’equazione (3) nella variabile $x$ (e usando la regola di derivazione per le funzioni composte) abbiamo

(4) $\begin{equation*} f' (x)=-(-f' (-x))=f' (-x), \end{equation*}$

che corrisponde a dire che $f'$ è pari.

Qualche esercizio

Esercizio 2.1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si discuta la parità delle seguenti funzioni, determinandone il dominio.

$f(x)=x^2+5$ ;
$f(x)=\sqrt{x}$ ;
$f(x)=2^{\cos(x)}$ ;
$f(x)=e^{\sin(x)}$ ;
$f(x)=\arctan(x^3-x)$ .

Svolgimento punto 1.

La funzione è definita su tutta la retta $\mathbb R$ . Calcoliamo $f(-x)$ :

$f(-x)=(-x)^2+5=x^2+5=f(x).$

Concludiamo che $f$ è pari.

Svolgimento punto 2.

Il dominio di questa funzione è $\mathcal{D}=\{x\in\mathbb{R}: x\geq 0\}$ , che non è simmetrico, pertanto la funzione $f$ non è né pari né dispari.

Svolgimento punto 3.

La funzione $f$ è definita su tutto $\mathbb{R}$ . Calcoliamo $f(-x)$ :

$f(-x)=2^{\cos(-x)}=2^{\cos(x)}=f(x).$

Concludiamo che $f$ è pari.

Svolgimento punto 4.

La funzione $f$ è definita su tutto $\mathbb{R}$ . Calcoliamo $f(-x)$ :

$f(-x)=e^{\sin(-x)}=e^{-\sin(x)}=\frac{1}{f(x)}.$

Concludiamo che $f$ non è pari, né dispari.

Svolgimento punto 5.

La funzione $f$ è definita su tutto $\mathbb{R}$ . Calcoliamo $f(-x)$ :

$f(-x)=\arctan((-x)^3-(-x))=\arctan(-(x^3-x))=-\arctan(x^3-x)=-f(x).$

Concludiamo che $f$ è dispari.

Esercizio 2.2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Discutere la parità della somma delle seguenti coppie di funzioni.

$f(x)=x^2+3$ , $g(x)=-2x^3+x$ ;
$f(x)=\sqrt[3]{x}$ , $g(x)=-\sqrt[9]{x}$ ;
$f(x)=2\sqrt{x^2}$ , $g(x)=-x\sin(x)$ ;
$f(x)=xe^{\cos(x)}$ , $g(x)=-5\sin(x)$ ;
$f(x)=\tan(x^2)$ , $g(x)=-x^2\tan^2(x)$ , ristrette a $\mathcal{D}=\left(-\frac{\sqrt{2\pi}}{2},\frac{\sqrt{2\pi}}{2}\right)$ .

Svolgimento punto 1.

Entrambe le funzioni sono definite su tutta la retta $\mathbb R$ . Osserviamo che

$f(-x)=(-x)^2+5=x^2+3=f(x),$

mentre

$g(-x)=-2(-x)^3-x=-(2x^3+x)=-g(x).$

Dunque $f$ è una funzione pari, ma $g$ è dispari; pertanto a priori non possiamo concludere nulla sulla parità della loro somma. In effetti, si verifica per esempio che in $x=2$ si ha

$(f+g)(2)=4+3-16+2=-7,\qquad (f+g)(-2)=4+3+16-2=21,$

che ci porta alla conclusione che $f+g$ non abbia parità.

Svolgimento punto 2.

Osserviamo che:

$f(-x)=\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}=-f(x),$

$g(-x)=\sqrt[9]{-x}=-\sqrt[3]{x}=-g(x).$

Dunque sia $f$ che $g$ sono funzioni dispari; pertanto la loro somma è anch’essa una funzione dispari.

Svolgimento punto 3.

Entrambe le funzioni sono definite su tutta la retta $\mathbb R$ . Osserviamo che

$f(-x)=2\sqrt{(-x)^2}=2\sqrt{x^2}=f(x),$

$g(-x)=-(-x)\sin(-x)=-x\sin(x)=g(x).$

Dunque $f$ è una funzione pari, così come $g$ ; questo ci porta alla conclusione che sia pari anche la loro somma $f+g$ .

Svolgimento punto 4.

Entrambe le funzioni sono definite su tutta la retta $\mathbb R$ . Calcoliamo $f(-x)$ :

$f(-x)=-xe^{\cos(-x)}=-xe^{\cos(x)}=-f(x).$

D’altra parte

$g(-x)=-5\sin(-x)=5\sin(x)=-g(x).$

Abbiamo visto che sia $f$ che $g$ sono funzioni dispari, pertanto la loro somma resta una funzione dispari.

Svolgimento punto 5.

Studiamo la parità delle due funzioni separatamente. Calcoliamo $f(-x)$ :

$f(-x)=\tan((-x)^2)=\tan(x^2)=f(x).$

Calcoliamo ora $g(-x)$ :

$g(-x)=-(-x)^2\tan^2(-x)=-x^2(-\tan^2(x))=g(x).$

Dunque $f$ è una funzione pari, così come $g$ e, di conseguenza, anche la loro somma $f+g$ .

Esercizio 2.3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Discutere la parità del prodotto delle seguenti coppie di funzioni.

$f(x)=x^2+3$ , $g(x)=-2x^3+x$ ;
$f(x)=\sqrt[3]{x}$ , $g(x)=-\sqrt[9]{x}$ ;
$f(x)=2\sqrt{x^2}$ , $g(x)=-x\sin(x)$ ;
$f(x)=xe^{\cos(x)}$ , $g(x)=-5\sin(x)$ ;
$f(x)=\tan(x^2)$ , $g(x)=-x^2\tan^3(x)$ , ristrette a $\mathcal{D}=\left(-\frac{\sqrt{2\pi}}{2},\frac{\sqrt{2\pi}}{2}\right)$ .

Svolgimento punto 1.

Entrambe le funzioni sono definite su tutta la retta $\mathbb R$ . Osserviamo che

$f(-x)=(-x)^2+5=x^2+3=f(x),$

mentre

$g(-x)=-2(-x)^3-x=-(2x^3+x)=-g(x).$

Dunque $f$ è una funzione pari e $g$ è dispari e possiamo concludere che il loro prodotto sia una funzione dispari.

Svolgimento punto 2.

Osserviamo che:

$f(-x)=\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}=-f(x),$

$g(-x)=\sqrt[9]{-x}=-\sqrt[3]{x}=-g(x).$

Dunque sia $f$ che $g$ sono funzioni dispari; pertanto il loro prodotto è una funzione pari.

Svolgimento punto 3.

Entrambe le funzioni sono definite su tutta la retta $\mathbb R$ . Osserviamo che

$f(-x)=2\sqrt{(-x)^2}=2\sqrt{x^2}=f(x),$

$g(-x)=-(-x)\sin(-x)=-x\sin(x)=g(x).$

Dunque $f$ è una funzione pari, così come $g$ ; questo ci porta alla conclusione che sia pari anche il loro prodotto $fg$ .

Svolgimento punto 4.

Entrambe le funzioni sono definite su tutta la retta $\mathbb R$ . Calcoliamo $f(-x)$ :

$f(-x)=-xe^{\cos(-x)}=-xe^{\cos(x)}=-f(x).$

D’altra parte

$g(-x)=-5\sin(-x)=5\sin(x)=-g(x).$

Abbiamo visto che sia $f$ che $g$ sono funzioni dispari, pertanto il loro prodotto è una funzione pari.

Svolgimento punto 5.

Studiamo la parità delle due funzioni separatamente. Calcoliamo $f(-x)$ :

$f(-x)=\tan((-x)^2)=\tan(x^2)=f(x).$

Calcoliamo ora $g(-x)$ :

$g(-x)=-(-x)^2\tan^3(-x)=-x^2(-\tan^3(x))=x^2(\tan^3(x))=-g(x).$

Dunque $f$ è una funzione pari, mentre $g$ è dispari; di conseguenza, possiamo concludere che il loro prodotto è una funzione dispari.

Esercizio 2.4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Scrivere le seguenti funzioni come somma di una funzione pari e una dispari.

$f(x)=(x-1)^2+5$ ;
$f(x)=\log(x^2+1)+5x$ ;
$f(x)=\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ ;
$f(x)=|3x+2|-1$ ;

Svolgimento punto 1.

Osserviamo che

$f(x)=x^2-2x+1+5=(x^2+6)-2x.$

Notiamo che se definiamo $g$ e $h$ come

$g(x)=x^2+6,\qquad h(x)=-2x,$

allora risulta $g$ pari, $h$ dispari e $f=g+h$ .

Svolgimento punto 2.

Osserviamo intanto che $f$ è definita su tutto $\mathbb{R}$ ; inoltre notiamo che la funzione $g$ definita come

$g(x)=\log(x^2+1)$

risulta essere pari. D’altra parte la funzione $h$ definita da

$h(x)=5x,$

è dispari. Dato che $f=g+h$ , abbiamo concluso l’esercizio.

Svolgimento punto 3.

Possiamo decomporre la funzione $f$ come nella dimostrazione della proposizione 1.6. Iniziamo dalla parte pari di $f$ :

$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{1}{2}\left(\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(-x+\frac{\pi}{3}\right)\right)=\frac{1}{2}\left(\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right).$

Definiamo anche la parte dispari $h$ :

$h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{1}{2}\left(\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(-x+\frac{\pi}{3}\right)\right)=\frac{1}{2}\left(\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right).$

Svolgimento punto 4.

Possiamo decomporre la funzione $f$ come nella dimostrazione della proposizione 1.6. Iniziamo dalla parte pari di $f$ :

$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{1}{2}\left(|3x+2|-1+|-3x+2|-1\right)=\frac{|3x+2|+|2-3x|}{2}-1.$

Definiamo anche la parte dispari $h$ :

$h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}=\frac{1}{2}\left(|3x+2|-1-|-3x+2|+1\right)=\frac{|3x+2|-|2-3x|}{2}.$

Esercizio 2.5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $f\,:\,\mathbb R\to \mathbb R$ una funzione a valori reali.
Dimostrare che la funzione $g\,:\,\mathbb R\to \mathbb R$ definita da

$g(x)=f(|x|)$

è una funzione pari.

Svolgimento.

Osserviamo che per ogni $x\in\mathbb R$ si ha

$|x|=|-x|.$

Pertanto possiamo dedurre che per ogni $x$ reale

$g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x),$

cioè la funzione $g$ è pari.

Osservazione 2.6. Esattamente con lo stesso procedimento, si può mostrare che più in generale valgono i seguenti princìpi per la parità di funzioni composte. Siano $f,g\,:\,\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ due funzioni reali; allora

se $f$ e $g$ sono funzioni pari, allora $f\circ g$ è una funzione pari;
se $f$ e $g$ sono funzioni dispari, allora $f\circ g$ è una funzione dispari;
se $f$ è pari e $g$ è dispari, allora sia $f\circ g$ che $g\circ f$ sono funzioni pari.

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia $p\,:\,\mathbb{R}\to \mathbb R$ una funzione polinomiale, cioè tale che esistono dei coefficienti $a_0,a_1,\dots, a_n$ tali che per ogni $x\in \mathbb{R}$

$p(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k.$

Dimostrare che $p$ è una funzione pari (risp. dispari) se e solo se nella scrittura polinomiale compaiono solo potenze pari (risp. dispari).

Svolgimento.

Scriviamo lo svolgimento nel caso di una funzione pari, essendo del tutto analogo nel caso dispari. Svolgiamo le due implicazioni separatamente.

Se: vediamo che se compaiono solo potenze pari, allora la funzione $p$ è pari. Per $k=2m$ intero pari, notiamo che

$x^k=(x^m)^2=(-x^m)^2=(-x)^k.$

e In paricolare, sommando queste uguaglianze per tutte le potenze che compaiono nella scrittura di $p$ troviamo

$p(x)=\sum_{m=0}^{n/2} a_{2m} x^{2m}=\sum_{m=0}^{n/2} a_{2m} (-x)^{2m}=p(-x).$

Solo se: supponiamo di sapere che $p$ è una funzione polinomiale pari e suddividiamo le potenze tra pari e dispari

$p(x)=\sum_{k \text{ pari}}^{n/2} a_k x^{k}+\sum_{k \text{ dispari}}^{n} a_k x^{k}= P(x)+D(x).$

Vogliamo dimostrare che $D(x)=0$ per ogni $x\in \mathbb R$ . Per ipotesi sappiamo che per ogni $x$ vale $p(x)=p(-x)$ . Inoltre per il punto precedente, dato che in $P$ compaiono solo potenze pari e in $D$ compaiono solo potenze dispari, sappiamo che

$P(x)=P(-x)\qquad D(x)=-D(-x).$

Pertanto abbiamo per ogni $x$

$P(-x)+D(-x)=p(-x)=p(x)=P(x)+D(x)=P(-x)-D(-x),$

che è vero se e solo se $D(x)=0$ per ogni $x$ reale.

Riferimenti bibliografici

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[1] Gobbino, M., Analisi matematica 1, dispense

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MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

Document

Le funzioni pari e dispari

Sommario

Autori e revisori

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Notazioni

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Introduzione

Definizione e alcune simpatiche proprietà

Il grafico

Il valore in

Operazioni

Svolgimento punto 1.

Svolgimento punto 2.

Svolgimento punto 3.

Svolgimento punto 1.

Svolgimento punto 2.

Decomposizione in pari dispari

Dimostrazione.

Parità della derivata

Dimostrazione.

Qualche esercizio

Svolgimento punto 1.

Svolgimento punto 2.

Svolgimento punto 3.

Svolgimento punto 4.

Svolgimento punto 5.

Svolgimento punto 1.

Svolgimento punto 2.

Svolgimento punto 3.

Svolgimento punto 4.

Svolgimento punto 5.

Svolgimento punto 1.

Svolgimento punto 2.

Svolgimento punto 3.

Svolgimento punto 4.

Svolgimento punto 5.

Svolgimento punto 1.

Svolgimento punto 2.

Svolgimento punto 3.

Svolgimento punto 4.

Svolgimento.

Svolgimento.

Riferimenti bibliografici

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Tutta la teoria di analisi matematica

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Tutte le cartelle di Analisi Matematica

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Tutti gli esercizi di geometria

Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Il valore in $0$

Decomposizione in pari $+$ dispari