Teorema del Dini

Teorema del Dini, Teoria Funzioni di più variabili

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Il teorema del Dini, dovuto al matematico italiano Ulisse Dini (1845-1918), e detto anche della funzione implicita, riguarda le proprietà dei punti del piano che risolvono un’equazione implicita del tipo $F(x,y)=0$ : esso afferma che, sotto opportune condizioni, tale insieme localmente coincide col grafico di una funzione di una delle variabili, $y=f(x)$ oppure $x=g(y)$ .
Ad esempio, la circonferenza di equazione implicita $F(x,y)=x^2+y^2-1=0$ è descritta, nell’intorno di ogni suo punto, anche dal grafico di una funzione della variabile $x$ o $y$ , a seconda del punto considerato. Il teorema è quindi di estrema utilità, quando l’espressione di tale funzione appunto implicita non è facilmente ricavabile.
In questo articolo presentiamo il teorema e la sua dimostrazione, oltre ad alcuni esempi e a un suo corollario: il teorema della funzione inversa, che afferma, sotto determinate ipotesi, l’invertibilità locale di una funzione $F \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ .

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Buona lettura!

Autori e revisori

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Autori: Chiara Bellotti

Revisori: Matteo Talluri.

$\quad$

In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria, il Teorema di Dini è un importante strumento che stabilisce quando il luogo di zeri di un’equazione della forma

(1) $\begin{equation*} F(x,y)=0 \end{equation*}$

costituisce il grafico di una funzione, ovvero quando si può esplicitare una variabile rispetto ad un’altra. Nella letteratura il risultato è noto anche come “Teorema della funzione implicita”, nel caso particolare di due variabili, mentre in Italia esso è generalmente noto come Teorema di Dini, in onore del matematico Ulisse Dini che contribuì a darne la formulazione.

Nel seguito enunciamo e diamo la dimostrazione del teorema della funzione implicita in due variabili.

Teorema 1 (della funzione implicita in $\mathbb{R}^2$ o di Dini). Siano $A\subseteq \mathbb{R}^2$ un aperto, $F: A \to \mathbb{R}$ una funzione tale che $F\in C^1(A; \mathbb{R})$ e inoltre sia

$Z = \{ (x,y) \in A : F(x,y) = 0 \}\neq \varnothing.$

Per ogni $(x_0,y_0) \in Z$ tale che $\nabla F(x_0,y_0) \ne (0,0)$ , esiste un intorno aperto $U$ di $(x_0,y_0)$ con¹ $\overline{U} \subset A$ tale che $Z \cap U$ è il grafico di una funzione di classe $C^1.$

Più precisamente, valgono le seguenti affermazioni.

$\quad$

Se $F_y(x_0,y_0) \ne 0$ allora esistono un intorno aperto $V$ di $x_0$ , un intorno aperto $W$ di $y_0$ e una funzione $f: V \to W$ tali che
$Z \cap (V \times W) = \{ (x, f(x)) : x \in V \}.$

Inoltre $f$ è di classe $C^1$ e vale

$f' (x) = - \frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))} \quad \forall x \in V.$

Se $F_x(x_0,y_0) \ne 0$ allora esistono un intorno aperto $V$ di $x_0$ , un intorno aperto $W$ di $y_0$ e una funzione $g: W \to V$ tali che
$Z \cap (V \times W) = \{ (g(y), y) : y \in W \}.$

Inoltre $g$ è di classe $C^1$ e vale

$g' (y) = - \frac{F_y (g(y), y)}{F_x( g(y), y)} \quad \forall y \in W.$

La chiusura $\overline{U}$ di $U$ è presa in $\mathbb{R}^2$ . ↩

Introduzione.

Osserviamo che il teorema si può riformulare nel seguente problema: data una soluzione $(x_0,y_0)$ dell’equazione (1), esiste un intorno rettangolare $V \times W$ di $(x_0,y_0)$ per cui valga

$F(x,y) = 0 \;\Leftrightarrow \; \begin{cases} y = f(x) , \mbox{ per ogni } x \in V, \mbox{ oppure} \\ x=g(y), \mbox{ per ogni } y \in W? \end{cases}$

La funzione $f$ (risp. $g$ ), se esiste, è detta funzione implicita associata all’equazione (1) nell’intorno $V \times W$ di $(x_0,y_0)$ .

Prima di passare alla dimostrazione facciamo alcune osservazioni.

$\quad$

Sotto le ipotesi del teorema precedente, si deve avere necessariamente $f(x_0)=y_0$ (risp. $g(y_0)=x_0$ ).

La condizione $\nabla F(x_0,y_0) \ne (0,0)$ è sufficiente a garantire l’esistenza di una funzione implicita, ma non è necessaria. Infatti, si osservi ad esempio che l’equazione $F(x,y)=0$ , dove

$F(x,y)=y^2-2yx^2+ x^4,$

descrive implicitamente la funzione $f(x)=x^2$ in un intorno di $(0,0)$ , come si vede facilmente scrivendo $F(x,y)=(y-x^2)^2$ . Nonostante questo, si ha $\nabla F(0,0) = (0,0)$ .

Se contemporaneamente abbiamo
$F_x(x_0,y_0) \ne 0 \qquad \text{e} \qquad F_y(x_0,y_0) \ne 0,$

allora c’è un intorno $U$ di $(x_0,y_0)$ tale per cui $Z \cap U$ è sia il grafico di $f$ che quello di $g$ e vale $g = f^{-1}$ .

L’espressione delle derivate di $f$ e $g$ può essere ricavata derivando rispetto a $x$ l’identità $F(x,f(x)) = 0$ e rispetto a $y$ l’identità $F(g(y),y) = 0$ .

Risulta chiaro dalla dimostrazione che se $F$ è di classe $C^k$ lo sono anche le funzioni $f$ e $g$ , dove definite.

La retta tangente al grafico della funzione implicita nel punto $(x_0,y_0)$ è data da
$F_x(x_0,y_0)(x-x_0) + F_y(x_0,y_0)(y-y_0) = 0.$

Infatti, la otteniamo sostituendo le espressioni di $f'$ e $g'$ date dal teorema in entrambe le rette

$y = y_0 + f'(x_0)(x-x_0) \qquad \mbox{e} \qquad x = x_0 + g'(y_0)(y-y_0).$

D’altro canto questo era prevedibile perché sappiamo che, quando il gradiente di $F$ non è nullo, esso è ortogonale alle curve di livello di $F$ , e quindi in particolare è ortogonale al grafico della funzione implicita descritta dall’equazione $F(x,y)=0$ .