Funzioni pari e dispari: definizioni, proprietà ed esercizi svolti

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Una prima informazione che si può ottenere quando si studiano le funzioni reali di variabile reale, è se esse sono pari o dispari. Una funzione $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è pari se il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse $y$ , mentre è dispari se il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine. Il nome “pari” e “dispari” è dovuto al fatto che la funzione definita da $x^n$ è pari se e solo se $n$ è pari, ed è dispari se e solo se $n$ è dispari.
Nonostante l’informazione sulla parità possa sembrare a prima vista trascurabile, essa consente in alcuni casi di semplificare un problema in maniera determinante per la sua soluzione.
In questo articolo, pensato per studenti dei corsi universitari di Analisi Matematica 1 e per appassionati, esploriamo a fondo le definizioni e alcune delle proprietà a esse collegate, oltre a presentare alcuni esercizi, completamente risolti, per l’applicazione di tali concetti.

Rimandiamo agli articoli per la teoria di base collegata:

Buona lettura!

Sommario

Presentiamo qui un breve articolo sulle funzioni pari e dispari, comprensivo di qualche esercizio sull’argomento.

Autori e revisori

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Autore: Chiara Gambicchia. Revisore: Sergio Fiorucci.

Notazioni

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$\begin{array}{ll} \mathbb{R} & \text{Insieme dei numeri reali}; \\ \mathbb{R}^{\geq 0} & \text{Semiretta dei numeri reali non negativi}; \\ x\in A & \text{L'elemento } x \text{ appartiene all'insieme } A; \\ f\,:\,\mathcal{D}\to \mathbb{R} & \text{Funzione } f \text{ dal dominio } \mathcal{D} \text{ a valori in } \mathbb{R}. \end{array}$

Introduzione

Presentiamo un breve documento sulla parità di funzioni a valori reali. L’idea è quella di partire dalla definizione per dedurne in modo diretto alcune proprietà di semplice dimostrazione, che spesso poi risultano utili nello studio di funzioni e nella teoria dell’integrazione. Leggendo questo documento si troverà:

Nella sezione 1 la definizione di partenza e alcune proprietà facilmente deducibili;
Nella sezione 2 alcuni esercizi con soluzioni.

Definizione e alcune simpatiche proprietà

Partiamo subito con la definizione parità di una funzione.

Definizione 1.1. Sia $f\,:\,\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funzione reale.
Diciamo che $f$ è:

pari se per ogni $x$ in $\mathbb{R}$ vale $f(x)=f(-x)$ ;
dispari se per ogni $x$ in $\mathbb{R}$ vale $f(x)=-f(-x)$ .

Come si può osservare immediatamente dalla definizione appena data, il concetto di parità di una funzione è fortemente legato al fatto che la funzione considerata sia a valori reali, che permettono di dare un significato all’espressione $-f(x)$ . Tuttavia, per discutere la parità di una funzione, non è necessario che questa sia definita su tutta la retta dei numeri reali; ciò che è veramente necessario è che valga la seguente affermazione:

$\text{Sia } \mathcal{D} \subset \mathbb{R} \text{ il dominio della funzione } f, \text{ allora per ogni } x \in \mathcal{D} \text{ si ha che } -x \in \mathcal{D}.$

In sostanza, il concetto di parità di una funzione è fortemente legato alla simmetria del suo dominio di definizione. Nel caso in cui il dominio di definizione sia simmetrico rispetto all’origine, possiamo quindi ridare la definizione di funzione pari o dispari come sopra:

Definizione 1.2. Sia $f\,:\,\mathcal D\to \mathbb{R}$ una funzione reale.
Diciamo che $f$ è:

pari se per ogni $x$ in $\mathcal D$ vale $f(x)=f(-x)$ ;
dispari se per ogni $x$ in $\mathcal D$ vale $f(x)=-f(-x)$ .

Precisiamo che una funzione può anche non presentare alcuna parità: una funzione che non è pari non deve essere necessariamente dispari!

Esempio 1.3. Si osservi la figura 1.

La funzione $f\,:\, \mathbb{R}\to \mathbb R$ data da $f(x)=x^2$ è una funzione pari.

La funzione $f\,:\, \mathbb{R}\to \mathbb R$ data da $f(x)=x^3$ è una funzione dispari.

La funzione $f\,:\, \mathbb{R}\to \mathbb R$ data da $f(x)=x^3-x+1$ non è né pari né dispari.

Una curiosità, che aiuta a ricordare la distinzione tra funzioni pari e dispari è la seguente:

Le funzioni associate alle potenze pari sono funzioni pari;
Le funzioni associate alle potenze dispari sono funzioni dispari.

funzioni pari e dispari

Figura 1: i grafici delle funzioni x → x², x → x³ e x → x³ – x + 1.

In particolare, questo rende molto semplice lo studio della parità dei polinomi, si veda l’esercizio 2.7 nella sezione 2.

Passiamo ora ad esplorare alcune proprietà che si possono dedurre facilmente dalla parità di una funzione.

Il grafico

Sia $f\,:\, \mathcal D\to \mathbb R$ una funzione pari e sia $\Gamma:=\left\{(x,y)\in \mathcal D\times\mathbb R\,:\, y=f(x)\right\}$ il suo grafico. Dalla definizione sappiamo che, se un punto $(x,y)$ appartiene a $\Gamma$ , allora apparterrà a $\Gamma$ anche il punto $(-x,y)$ poiché vale

$f(-x)=f(x)=y.$

Abbiamo dimostrato che il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse delle $y$ .
In maniera del tutto analoga si dimostra che il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine, come si può osservare in figura 2.

Funzioni pari e dispari

Figura 2: si veda in figura la simmetria dei grafici di funzioni pari (in blu) e di funzioni dispari (in viola).

Il valore in $0$

Consideriamo una funzione dispari $f\,:\,\mathcal D\to \mathbb R$ con dominio contenente lo $0$ . Osserviamo allora che necessariamente deve valere $f(0)=0$ . Infatti, sia $y=f(0)$ ; allora per definizione sappiamo che $-y=f(-0)$ , ma dato che $-0=0$ questo implica che