Teorema del Dini

Teorema del Dini, Teoria Funzioni di più variabili

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Il teorema del Dini, dovuto al matematico italiano Ulisse Dini (1845-1918), e detto anche della funzione implicita, riguarda le proprietà dei punti del piano che risolvono un’equazione implicita del tipo $F(x,y)=0$ : esso afferma che, sotto opportune condizioni, tale insieme localmente coincide col grafico di una funzione di una delle variabili, $y=f(x)$ oppure $x=g(y)$ .
Ad esempio, la circonferenza di equazione implicita $F(x,y)=x^2+y^2-1=0$ è descritta, nell’intorno di ogni suo punto, anche dal grafico di una funzione della variabile $x$ o $y$ , a seconda del punto considerato. Il teorema è quindi di estrema utilità, quando l’espressione di tale funzione appunto implicita non è facilmente ricavabile.
In questo articolo presentiamo il teorema e la sua dimostrazione, oltre ad alcuni esempi e a un suo corollario: il teorema della funzione inversa, che afferma, sotto determinate ipotesi, l’invertibilità locale di una funzione $F \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ .

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Buona lettura!

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Autori: Chiara Bellotti

Revisori: Matteo Talluri.

$\quad$

In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria, il Teorema di Dini è un importante strumento che stabilisce quando il luogo di zeri di un’equazione della forma

(1) $\begin{equation*} F(x,y)=0 \end{equation*}$

costituisce il grafico di una funzione, ovvero quando si può esplicitare una variabile rispetto ad un’altra. Nella letteratura il risultato è noto anche come “Teorema della funzione implicita”, nel caso particolare di due variabili, mentre in Italia esso è generalmente noto come Teorema di Dini, in onore del matematico Ulisse Dini che contribuì a darne la formulazione.

Nel seguito enunciamo e diamo la dimostrazione del teorema della funzione implicita in due variabili.

Teorema 1 (della funzione implicita in $\mathbb{R}^2$ o di Dini). Siano $A\subseteq \mathbb{R}^2$ un aperto, $F: A \to \mathbb{R}$ una funzione tale che $F\in C^1(A; \mathbb{R})$ e inoltre sia

$Z = \{ (x,y) \in A : F(x,y) = 0 \}\neq \varnothing.$

Per ogni $(x_0,y_0) \in Z$ tale che $\nabla F(x_0,y_0) \ne (0,0)$ , esiste un intorno aperto $U$ di $(x_0,y_0)$ con¹ $\overline{U} \subset A$ tale che $Z \cap U$ è il grafico di una funzione di classe $C^1.$

Più precisamente, valgono le seguenti affermazioni.

$\quad$

Se $F_y(x_0,y_0) \ne 0$ allora esistono un intorno aperto $V$ di $x_0$ , un intorno aperto $W$ di $y_0$ e una funzione $f: V \to W$ tali che
$Z \cap (V \times W) = \{ (x, f(x)) : x \in V \}.$

Inoltre $f$ è di classe $C^1$ e vale

$f' (x) = - \frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))} \quad \forall x \in V.$

Se $F_x(x_0,y_0) \ne 0$ allora esistono un intorno aperto $V$ di $x_0$ , un intorno aperto $W$ di $y_0$ e una funzione $g: W \to V$ tali che
$Z \cap (V \times W) = \{ (g(y), y) : y \in W \}.$

Inoltre $g$ è di classe $C^1$ e vale

$g' (y) = - \frac{F_y (g(y), y)}{F_x( g(y), y)} \quad \forall y \in W.$

La chiusura $\overline{U}$ di $U$ è presa in $\mathbb{R}^2$ . ↩

Introduzione.

Osserviamo che il teorema si può riformulare nel seguente problema: data una soluzione $(x_0,y_0)$ dell’equazione (1), esiste un intorno rettangolare $V \times W$ di $(x_0,y_0)$ per cui valga

$F(x,y) = 0 \;\Leftrightarrow \; \begin{cases} y = f(x) , \mbox{ per ogni } x \in V, \mbox{ oppure} \\ x=g(y), \mbox{ per ogni } y \in W? \end{cases}$

La funzione $f$ (risp. $g$ ), se esiste, è detta funzione implicita associata all’equazione (1) nell’intorno $V \times W$ di $(x_0,y_0)$ .

Prima di passare alla dimostrazione facciamo alcune osservazioni.

$\quad$

Sotto le ipotesi del teorema precedente, si deve avere necessariamente $f(x_0)=y_0$ (risp. $g(y_0)=x_0$ ).

La condizione $\nabla F(x_0,y_0) \ne (0,0)$ è sufficiente a garantire l’esistenza di una funzione implicita, ma non è necessaria. Infatti, si osservi ad esempio che l’equazione $F(x,y)=0$ , dove

$F(x,y)=y^2-2yx^2+ x^4,$

descrive implicitamente la funzione $f(x)=x^2$ in un intorno di $(0,0)$ , come si vede facilmente scrivendo $F(x,y)=(y-x^2)^2$ . Nonostante questo, si ha $\nabla F(0,0) = (0,0)$ .

Se contemporaneamente abbiamo
$F_x(x_0,y_0) \ne 0 \qquad \text{e} \qquad F_y(x_0,y_0) \ne 0,$

allora c’è un intorno $U$ di $(x_0,y_0)$ tale per cui $Z \cap U$ è sia il grafico di $f$ che quello di $g$ e vale $g = f^{-1}$ .

L’espressione delle derivate di $f$ e $g$ può essere ricavata derivando rispetto a $x$ l’identità $F(x,f(x)) = 0$ e rispetto a $y$ l’identità $F(g(y),y) = 0$ .

Risulta chiaro dalla dimostrazione che se $F$ è di classe $C^k$ lo sono anche le funzioni $f$ e $g$ , dove definite.

La retta tangente al grafico della funzione implicita nel punto $(x_0,y_0)$ è data da
$F_x(x_0,y_0)(x-x_0) + F_y(x_0,y_0)(y-y_0) = 0.$

Infatti, la otteniamo sostituendo le espressioni di $f'$ e $g'$ date dal teorema in entrambe le rette

$y = y_0 + f'(x_0)(x-x_0) \qquad \mbox{e} \qquad x = x_0 + g'(y_0)(y-y_0).$

D’altro canto questo era prevedibile perché sappiamo che, quando il gradiente di $F$ non è nullo, esso è ortogonale alle curve di livello di $F$ , e quindi in particolare è ortogonale al grafico della funzione implicita descritta dall’equazione $F(x,y)=0$ .

Dimostrazione.

Costruzione della funzione implicita.
Supponiamo che valga $F_y(x_0,y_0) \ne 0$ (il caso $F_x \ne 0$ è analogo scambiando i ruoli di $x$ e $y$ ). Per continuità delle derivate parziali, esiste un intorno rettangolare $V_0 \times W$ di $(x_0,y_0)$ la cui chiusura è contenuta in $A$ e per cui $F_y(x,y) \ne 0$ per ogni $(x,y)$ nella chiusura di tale rettangolo. A meno di scambiare $F$ con $-F$ (operazione che lascia invariato il luogo di zeri di $F$ ) si può supporre che $F_y >0$ in $\overline{V_0 \times W}$ . Inoltre, senza perdita di generalità, possiamo suppore $W = (y_0 -k, y_0 +k)$ per qualche $k>0$ . Consideriamo ora la restrizione di $F$ lungo la retta $x = x_0$ . La funzione $y \mapsto F(x_0,y)$ è una funzione strettamente crescente e nulla per $y = y_0$ . Dunque

$F(x_0,y) > 0 \quad y \in(y_0, y_0 + k),$

$F(x_0,y) < 0 \quad y \in(y_0 - k, y_0).$

D’altro canto, per il teorema della permanenza del segno, deve esistere un intorno $V =(x_0 -h, x_0+h) \subset V_0$ tale che per ogni $x \in V$ risulti

$F(x, y_0 +k) > 0, \qquad F(x, y_0 -k) < 0 .$

Fissiamo ora $x \in V$ arbitrario e consideriamo la funzione su $W$ definita da $y \mapsto F(x,y)$ . Dato che $F_y > 0$ in $V\times W$ e

$F(x, y_0 +k) > 0, \qquad F(x, y_0 -k) < 0$

esiste un unico $y$ tale che $F(x,y) = 0$ . Denotiamo tale $y$ , che dipende da $x$ scelto arbitrariamente in $V$ , come $y = f(x)$ . Per costruzione abbiamo che per ogni $(x,y) \in V \times W$ si ha

$F(x,y) = 0 \;\Leftrightarrow \;y = f(x).$

Osserviamo che il teorema garantisce l’esistenza di tale funzione ma non dà un algoritmo per trovarla esplicitamente, cosa che in generale è molto complicata.

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

$\quad$

La funzione implicita è di classe $\bm{C^1}$ .
Per concludere bisogna dimostrare che $f \in C^1(V)$ . Per prima cosa dimostriamo che $f$ è continua. Sia $x\in V$ e supponiamo per assurdo che $f(x') \not\to f(x)$ per $x' \to x$ . Allora, per la limitatezza di $f$ , esiste una successione $\{x_n\} \subset V$ tale che $x_n \to x$ e $f(x_n) \to l \neq f(x)$ per $n \to +\infty$ . Concludiamo dalla continuità di $F$ che $0=F(x_n,f(x_n)) \to F(x,l)$ per $n \to +\infty$ . Questo è assurdo perché abbiamo $F(x,l)=F(x,f(x))=0$ e per costruzione per ogni $x \in V$ esiste un unico $y$ tale che $F(x,y)=0$ .

Scegliamo ora due punti distinti $x, x' \in V$ e consideriamo la funzione $G:[0,1] \to \mathbb{R}$ data da

$G(t) = F(x + t(x' - x), \,f(x) + t( f(x') -f(x) ) ),$

che per ipotesi soddisfa $G \in C^0([0,1])\cap C^1(0,1)$ .

Dato che $F(x, f(x)) = 0 \quad \forall x \in V$ e dunque $G(0) = G(1) = 0$ , per il Teorema di Rolle esiste $s \in (0,1)$ tale che

(2) $\begin{equation*} 0 = G'(s) = F_x(\xi, \eta)(x'-x) + F_y(\xi, \eta)(f(x') - f(x)) \end{equation*}$

con

$(\xi, \eta) = (x + s(x' - x), f(x) + s( f(x') -f(x) ) )$

un punto sul segmento di estremi $(x, f(x))$ e $(x', f(x'))$ . Dato che $V \times W$ è un rettangolo (dunque, in particolare, è convesso) se ne deduce che $(\xi, \eta) \in V \times W$ . Inoltre, essendo $F_y(\xi, \eta) > 0$ , da (2) otteniamo

$|f(x') - f(x)| = \left\vert \frac{ F_x(\xi, \eta)}{ F_y(\xi, \eta)}(x' - x) \right\vert \leq \frac{M}{m}\left\vert x'-x \right\vert$

dove $M$ è il massimo di $|F_x|$ e $m>0$ il minimo di $F_y$ sul compatto $\overline{V\times W}.$ Questo dimostra la lipschitzianità e quindi la continuità di $f$ .

Concludiamo facendo tendere $x'$ a $x$ . Abbiamo per costruzione che $\xi \to x$ e per continuità di $f$ che $\eta \to f(x)$ , dunque di nuovo per (2) si ha:

$\lim_{x' \to x} \frac{f(x')- f(x)}{x'-x} = \lim_{x' \to x} - \frac{ F_x(\xi, \eta)}{ F_y(\xi, \eta)} = - \frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))},$

ovvero $f$ è derivabile e vale

$f' (x) = - \frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}.$

La dimostrazione si conclude osservando che il secondo membro è per ipotesi una funzione definita in $V$ e continua, dunque $f \in C^1(V)$ .

Il teorema di Dini ha come corollario immediato il seguente risultato, noto come Teorema della funzione inversa (nel caso particolare di due variabili). Tale risultato si dimostra generalmente nei corsi di Analisi con tecniche elementari, ma può essere dedotto applicando il Teorema di Dini all’equazione (1) con $F(x,y)=y-f(x)$ .

Corollario 1 (teorema della funzione inversa). Sia $I\subseteq \mathbb{R}$ un aperto e sia $f \in C^1(I;\mathbb{R})$ . Per ogni $x_0 \in I$ tale che $f'(x_0)\neq 0$ , esiste un intorno $V$ di $x_0$ tale che la funzione $f|_V:V \to f(V)$ è invertibile. Inoltre, la funzione inversa $f^{-1}:f(V) \to V$ è di classe $C^1$ e vale

$\left( f^{-1} \right)'(y)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))} \quad \forall y \in f(V).$

Dimostrazione.

Il teorema di Dini applicato alla funzione $F(x,y)=y-f(x)$ garantisce l’esistenza di un intorno $V \times W$ di $(x_0,f(x_0))$ e di una funzione $g:W \to V$ che è una inversa di $f$ a destra, ovvero si ha

$f(g(y))=y \quad \forall y \in W.$

Questo in particolare implica che $f|_V:V \to W$ è suriettiva. Siccome $f \in C^1(I)$ , si può assumere senza perdita di generalità che $f'(x) \neq 0$ $\forall x \in V$ , dunque $f|_V:V \to W$ è anche iniettiva (utilizzando ad esempio il Teorema di Lagrange). Concludiamo che $f|_V:V \to W$ è biunivoca, dunque $g:W \to V$ è anche inversa a sinistra. L’ultima affermazione segue dal Teorema di Dini, osservando che $F_y(x,y)=1$ e $F_x(x,y)=-f'(x)$ .

Esempio 1. Consideriamo la circonferenza unitaria descritta dall’equazione

$x^2+y^2=1.$

Sappiamo che per $x_0 \in (-1,1)$ l’equazione descrive in un intorno di $x_0$ il grafico di due funzioni distinte della $x$ , perché possiamo esplicitare $y$ come segue:

$y=\sqrt{1-x^2}, \quad y=-\sqrt{1-x^2}.$

Analogamente, per $y_0 \in (-1,1)$ l’equazione descrive in un intorno di $y_0$ il grafico di due funzioni distinte della $y$ , perché possiamo esplicitare $x$ come segue:

$x=\sqrt{1-y^2}, \quad x=-\sqrt{1-y^2}.$

Come semplice applicazione del teorema precedente, potevamo dedurre l’esistenza di tali funzioni osservando ad esempio che il punto $(x_0,y_0)=(0,1)$ è soluzione dell’equazione (1), con $F(x,y)=x^2+y^2-1$ . Siccome $F_y(x,y)=2y$ , abbiamo $F_y(0,1)=2 \neq 0$ , dunque esiste un $h >0$ ed esiste una funzione $f: (-h,h) \to \mathbb{R}$ tale che l’equazione (1) è soddisfatta $\forall x \in (-h,h)$ . Ovviamente, siccome $F_y (x,y)= 0 \;\Leftrightarrow \; y=0$ , possiamo estendere l’intorno $(-h,h)$ fino ad ottenere tutto l’intervallo $(-1,1)$ . Nei punti $(\pm 1,0)$ l’equazione non descrive una funzione implicita della $x$ , e infatti il teorema non ne garantisce l’esistenza in quanto $F_y=0$ in quei punti.In questo caso si verifica facilmente che $F_x(\pm 1,0)\neq 0$ e dunque il teorema garantisce l’esistenza di un $k >0$ e di una funzione $g: (-k,k) \to \mathbb{R}$ tale che $F(g(y),y)=0$ è soddisfatta $\forall y \in (-k,k)$ .

$\quad$

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$\quad$

Esempio 2. Consideriamo l’equazione

$F(x,y)=y^5+y^3+2y+x+1=0,$

e ci domandiamo se essa descrive una funzione implicita della $x$ . Fissato un qualunque $x_0 \in \mathbb{R}$ , sappiamo che esiste almeno un $y_0 \in \mathbb{R}$ che risolve l’equazione, poiché i polinomi di grado dispari hanno almeno uno zero reale. Per tale $(x_0,y_0)$ dunque esiste un intorno in cui l’equazione descrive il grafico di una funzione $y=y(x)$ , in quanto

$F_y(x,y)=5y^4+3y^2+2 >0 \quad \forall y \in \mathbb{R}.$

Questo è un esempio concreto in cui il teorema ci garantisce l’esistenza della funzione implicita anche se non c’è un’espressione algebrica esplicita per tale funzione.

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