Esercizi sulle disequazioni con i numeri complessi

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Esplora il mondo intrigante delle disequazioni con i numeri complessi con il nostro dettagliato articolo “Esercizi misti sulle disequazioni con i numeri complessi”. Questo documento offre un’approfondita raccolta di esercizi, ciascuno accompagnato da soluzioni dettagliate, che ti guideranno attraverso le sfide matematiche delle disequazioni complesse. Perfetto per studenti e appassionati di matematica, questo PDF è un’opportunità unica per affinare le tue capacità analitiche e risolutive. Lasciati coinvolgere in un viaggio di scoperta e apprendimento, dove ogni esercizio è un passo verso una maggiore padronanza dei numeri complessi!

Autori e revisori

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Autore: Valerio Brunetti

Revisore: Nicola Fusco.

Sommario

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Il seguente lavoro presenta un insieme di esercizi mirati a esplorare le disequazioni nel contesto dei numeri complessi. Il documento include una varietà di problemi, che vanno dalle disequazioni lineari e quadratiche a quelle più complesse, con ogni sezione che offre esempi pratici e soluzioni dettagliate. Questo materiale è ideale per coloro che desiderano rafforzare le loro competenze nel risolvere disequazioni complesse, fornendo un approccio pratico e approfondito a questo importante argomento matematico.

Testi degli esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disuguaglianza

$\mathfrak{Re} \left( (z-1)(z-2\imath)\right) \ge \mathfrak{Re}(z-1) \mathfrak{Re}(z-2\imath).$

Suggerimento.

Usare la forma algebrica.

Svolgimento.

Sia $z = a + \imath b$ . I due numeri complessi si scrivono come

$z-1 = (a-1) + \imath b \quad \text{e} \quad z - 2 \imath = a + (b-2)\imath,$

da cui segue che la forma algebrica del prodotto è data da

$(z-1)(z-2\imath) = a(a-1) - b(b-2) + \imath \left((a-1)(b-2) + ab \right).$

A questo punto la disuguaglianza si può scrivere in termini di $a$ e $b$ ,

$a^2 - a - b^2 + 2b=a(a-1) - b(b-2) \ge (a-1)a = a^2 - a,$

e portando tutto a sinistra si arriva a

$-b^2+2b \ge 0.$

La soluzione di questa disequazione è $0 \le b \le 2$ perciò, considerando che

$b = \mathfrak{Im}(z),$

la disequazione di partenza è soddisfatta dagli elementi dell’insieme

$\{ z \in \mathbb C \: : |:\mathfrak{Im}(z) \in [0,2] \}.$

Graficamente si può rappresentare come una striscia orizzontale di spessore uguale a due.

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disuguaglianza

$|z-2\imath|^2 - 8 > |z|^2 - |z+2\imath|^2.$

Suggerimento.

Usare la forma algebrica.

Svolgimento.

Sia $z = a + \imath b$ . Il termine a sinistra è dato da

$|z-2\imath|^2 - 8 = a^2 + (b-2)^2 - 8 = a^2 + b^2 - 4b -4,$

mentre quello a destra

$|z|^2 - |z+2\imath|^2 = a^2+b^2 - a^2 - (b+2)^2 = -4b - 4.$

La disuguaglianza si può pertanto riscrivere come

$a^2+b^2-4b-4 > -4b-4,$

e, portando tutti i termini a sinistra, si ottiene:

$a^2+b^2 > 0.$

Questa è ovviamente verificata per ogni $a,b \in \mathbb{R}$ con $(a,b) \neq (0,0)$ , che corrisponde a $z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$ .

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare l’estremo superiore e inferiore dell’insieme

$A = \left\{ |z-w| \: : \: |z-2| \le 1, \, \mathfrak{Re}(w-\imath \bar{w})=0 \right\}.$

Suggerimento.

Identificare sul piano complesso le due figure geometriche date dalle condizioni per trovare $z$ e $w$ .

Svolgimento.

Innanzitutto osserviamo che

$0=\mathfrak{Re}(w-\imath\bar w) = \mathfrak{Re}(w) + \imath^2 \mathfrak{Im}(\bar w) = \mathfrak{Re}(w) - \mathfrak{Im}(w),$

per cui $w$ si può scrivere in forma algebrica come $w = a(1+\imath)$ , ovvero

$w \in \left\{ (a,b) \in \mathbb{R}^2 \: : \: a = b \right\},$

che è esattamente la retta di coefficiente angolare uno e passante per l’origine nel piano complesso. Analogamente, la condizione

$|z-2| \le 1$

ci dice che $z$ appartiene alla palla di centro $(2,0)$ e raggio uno nel piano complesso, quindi da un punto di vista geometrico la quantità

$|z-w|$

che dobbiamo calcolare altro non è che la distanza tra due punti, uno sulla circonferenza e uno sulla retta in esame.

L’estremo superiore dell’insieme è $+ \infty$ dato che la retta è illimitata. Infatti, dati
$z = 2 + 0 \imath \quad \text{e} \quad w_a := a(1+\imath),$

allora si ha

$|z-w_a|^2 = (a-2)^2 + a^2 = 2a^2 + 4 - 4a.$

Se prendiamo il limite per $a \to +\infty$ , si ottiene esattamente $+\infty$ .

Per trovare l’estremo inferiore, prendiamo un punto della retta e uno sul bordo della circonferenza, ovvero
$z = a + \imath \sqrt{1-(a-2)^2} \quad \text{e} \quad w = c(1+\imath).$

La distanza tra i due è data da

$|z-w|^2 = (a-c)^2 + (\sqrt{1-(a-2)^2} - c)^2$

ed è dunque sufficiente minimizzare rispetto ad $a$ e $c$ , con $a\in (0,4)$ e $c$ qualsiasi.

Un approccio alternativo è il seguente. Consideriamo la famiglia di rette perpendicolari alla bisettrice del primo e terzo settore, ovvero

$b = - a + \kappa, \quad \kappa \in \mathbb{R},$

e scegliamo $\kappa$ tale che questa passi per il centro della circonferenza:

$b = - a +2.$

Questa interseca la retta $b = a$ nel punto $w_0=1+\imath$ e la circonferenza nei punti che sono soluzione del sistema

$\begin{cases}b = - a + 2, \\ (a-2)^2+b^2=1. \end{cases}$

È facile vedere che le due soluzioni sono

$z_1 = 2 - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\imath \quad \text{e} \quad z_2 = 2 + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\imath,$

ma a noi interessa solo $z_1$ perché siamo interessati alla distanza minima tra circonferenza e retta. Si ha

$|z_1-w_0|^2 = \left(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}-1\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right)^2 = 3 - 2 \sqrt{2},$

da cui segue che

$\inf A = \min A = \sqrt{3-2\sqrt{2}}.$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare l’estremo superiore e inferiore dell’insieme

$B = \left\{ |z-w| \: : \: |z+2-3\imath| \le 3, \, |w-4-4\imath|\le 4 \right\}.$

Suggerimento.

Identificare $\mathbb C$ con $\mathbb{R}^2$ ed osservare che $z$ e $w$ variano all’interno di due dischi per calcolare $\sup$ ed $\inf$ .

Svolgimento.

Identificando $\mathbb{C}$ con $\mathbb{R}^2$ tramite la solita corrispondenza

$\mathbb{C}\ni z = a+ \imath b \mapsto (a,b) \in \mathbb{R}^2,$

trovare l’estremo inferiore/superiore di $B$ equivale a minimizzare/massimizzare la funzione distanza tra due circonferenze in $\mathbb{R}^2$ , più precisamente

$\mathcal{C}_1 : (a+2)^2+(b-3)^2 \le 9 \quad \text{e} \quad \mathcal{C}_2 : (a-4)^2+(b-4)^2 \le 16.$

Queste si intersecano perciò l’estremo inferiore, che è anche un minimo, è necessariamente uguale a zero. Ad esempio, il punto $(a,b)=(1,3)$ soddisfa

$\begin{aligned}& (1+2)^2+(3-3)^2 = 9 \le 9 \implies (1,3) \in \mathcal{C}_1, \\ & (1-4)^2+(3-4)^2 = 10 \le 16 \implies (1,3) \in \mathcal{C}_2, \end{aligned}$

e quindi appartiene ad entrambe le circonferenze. Per trovare l’estremo superiore consideriamo la retta che passa per entrambi i centri, ovvero

$r : b = \frac{a}{6}+\frac{10}{3}.$

Vogliamo trovare i punti di intersezione di questa retta con le due circonferenze (escludendo poi quelli più vicini) perciò iniziamo con il risolvere il sistema

$\begin{cases} b = \frac{a}{6}+\frac{10}{3}, \\ (a+2)^2+(a-3)^2=9. \end{cases}$

Questa ha come soluzioni

$z_1 = \frac{18}{\sqrt{37}} - 2 + \left(3 + \frac{3}{\sqrt{37}}\right)\imath \quad \text{e} \quad z_2= -\frac{18}{\sqrt{37}} - 2 + \left(3 - \frac{3}{\sqrt{37}}\right)\imath,$

ma è facile vedere che, per massimizzare la distanza, è sufficiente considerare $z_2$ . Analogamente, il sistema di equazioni

$\begin{cases}b = \frac{a}{6}+\frac{10}{3}, \\ (a-4)^2+(b-4)^2=16, \end{cases}$

ha come soluzioni

$w_1 = 4 - \frac{24}{\sqrt{37}} + \left(4-\frac{4}{\sqrt{37}} \right)\imath \quad \text{e} \quad w_2 = 4 + \frac{24}{\sqrt{37}} + \left(4+\frac{4}{\sqrt{37}} \right)\imath$

e, per lo stesso motivo già menzionato in precedenza, questa volta consideriamo soltanto $w_2$ . Allora

$|z_2-w_2|^2 = (7+\sqrt{37})^2,$

da cui segue che

$\sup B = \max B = 7 + \sqrt{37}.$

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il luogo dei punti del piano dato dalle seguenti relazioni

$\begin{aligned} & A_1 = \left\{ z \in \mathbb C \: : \: |z| = |z+\imath|\right\}, \\ & A_2 = \left\{ z \in \mathbb C \: : \: \mathfrak{Re}(z^2)>2 \right\}, \\ & A_3 = \left\{ z \in \mathbb C \: : \: \mathfrak{Im}(1/z)=-1\right\}. \end{aligned}$

Suggerimento.

Risolvere le equazioni/disequazioni per determinare il luogo dei punti che le soddisfano e poi verificare se si tratta di una figura geometrica nota.

Svolgimento punto 1.

Sia $z = a + \imath b$ . L’insieme $A_1$ consiste di tutti i punti che soddisfano l’equazione

$|a+\imath b| = |a+\imath(b+1)|.$

Possiamo elevare entrambi i termini al quadrato e calcolare il modulo

$a^2 + b^2 = a^2 + (b+1)^2$

da cui, sviluppando e semplificando i termini comuni, si arriva a

$0 = 2b + 1.$

Di conseguenza, un numero complesso $z = a + \imath b$ appartiene ad $A_1$ se e solo se è della forma

$z = a + -\frac 12 \imath.$

In altre parole, l’insieme $A_1$ è la retta parallela all’asse reale che passa per $(0,-1/2)$ e possiamo scrivere

$A_1 = \left\{ z \in \mathbb C \: : \: \mathfrak{Im}(z) = - \frac12 \right\}.$

Svolgimento punto 2.

Per determinare $A_2$ utilizziamo ancora la forma algebrica $z = a + \imath b$ . Infatti, è immediato verificare che

$z^2 = a^2 - b^2 + \imath 2ab \implies \mathfrak{Re}(z^2)=a^2-b^2,$

per cui la condizione di appartenenza ad $A_2$ è del tutto equivalente a

$a^2-b^2 > 2.$

Pertanto, l’insieme $A_2$ è il complementare dell’iperbole di equazione $x^2-y^2 \le 2$ e si può scrivere come segue:

$A_2 = \left\{ z \in \mathbb C \: : \: \pm \mathfrak{Re}(z) > \sqrt2 \text{ e } -\sqrt{\mathfrak{Re}(z)^2 -2} < \mathfrak{Im}(z) < \sqrt{\mathfrak{Re}(z)^2 +2} \right\}$

Svolgimento punto 3.

Infine, nel terzo caso (facendo ancora riferimento alla forma algebrica di $z$ ) la condizione di appartenenza si riscrive come

$\frac1z = \frac{1}{a+\imath b} = \frac{a}{a^2+b^2} - \imath \frac{b}{a^2+b^2},$

da cui segue

$\mathfrak{Im}(1/z)=-1 \iff \frac{b}{a^2+b^2} = 1.$

Moltiplicando per $a^2+b^2$ (diverso da zero, altrimenti $1/z$ non è definito) otteniamo l’equazione di una circonferenza, ovvero

$a^2 + b^2 - b = 0,$

il cui centro è $(0,1/2)$ e raggio $1/2$ .

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si mostri che il seguente sottoinsieme dei numeri complessi,

$D = \left\{ z \in \mathbb{C} \: : \: \left| \frac{z-1}{z+1} \right|= 2 \right\},$

è una circonferenza, e se ne determini raggio e centro.

Suggerimento.

Sfruttare il fatto che il modulo di un rapporto è uguale al rapporto dei moduli.

Svolgimento.

Dalla teoria sappiamo che il modulo di un rapporto è uguale al rapporto dei moduli, perciò (assumendo $z \neq -1$ ) si ha

$\left| \frac{z-1}{z+1} \right| = 2 \iff |z-1| = 2 |z+1|.$

Sia $z = a + \imath b$ . Dato che

$|z-1|=|(a-1) + \imath b| = \sqrt{(a-1)^2 + b^2} \quad \text{e} \quad |z+1|=\sqrt{(a+1)^2+b^2},$

possiamo sostituire nell’equazione e trovare

$\sqrt{(a-1)^2+b^2} = 2 \sqrt{(a+1)^2+b^2}.$

Dato che entrambi i termini sono positivi per ogni valore di $a$ e $b$ , eleviamo tutto al quadrato:

$(a-1)^2 + b^2 = 4(a+1)^2 + 4b^2.$

A questo punto portiamo tutto a destra ed otteniamo

$3a^2 + 10a + 3b^2 + 3 = 0,$

che è l’equazione della circonferenza di raggio $\frac43$ e centro $(-\frac53,0)$ .

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si caratterizzi il luogo dei punti che descrive l’insieme

$D = \left\{ z \in \mathbb{C} \: : \: \text{Arg } \left( \frac{z-1}{z+1} \right)= \frac\pi2 \right\}.$

Suggerimento.

Ricordare che dati $z_1,z_2 \in \mathbb{C}$ con $z_2\neq 0$ si ha

$\begin{aligned} & \text{Arg } (z_1z_2)=\text{Arg } z_1 + \text{Arg } z_2 + 2\pi N_+, \\ & \text{Arg }(z_1/z_2) = \text{Arg } z_1 - \text{Arg } z_2 + 2 \pi N_-, \end{aligned}$

dove $N_\pm$ sono le quantità definite come segue:

(1) $\begin{equation*} N_\pm(z_1,z_2) := \begin{cases} -1 & \text{se } \text{Arg } z_1 \pm \text{Arg } z_2 > \pi, \\ 0& \text{se } -\pi<\text{Arg } z_1 \pm \text{Arg } z_2 \le \pi, \\ 1 & \text{se } \text{Arg } z_1 \pm \text{Arg } z_2 \le -\pi.\end{cases} \end{equation*}$

Svolgimento.

Dalla teoria sappiamo che la funzione argomento principale soddisfa la seguente proprietà

$\text{Arg } (z_1/z_2) = \text{Arg } z_1 - \text{Arg } z_2 + 2 \pi N_-,$

dove $N_-(z_1,z_2)$ è già stato definito in (1). Di conseguenza, si può caratterizzare l’insieme $D$ trovando le soluzioni dell’equazione

$\text{Arg } (z-1)-\text{Arg } (z+1) + 2 \pi N_- = \frac\pi2.$

Il lettore interessato a questo approccio può provare a risolverla ma, ai fini di questo documento, preferiamo una alternativa più semplice. Infatti, posto

$w := \frac{z-1}{z+1},$

l’equazione si riduce a

$\text{Arg } w = \frac\pi2.$

Questa è di immediata risoluzione dato che avere argomento uguale a $\pi/2$ equivale ad avere parte reale zero e parte immaginaria positiva; ovvero si ha

$\text{Arg } w = \frac\pi2 \iff w = \imath v, \quad v > 0.$

Per concludere ci basta esprimere parte immaginaria e reale di $w$ in termini di $z = a+ \imath b$ . Razionalizzando si ottiene

$\begin{aligned} w = \frac{z-1}{z+1} & = \frac{(a-1) + \imath b}{(a+1) + \imath b} \cdot \frac{(a+1)-\imath b}{(a+1)-\imath b} = \\ & = \frac{(a-1)(a+1) + b^2 + \imath (a+1)b - \imath (a-1)b }{(a+1)^2 + b^2}= \\ & = \frac{a^2 - 1 + b^2 + \imath (2b)}{(a+1)^2+b^2}, \end{aligned}$

da cui segue che parte reale e immaginaria di $w$ sono rispettivamente date da

$\mathfrak{Re}(w) = \frac{a^2+b^2-1}{(a+1)^2 + b^2} \quad \text{e} \quad \mathfrak{Im}(w) = \frac{2b}{(a+1)^2 + b^2}.$

Per concludere, imponiamo le due condizioni trovate in precedenza, ovvero $\mathfrak{Re}(w) = 0$ e $\mathfrak{Im}(w)>0$ . Si ha

$a^2 + b^2 - 1= 0 \qquad \text{e} \qquad b >0,$

da cui segue che

$D = \left\{ z \in \mathbb C \: : \: -1 < \mathfrak{Re}(z) < 1 \text{ e } \mathfrak{Im}(z) = \sqrt{1 - \mathfrak{Re}(z)^2}\right\}.$

Riferimenti bibliografici

[1] S. L. Parsonson, Pure Mathematics Vol. 2, Cambridge University Press, 1970.

[2] C. Mantegazza, Problemi di Analisi I dal Corso del I Anno alla Scuola Normale Superiore di Pisa, MCM, 2016.

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Strutture algebriche.

Algebra lineare.

Geometria analitica.

Geometria differenziale.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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Svolgimento punto 3.

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