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Gli assiomi di Peano: fondamento dell’Aritmetica

Insiemi numerici N, Z, Q, R

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Gli assiomi di Peano: fondamento dell’Aritmetica

 

Cosa sono i numeri?

Questa semplice e affascinante domanda è stata oggetto di studio di numerosi filosofi e matematici nel corso della storia. Fornire una risposta matematica al problema è stata una sfida estremamente stimolante, e una delle prime risposte soddisfacenti è stata prodotta nell’arco temporale tra il 1881 e il 1889 ad opera di alcuni matematici, tra cui il matematico torinese Giuseppe Peano, che elaborò i famosi “assiomi di Peano”.

Il suo lavoro sposta il focus dall’essenza dei numeri alle loro proprietà pratiche. In altre parole, più che chiedersi cosa siano i numeri, è più utile chiedersi “cosa si fa con i numeri”. In parole semplici, Peano sostenne che l’insieme \mathbb{N} dei numeri naturali è descritto dalle seguenti proprietà:

  • Contiene lo 0;
  • La funzione “successore”, che a ogni numero naturale ne associa un altro, detto appunto successore. I successori non devono mai ripetersi e 0 non è il successore di alcun numero.
  • Il principio di induzione: se A è un sottoinsieme di \mathbb{N} contenente lo 0 e contenente il successore di ogni suo elemento, allora A coincide con l’intero insieme \mathbb{N}.

Nel seguente articolo descriviamo nel dettaglio queste proprietà, dette assiomi, e includiamo esempi di impiego nella matematica, discutendo l’importanza del principio di induzione come strumento dimostrativo e la sua equivalenza col principio del buon ordinamento, approdando infine alla divisione euclidea.
Tutto ciò rende la dispensa una risorsa preziosa per chiunque sia interessato alla teoria dei numeri e alla sua fondazione logica.

 

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Gli assiomi di Peano

L’insieme numerico basilare è quello dei numeri naturali, ossia quei numeri che possono essere osservati in natura. Tale insieme nasce dalla necessità fondamentale di contare gli oggetti esistenti.

    \begin{equation*} \mathbb{N}=\{0,1,2,...,n,...\} \end{equation*}

E’ possibile definire l’insieme \mathbb{N} a prescindere dagli elementi grazie a degli assiomi, detti postulati di Peano.

 

Definizione 1. L’insieme dei numeri naturali è costituito da una terna (\mathbb{N},0,\sigma) dove \mathbb{N} è un insieme, 0\in\mathbb{N} e \sigma:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N} è una funzione che definisce il “successivo” di un numero naturale. Formalmente abbiamo tre postulati:
 
\mathbb{P}_1 ) \sigma è iniettiva;
\mathbb{P}_2 ) 0\notin\,Im(\sigma) ovvero \nexists\,n\in\mathbb{N}\,:\,\sigma(n)=0;
\mathbb{P}_3 ) Principio di induzione debole: se U\subseteq\mathbb{N} è tale che

  • 0\in U
  • n\in U\Rightarrow\sigma(n)\in U

allora U=\mathbb{N}.

 
Analizziamo più nel dettaglio il significato dei postulati. Se vogliamo definire il concetto di numero naturale abbiamo bisogno di un “ punto di partenza “, ovvero di un numero naturale minimale. In questa esposizione abbiamo scelto lo 0 come numero naturale di partenza (anche se questa convenzione non è universalmente accettata e talvolta si sceglie di partire dal numero naturale 1). Una volta postulato l’esistenza del numero 0 (o 1 a seconda delle convenzione), gli assiomi di Peano richiedono l’esistenza della funzione \sigma che, preso un qualunque numero naturale n in input, restituisce il numero successivo n+1 in output. Se avessimo già un’idea di cosa sono i numeri naturali, potremmo scrivere

    \[\sigma(n)=n+1.\]

Alla luce di quanto appena detto, possiamo interpretare i postulati nel seguente modo:

\mathbb{P}_1 ) Due numeri diversi hanno due diversi successivi;
\mathbb{P}_2 ) Il numero 0 non è il successivo di un numero naturale;
\mathbb{P}_3 ) Principio di induzione debole: se U è un sottoinsieme dei numeri naturali che contiene 0 e che contiene il successivo di ogni suo elemento, si ha necessariamente U=\mathbb{N}. In altri termini, non esistono sottoinsiemi propri di \mathbb{N} che contengono sia 0, sia il successivo di ogni suo elemento.

Osservazione 1.


 
Il terzo postulato, detto Principio di induzione  è quello più importante perchè fornisce un vero e proprio metodo dimostrativo, detto dimostrazione per induzione. Supponiamo di voler dimostrare una certa proprietà P(n) per ogni numero naturale. Sia

    \begin{equation*} U=\{n\in\mathbb{N}\,:\, P(n)\text{ è verificata}\}, \end{equation*}

allora possiamo schematizzare il metodo di dimostrazione per induzione in due passi:

  • Passo base: si dimostra che 0\in U, cioè che P(0) è verificata;
  • Passo induttivo:  supponiamo vera la proposizione P(n) per un generico valore n e dimostriamo a partire da questa ipotesi, detta ipotesi induttiva, che la proposizione P(n+1) è vera.

Il Postulato \mathbb{P}_3 permette di concludere che U=\mathbb{N}, ovvero che la proprietà P è valida per ogni numero naturale. Infatti, il passo induttivo corrisponde esattamente a verificare che n \in U \Rightarrow\sigma(n)\in U.

Possiamo riassumere in modo formale il Principio di Induzione come segue:

    \[P(0) \wedge \{ P(n) \Rightarrow P(n+1) \; \forall n \in \mathbb{N} \} \Rightarrow (P(n)\; \forall n \in \mathbb{N}).\]

Nella formalizzazione di Peano dei numeri naturali il principio di induzione è dato come assioma, pertanto è assunto come vero e non viene dimostrato. In alternativa viene assunto come assioma il principio del buon ordinamento che invece nella formalizzazione di Peano viene dimostrato. In questo caso il principio di induzione è conseguenza del principio del buon ordinamento. Quindi le due teorie dei numeri naturali sono perfettamente equivalenti.

 

Teorema 1. I due principi sono equivalenti
\mathbb{P}_3 Principio di induzione: sia U\subseteq\mathbb{N} tale che

  • 0\in U;
  • n\in U\Rightarrow n+1 \in U;

allora U=\mathbb{N}.

\mathbb{M} Principio del buon ordinamento:  Sia U\subseteq\mathbb{N} non vuoto. Allora U contiene un elemento minimo, ovvero

    \begin{equation*} \exists\,u\in U\,:\,u\leq x\,\qquad\forall\,x\in U. \end{equation*}

 

Dimostrazione.

 

Il principio del minimo permette di dimostrare il seguente teorema alla base della definizione dell’operazione divisione euclidea

Teorema 2. Siano a,\,b\,\in\mathbb{N} con b\neq 0 allora esistono e sono unici q,\,r\,\in\mathbb{N} tale che

    \begin{equation*} a=b\cdot q+r\qquad 0\leq r<b, \end{equation*}

dove q è detto quoziente e resto della divisione euclidea.

Dimostrazione.


 
 

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