Leggi della dinamica: testi degli esercizi

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica, Esempi

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Leggi della dinamica: 58 Eserciz svolti

Le leggi della dinamica rappresentano uno degli argomenti fondamentali nei corsi di fisica 1, ed è essenziale esercitarsi per comprenderle appieno. In questo articolo troverete 58 esercizi svolti sulle leggi di Newton. Questa raccolta rappresenta una selezione accurata degli esercizi che riteniamo più significativi nei seguenti testi:

Rosati, Luigi. Fisica Generale (Vol. 1-2). Zanichelli, 1997.
Mencuccini, C., Silvestrini, G. Fisica (Vol. 1-2). Liguori Editore, 2000.
Mazzoldi, P., Nigro, M., Voci, C. Elementi di Fisica (Vol. 1-3). Edises, 2004.
Resnick, R., Halliday, D., Walker, J. Fundamentals of Physics (10th Edition). Wiley, 2013.
Goldstein, H. Classical Mechanics (3rd Edition). Addison-Wesley, 2001.
Griffiths, D.J. Introduction to Electrodynamics (4th Edition). Cambridge University Press, 2017.
Landau, L.D., Lifshitz, E.M. Mechanics (Vol. 1 of Course of Theoretical Physics). Pergamon Press, 1976.

Oltre ai testi di riferimento tradizionali, abbiamo integrato la raccolta con esercizi selezionati da prove d’esame di vari docenti universitari, arricchendola ulteriormente con problemi originali elaborati dal nostro team di esperti.

Gli esercizi sono progettati per studenti di ingegneria, fisica e matematica che seguono il corso di Fisica 1, oltre che per appassionati della materia. La collezione include problemi di varia difficoltà: dai più semplici a quelli complessi, che richiedono una riflessione prolungata per giungere alla soluzione. È una risorsa preziosa che offre stimoli anche agli esperti del settore, grazie alla presenza di esercizi particolarmente sfidanti.

Il capitolo successivo, coerentemente con l’ordine didattico, è dedicato alla Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica, dove potrete trovare 82 esercizi svolti, selezionati con la medesima cura.

Potete accedere all’intero corso di meccanica classica, risultato del materiale prodotto dal nostro team negli ultimi 4 anni. Ulteriori dettagli sugli autori e i revisori sono disponibili nella sezione dedicata alla fisica.

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Ottieni il documento contenente 58 esercizi risolti, contenuti in 160 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione della Meccanica Newtoniana.

Autori e revisori

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Autori e Revisori:

Valerio Brunetti, Giuseppe Palaia.

Autori:

Romano Rotonda, Daniele Massaro, Andrea Corradini, Davide Vignotto, Cosimo Tommasi.

Revisori:

Cesare Malagù, Nicola Fusco.

Autori in collaborazione:

Giulia Romoli, Antonio Figura, Christian Magliano.

Ex Autori & Revisori:

Patrizio Di Lorenzo, Simone Brozzesi, Nicola Santamaria, Vittorio Larotonda, Leonardo Rebeschini, Simone Romiti, Antonio Junior Iovino, Daniele Bjørn Malesani, Tiziano Schiavone, Serena Lezzi, Marco Chilioiro.

Introduzione

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Le leggi della dinamica, formulate da Isaac Newton nel XVII secolo, rappresentano uno dei pilastri della fisica. Queste leggi descrivono il moto degli oggetti e le forze che li influenzano, costituendo il fondamento della meccanica classica. La storia del loro sviluppo riflette i progressi scientifici dell’epoca e l’evoluzione del pensiero umano riguardo alla natura e all’universo.

Prima di Newton, vari filosofi e scienziati avevano cercato di comprendere il moto e le forze. Tra questi, Galileo Galilei fu uno dei più influenti. Intorno al 1600, Galileo condusse esperimenti che sfidarono le teorie aristoteliche sul moto, che sostenevano che lo stato naturale dei corpi fosse la quiete e che un oggetto in movimento avrebbe cessato di muoversi se non fosse stata applicata una forza continua. Galileo dimostrò che un corpo in movimento, in assenza di attrito, continuerebbe a muoversi indefinitamente, introducendo il concetto di inerzia, che sarebbe diventato centrale nella prima legge di Newton.

Isaac Newton, ispirato dalle opere di Galileo e di altri scienziati come Johannes Kepler e René Descartes, formalizzò le tre leggi fondamentali della dinamica nel suo celebre lavoro Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, pubblicato nel 1687. La prima legge di Newton, o legge dell’inerzia, afferma che un corpo persiste nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme a meno che non venga applicata una forza esterna. Questo principio si oppone alla teoria fisica di Aristotele, dimostrando che il moto non richiede una forza per essere mantenuto, ma piuttosto una forza per essere alterato.

La seconda legge di Newton, o legge della forza e dell’accelerazione, stabilisce che la variazione del moto di un corpo è proporzionale alla forza applicata su di esso e avviene nella direzione della forza stessa. Questo principio introduce il concetto di forza come causa del cambiamento dello stato di moto e ha permesso di formulare previsioni quantitative sul moto degli oggetti.

La terza legge di Newton, nota come legge di azione e reazione, afferma che per ogni azione c’è una reazione uguale e contraria. Questa legge esprime una proprietà fondamentale delle forze e fu utilizzata da Newton per dimostrare la conservazione della quantità di moto.

Le leggi della dinamica di Newton non solo hanno rivoluzionato la fisica, ma hanno anche influenzato altre discipline e la visione generale del mondo. Esse hanno fornito una base solida per il calcolo delle orbite planetarie, permettendo a Newton di spiegare e prevedere il moto dei corpi celesti. Inoltre, queste leggi sono diventate fondamentali per lo sviluppo dell’ingegneria e della tecnologia, dalla costruzione di ponti e edifici alla progettazione di veicoli e macchinari.

Nel corso del tempo, la meccanica newtoniana è stata rivalutata e, in alcuni casi, ampliata. La teoria della relatività di Albert Einstein ha introdotto correzioni significative per oggetti che si muovono a velocità prossime a quella della luce, e la meccanica quantistica ha rivelato che, su scala atomica e subatomica, le leggi di Newton non si applicano esattamente come descritto. Tuttavia, nonostante queste rivoluzioni scientifiche, le leggi della dinamica di Newton restano estremamente valide e precise nella maggior parte delle situazioni quotidiane e continuano ad essere insegnate come parte fondamentale della fisica.

La storia delle leggi della dinamica è un esempio affascinante di come la scienza si evolve attraverso l’osservazione, la sperimentazione e la sintesi teorica. Le intuizioni di Newton hanno cambiato radicalmente la nostra comprensione del mondo fisico e continuano ad essere una parte essenziale della fisica moderna.

Dinamica del punto materiale

La Cinematica si occupa dello studio del movimento dei corpi considerando esclusivamente aspetti geometrici, ossia la posizione e il tempo. Tuttavia, per comprendere più a fondo i fenomeni che governano il movimento, è necessario introdurre la Dinamica, che analizza il moto in relazione alle forze che lo determinano. In questo contesto, concentreremo la nostra attenzione sulla Dinamica del punto materiale, concetto fondamentale nella fisica classica. Un punto materiale è un corpo le cui dimensioni lineari sono trascurabili rispetto alle altre lunghezze caratteristiche del problema in esame. Di conseguenza, non è necessario considerare né la struttura interna del corpo né le sue eventuali rotazioni su sé stesso.

La decisione di trattare un corpo come punto materiale dipende strettamente dal contesto del problema specifico. Ad esempio, una navicella spaziale può essere approssimata come punto materiale quando si studia la sua orbita attorno alla Terra. Tuttavia, tale semplificazione risulta inadeguata quando si analizzano fenomeni come il rientro nell’atmosfera terrestre, dove le forze aerodinamiche e il comportamento delle diverse parti della navicella diventano rilevanti.

Il principio di inerzia o primo principio della dinamica

Il principio di inerzia o primo principio della dinamica, formulato da Galileo Galilei e successivamente formalizzato da Isaac Newton, è uno dei pilastri fondamentali della meccanica classica.

Primo principio della dinamica

Questo principio afferma che, un corpo mantiene il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché una forza esterna non interviene a modificarne lo stato. In altre parole, un corpo non soggetto a interazioni esterne continuerà a muoversi in linea retta con velocità costante, o rimarrà in quiete se già fermo. Questa proprietà dei corpi, di resistere a cambiamenti nel loro stato di moto, è definita inerzia.

Il principio di inerzia è applicabile solo in sistemi di riferimento in cui le forze come l’attrito e altre forze agenti si annullano tra loro. Per esempio, è una buona approssimazione considerare una sferetta su un piano orizzontale levigato come soggetta al principio di inerzia. In assenza di attrito, infatti, un corpo continuerà a muoversi indefinitamente lungo una retta. Tuttavia, per una comprensione più approfondita della validità del principio di inerzia, è fondamentale considerare la natura del sistema di riferimento.

Il sistema di riferimento inerziale

Dal primo principio della dinamica si definisce cosa è un sistema di riferimento inerziale.

Sistema di riferimento inerziale

Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento in cui il principio di inerzia è valido. Questo significa, dal punto di vista cinematico, che all’interno di tale sistema, un corpo non soggetto a forze esterne mantiene il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

I sistemi di riferimento inerziali sono essenziali nella meccanica classica poiché forniscono il contesto in cui le leggi di Newton sono applicabili in modo diretto e senza correzioni.

Sistema di riferimento non inerziale

Un sistema di riferimento è detto non inerziale quando si muove con un’accelerazione rispetto a un sistema di riferimento inerziale. Dal punto di vista cinematico, un sistema di riferimento non inerziale è un sistema soggetto a un’accelerazione, che può essere lineare o rotazionale.

In questi sistemi, le leggi della dinamica di Newton non si applicano direttamente, e per descrivere correttamente il moto degli oggetti, è necessario introdurre forze apparenti o pseudo-forze, come la forza centrifuga o la forza di Coriolis.

Queste forze non derivano da interazioni fisiche reali, ma sono invece un risultato dell’accelerazione del sistema di riferimento stesso. Esempi comuni di sistemi di riferimento non inerziali includono un’automobile che accelera o una giostra che ruota. In questi contesti, per comprendere e prevedere il moto degli oggetti, è essenziale tenere conto delle pseudo-forze (forza apparenti) che emergono a causa dell’accelerazione del sistema.

In ogni caso, l’obiettivo di questo articolo non è trattare i sistemi di riferimento non inerziali o le forze apparenti. Pertanto, in tutte le analisi e negli esercizi proposti, si farà sempre riferimento a sistemi di riferimento inerziali.

La massa di un corpo

La massa di un corpo è una proprietà fondamentale nella dinamica, in quanto determina la risposta del corpo alle forze applicate. Se un corpo non si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema di riferimento inerziale, l’accelerazione che esso possiede deve essere attribuita alle forze esercitate su di esso da altri sistemi materiali circostanti. Newton fu il primo a studiare quantitativamente le accelerazioni che due corpi possono acquisire interagendo tra loro, ignorando le interazioni con altri corpi. Le sue conclusioni possono essere riassunte nei seguenti punti:

a) Se in un determinato istante uno dei due corpi possiede un’accelerazione $a_1 \neq 0$ , anche l’altro corpo possiede un’accelerazione $a_2 \neq 0$ .
b) Le accelerazioni dei due corpi hanno la stessa direzione, ma versi opposti.
c) Il rapporto tra i moduli delle due accelerazioni rimane costante nel tempo ed è uguale al valore di tale rapporto quando i corpi vengono lasciati liberi di interagire.

Consideriamo, ad esempio, due corpi posti alle estremità di una molla compressa. Quando la molla viene lasciata libera di espandersi, i corpi acquisiscono moto accelerato. Se le accelerazioni dei corpi rimangono proporzionali in ogni istante, allora anche le velocità $v_1$ e $v_2$ dei corpi devono essere tali che il rapporto tra di esse sia costante. Questo implica che il rapporto tra le masse dei corpi deve rimanere invariato nel tempo.

Il secondo principio di Newton

Quando un corpo di massa $m$ si muove di moto accelerato rispetto a un sistema di riferimento inerziale, esso è soggetto a una forza $\mathbf{F}$ , che può essere espressa matematicamente come:

$\vec{F} = m \vec{a}.$

Questa equazione costituisce la definizione formale di forza, una grandezza vettoriale le cui dimensioni fisiche sono:

$[F] = [m][a] = [M][L][T]^{-2}.$

Nel sistema MKS (Metro-Kilogrammo-Secondo), l’unità di misura dell’intensità di una forza è definita come un’unità derivata dalla relazione $F = ma$ , che lega il modulo della forza all’accelerazione. Di conseguenza, l’unità di misura della massa $m$ è il chilogrammo (kg), mentre l’unità di misura dell’accelerazione è il metro al secondo quadrato ( $\text{m}/\text{s}^2$ ). Pertanto, l’unità di misura della forza è il newton (N), definito come segue:

$1 \, \text{N} = 1 \, \text{kg} \cdot \text{m}/\text{s}^2.$

Newton

Il newton (N) rappresenta l’intensità di una forza che, agendo su un corpo di massa 1 kg, gli imprime un’accelerazione di $1 \, \text{m}/\text{s}^2$ .

La forza esercitata su un corpo è il risultato delle interazioni tra il corpo stesso e i sistemi materiali circostanti. Consideriamo, ad esempio, il caso di due soli corpi in interazione reciproca: sia $m_1$ la massa del primo corpo (denominato corpo 1), che assumiamo essere approssimabile a un punto materiale, e sia $\vec{a}_1$ l’accelerazione che questo corpo possiede in un determinato istante a causa dell’interazione con il secondo corpo (corpo 2). In tal caso, la quantità $\vec{F}_{12} = m_1 \vec{a}_1$ rappresenta, per definizione, la forza agente sul punto materiale nell’istante considerato. Se consideriamo inoltre un terzo corpo (corpo 3) che interagisce con il corpo 1, è possibile definire in maniera analoga la forza $\vec{F}_{13} = m_1 \vec{a}_{13}$ . Una questione naturale che sorge è la seguente: cosa accade se il corpo 1 interagisce simultaneamente con i corpi 2 e 3?

L’accelerazione risultante $\vec{a}_1$ sarà data dalla somma vettoriale delle accelerazioni dovute a ciascuna delle forze agenti:

$\vec{a}_1 = \vec{a}_{12} + \vec{a}_{13}.$

Moltiplicando entrambi i membri della precedente equazione per $m_1$ , si ottiene:

$m_1 \vec{a}_1 = m_1 \vec{a}_{12} + m_1 \vec{a}_{13}.$

In cui $m_1 \vec{a}_{12}$ e $m_1 \vec{a}_{13}$ corrispondono rispettivamente alle forze $\vec{F}_{12}$ e $\vec{F}_{13}$ . Pertanto, la forza complessiva agente sul corpo 1 è data dalla somma:

$\vec{F}_1 = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{13}.$

Le forze si sommano secondo la regola di addizione vettoriale, il che conferma che le forze sono quantità vettoriali. La precedente relazione è stata verificata sperimentalmente entro i limiti degli errori sperimentali, e la validità delle conseguenze di tale assunzione costituisce una prova tangibile del carattere vettoriale delle forze.

Somma di forze

La forza risultante $\vec{F}$ agente su un corpo è dunque la somma vettoriale delle singole forze esercitate sul corpo dai diversi sistemi materiali che interagiscono con esso.

Dato un punto materiale di massa $m$ , la relazione tra la forza risultante $\vec{F}$ , l’accelerazione $\vec{a}$ e la massa $m$ è espressa dalla seguente equazione:

$\vec{F} = m\vec{a}.$

Questa equazione rappresenta il Secondo principio di Newton, enunciato come segue:

Secondo principio di Newton

In un sistema di riferimento inerziale, l’accelerazione di un punto materiale è direttamente proporzionale alla forza risultante agente su di esso e inversamente proporzionale alla massa del punto materiale.

L’equazione $\vec{F} = m\vec{a}$ costituisce un fondamento cruciale per lo sviluppo della Dinamica ed è valida in generale nell’ambito della Meccanica Classica, purché il moto sia studiato in un sistema di riferimento inerziale (i sistemi di riferimento non inerziali saranno discussi).

Alcune considerazioni rilevanti sul secondo principio di Newton includono:

a) Se a un corpo di massa $m$ nota vengono applicate successivamente diverse forze $\vec{F}_1$ , $\vec{F}_2$ , ecc., l’accelerazione risultante sarà sempre coerente con la relazione $\vec{F} = m\vec{a}$ .
b) Se una forza $\vec{F}$ , precedentemente misurata, viene applicata a corpi di masse diverse $m_1, m_2, \dots$ , le relazioni $m_i \vec{a}_i = \vec{F}$ ( $i = 1, 2, \dots$ ) risulteranno tutte verificate, confermando la validità del secondo principio di Newton.
c) Quando una forza $\vec{F}$ viene applicata a un corpo già in moto, l’accelerazione $\vec{F}/m$ prodotta è indipendente dalla velocità che il corpo aveva in quell’istante, e si somma a qualsiasi altra accelerazione già presente (principio dell’indipendenza delle azioni simultanee).
d) Se più forze $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \dots, \vec{F}_n$ agiscono simultaneamente su un corpo, l’accelerazione risultante sarà la stessa di quella prodotta da una singola forza equivalente $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n$ , somma vettoriale delle forze considerate.

È importante notare che il secondo principio della dinamica ha senso solo se applicato in un sistema di riferimento inerziale, la cui definizione deriva dal primo principio della dinamica. Pertanto, il secondo principio dipende dal primo. Quando $\vec{F} = \vec{0}$ , è possibile estendere la definizione di sistema di riferimento inerziale, che inizialmente si applicava solo in assenza di forze. In questo caso, si può considerare il sistema come inerziale anche se la somma delle forze è nulla.

Statica del punto materiale

Un punto materiale si trova in una posizione di equilibrio $P_0$ se la sua velocità è nulla e la risultante delle forze agenti su di esso è costantemente nulla. In tal caso, il punto materiale non subisce alcuno spostamento dalla posizione occupata: infatti, lo spostamento infinitesimo $d\vec{r} = \vec{v} \, dt$ è nullo perché la velocità è nulla, e rimane tale poiché l’accelerazione è zero. Inversamente, se un punto materiale rimane in quiete, allora la risultante delle forze agenti su di esso deve essere nulla. Se invece $\vec{v}_0 = 0$ ma $\vec{F} \neq 0$ , il punto si muoverà, come accade anche nel caso opposto in cui $\vec{F} = 0$ ma $\vec{v}_0 \neq 0$ .

Condizione di quiete

Condizione necessaria e sufficiente affinché un punto materiale resti in quiete in una determinata posizione è che la velocità sia nulla e che la risultante delle forze agenti rimanga costantemente nulla nel tempo.

La condizione $\vec{F} = 0$ può verificarsi sia in assenza di forze che nel caso in cui le forze si bilancino esattamente. Nel caso di due sole forze $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ , la condizione $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = 0$ implica che $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ siano opposte tra loro. Nel caso di tre forze, una di esse deve essere opposta alla risultante delle altre due ( $\vec{F}_3 =- \vec{F}_1- \vec{F}_2$ ); la somma $\vec{F}_1 + \vec{F}_2$ può essere determinata utilizzando la regola del parallelogramma. In generale, la condizione $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots + \vec{F}_n = 0$ implica che i vettori corrispondenti, disposti in sequenza, formino un poligono chiuso; per imporre ulteriormente tale condizione, è sufficiente che la somma vettoriale delle componenti lungo gli assi $x$ e $y$ sia nulla.

Se la posizione $P_0$ è una posizione di equilibrio, si possono distinguere le seguenti situazioni:

Tipi di equilibrio

Equilibrio stabile: se, a seguito di un piccolo spostamento dalla posizione di equilibrio, il punto materiale tende a ritornare nella posizione originale.
Equilibrio instabile: se, a seguito di un piccolo spostamento dalla posizione di equilibrio, il punto materiale tende ad allontanarsi ulteriormente da essa.
Equilibrio indifferente: se, in un intorno di $P_0$ , ciascun punto è una posizione di equilibrio.

Questi tre tipi di equilibrio possono essere osservati, ad esempio, nel caso di una pallina posata nel punto più basso di una conca (equilibrio stabile), sulla sommità di una collina (equilibrio instabile), o su un piano orizzontale (equilibrio indifferente).

Se un corpo è in equilibrio sotto l’azione di due forze $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ , l’equilibrio di una delle forze può essere determinato bilanciandola con un’altra forza di valore noto. In questo contesto, la forza più rilevante è la forza peso, la cui intensità può essere variata aggiungendo o rimuovendo pesi supplementari.

Seconda legge di Newton con massa variabile

Nella forma più generale, la seconda legge della dinamica può essere espressa in termini di quantità di moto. La quantità di moto $\vec{p}$ di un corpo è definita come il prodotto della sua massa $m$ e della sua velocità $\vec{v}$ :

$\vec{p} = m \vec{v}.$

La forza $\vec{F}$ agente su un corpo è definita come la derivata temporale della quantità di moto:

$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}.$

Quando la massa del corpo è costante, questa relazione si riduce alla forma classica della seconda legge di Newton:

$\vec{F} = m \vec{a},$

dove $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}$ è l’accelerazione del corpo.

Tuttavia, se la massa del corpo varia nel tempo, la derivata della quantità di moto si espande come segue:

$\vec{F} = \frac{d}{dt}(m \vec{v}) = \frac{dm}{dt} \vec{v} + m \frac{d\vec{v}}{dt}.$

Qui, il termine $\frac{dm}{dt} \vec{v}$ rappresenta il contributo alla forza dovuto alla variazione della massa, mentre il termine $m \frac{d\vec{v}}{dt}$ rappresenta la forza dovuta all’accelerazione del corpo con massa variabile.

Pertanto, la forza agente su un corpo con massa variabile si esprime come:

$\vec{F} = \frac{dm}{dt} \vec{v} + m \vec{a}.$

Questa forma generale della seconda legge della dinamica è cruciale per descrivere situazioni in cui la massa di un corpo cambia durante il moto, come nel caso di un razzo che brucia carburante o un sacco che perde sabbia. Dunque, la seconda legge della dinamica può essere riformulata come segue.

Seconda legge della dinamica

In un sistema di riferimento inerziale, la derivata temporale della quantità di moto di un punto materiale è uguale alla risultante delle forze agenti su di esso.

Esempio: il sacco bucato

Consideriamo un esempio pratico: un sacco che perde sabbia durante il movimento. Supponiamo che la velocità del sacco sia $\vec{v}(t)$ e che la massa del sacco diminuisca costantemente a un tasso $\frac{dm}{dt} = -k$ , dove $k$ è una costante positiva, avente unità di misura kg/s.

Applicando la seconda legge della dinamica in termini di quantità di moto, la forza $\vec{F}$ agente sul sacco è:

$\vec{F} = -k \vec{v} + m(t) \vec{a}.$

In assenza di altre forze esterne ( $\vec{F} = 0$ ), questa relazione implica che:

$k \vec{v} = m(t) \vec{a},$

cioè

$k\vec{v}=m\dfrac{d\vec{v}}{dt}.$

La precedente equazione può essere risolta scegliendo un opportuno sistema di riferimento inerziale, ma questo esula dagli scopi di questa breve introduzione.

Il terzo principio della dinamica

Il terzo principio della dinamica, noto anche come principio di azione e reazione, è un concetto fondamentale nella fisica classica formulato da Isaac Newton. Questo principio enuncia che a ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria. In altre parole, se un corpo $A$ esercita una forza $\vec{F}_{AB}$ su un corpo $B$ , allora il corpo $B$ esercita simultaneamente una forza $\vec{F}_{BA}$ di uguale intensità ma di direzione opposta su $A$ . Queste due forze non si annullano a vicenda perché agiscono su corpi diversi.

Terzo principio della dinamica

Se un corpo $A$ esercita una forza $\vec{F}_{AB}$ su un corpo $B$ , allora il corpo $B$ esercita su $A$ una forza $\vec{F}_{BA}$ di uguale modulo, stessa direzione e verso opposto:

$\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}.$

Questo principio è di fondamentale importanza perché stabilisce l’interazione reciproca tra due corpi. Le forze di azione e reazione hanno sempre la stessa natura (per esempio, entrambe sono forze gravitazionali, o entrambe sono forze elettromagnetiche) e agiscono lungo la linea che congiunge i centri dei due corpi.

Un esempio classico dell’applicazione del terzo principio è il caso di un libro appoggiato su un tavolo. Il libro esercita una forza verso il basso, dovuta al suo peso, sul tavolo. Secondo il terzo principio, il tavolo esercita una forza uguale e contraria verso l’alto sul libro, mantenendolo in equilibrio. Queste due forze, pur avendo lo stesso modulo e direzione opposta, agiscono su corpi diversi (il libro e il tavolo) e quindi non si annullano.

Un altro esempio significativo si può osservare nel moto dei corpi celesti. Quando un pianeta orbita attorno a una stella, la forza gravitazionale esercitata dalla stella sul pianeta è accompagnata da una forza di uguale intensità esercitata dal pianeta sulla stella. Anche in questo caso, le due forze agiscono su corpi diversi e quindi non si annullano, ma governano il moto orbitale del pianeta.

Il terzo principio della dinamica è applicabile in tutte le interazioni fondamentali conosciute, inclusi i campi gravitazionali, elettromagnetici e nucleari. La sua validità si estende anche ai fenomeni quotidiani, come camminare (dove i piedi spingono contro il suolo e il suolo spinge contro i piedi, permettendo il movimento) e il volo di un aereo (dove l’elica o i motori a getto spingono l’aria all’indietro e, per reazione, l’aereo viene spinto in avanti).

È importante notare che le forze di azione e reazione non si annullano mai tra loro poiché agiscono su corpi distinti. Inoltre, queste forze si manifestano sempre contemporaneamente: non può esistere una forza di azione senza la corrispondente forza di reazione.

Validità del terzo principio della dinamica nei sistemi di riferimento inerziali e non inerziali

Il terzo principio della dinamica, che afferma che a ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria, è un principio fondamentale della meccanica classica. Tuttavia, la sua validità dipende dal sistema di riferimento in cui viene applicato.

Sistemi di riferimento inerziali

Nei sistemi di riferimento inerziali, cioè quelli che non sono soggetti ad accelerazioni, il terzo principio di Newton è pienamente valido. Questo è perché in tali sistemi, le forze tra due corpi interagenti sono sempre reciproche e simultanee, rispettando rigorosamente l’uguaglianza e la direzione opposta delle forze di azione e reazione. Ad esempio, se un corpo $A$ esercita una forza su un corpo $B$ , il corpo $B$ eserciterà simultaneamente una forza di uguale intensità ma di verso opposto su $A$ . Questo principio è un riflesso della simmetria delle leggi della fisica in sistemi di riferimento inerziali.

Sistemi di riferimento non inerziali

Nei sistemi di riferimento non inerziali, cioè quelli che sono soggetti ad accelerazioni (come un sistema in rotazione o un sistema che subisce un’accelerazione lineare), il terzo principio della dinamica può non essere valido in modo semplice e diretto. La ragione risiede nel fatto che nei sistemi non inerziali compaiono forze aggiuntive chiamate forze apparenti o forze fittizie, come la forza centrifuga o la forza di Coriolis. Queste forze non derivano da interazioni fisiche tra corpi, ma sono il risultato dell’accelerazione del sistema di riferimento stesso.

Per esempio, consideriamo una persona che si trova all’interno di un’auto in curva. Dal punto di vista della persona, sembra esserci una forza che la spinge verso l’esterno della curva (la forza centrifuga). Tuttavia, questa forza non è esercitata da un altro corpo, e non c’è una reazione uguale e contraria corrispondente che possa essere identificata nel sistema di riferimento non inerziale dell’auto. In questo caso, il terzo principio della dinamica non è applicabile senza modifiche o considerazioni aggiuntive.

In un sistema di riferimento non inerziale, la presenza di forze apparenti rompe la simmetria che esiste nei sistemi inerziali, e quindi le forze di azione e reazione potrebbero non essere uguali e opposte. Di conseguenza, il terzo principio della dinamica, nella sua forma classica, non si applica direttamente nei sistemi non inerziali.

Versione alternativa del terzo principio della dinamica

Questa sezione è rivolta a chi ha già familiarità con la teoria dei sistemi di punti materiali. Pertanto, il contenuto va oltre gli scopi di questo articolo, ma lo includiamo per completezza. Un modo alternativo per enunciare il terzo principio della dinamica è il seguente.

Terzo principio della dinamica

In un sistema di riferimento inerziale, la quantità di moto totale e il momento angolare totale rispetto a un polo fisso di un sistema materiale libero si conservano.

Da questa formulazione si dimostra che:

Terzo principio della dinamica

Se un corpo $A$ esercita una forza $\vec{F}_{AB}$ su un corpo $B$ , allora il corpo $B$ esercita su $A$ una forza $\vec{F}_{BA}$ di uguale modulo, con la stessa direzione e verso opposto:

$\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}.$

Bibliografia

Rosati, G., Fisica Generale 1, CEDAM, Padova, 1982.

Questo libro è una risorsa classica per la fisica generale e copre in dettaglio i principi della dinamica, tra cui le leggi di Newton e le applicazioni nella meccanica classica.

Mencuccini, C., & Silvestrini, V., Fisica: Meccanica e Termodinamica, Zanichelli, Bologna, 2007.

Un testo molto utilizzato nei corsi di fisica che fornisce una chiara esposizione dei concetti fondamentali della meccanica, inclusi gli esempi pratici come quelli citati negli articoli.

Holton, G., & Brush, S. G., Storia della fisica, Editori Laterza, Roma-Bari, 1999.

Questo libro offre una panoramica storica dello sviluppo della fisica, con particolare attenzione alla nascita e all’evoluzione delle leggi della dinamica e alla figura di Newton nel contesto storico.

Testi degli esercizi

Leggi della dinamica: esercizio 1

Esercizio 1 $(\bigstar \largewhitestar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar)$ . Il sistema in figura 1 è composto da due masse $m_1=10$ kg e $m_2=5$ kg in equilibrio. Se la forza di attrito statico tra il blocco di massa $m_1$ e il piano di appoggio è massima, quanto vale il coefficiente di attrito statico?

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Schema del problema di leggi della dinamica 1: due masse m1 = 10 kg e m2 = 5 kg in equilibrio, con m1 su un piano orizzontale e m2 sospesa, collegata tramite una carrucola. Determinare il coefficiente di attrito statico per m1.

Figura 1: schema del problema leggi della dinamica 1.

Svolgimento esercizio 1.

Leggi della dinamica: esercizio 2

Esercizio 2 $(\bigstar \largewhitestar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar)$ . Due corpi di masse $m_1$ e $m_2$ , collegati da un filo, scendono lungo un piano inclinato di un angolo $\alpha$ . Tra $m_1$ e il piano non c’è attrito mentre tra $m_2$ e il piano c’è attrito. Calcolare che valore deve avere il coefficiente di attrito $\mu$ affinchè il moto sia rettilineo uniforme.

Rendered by QuickLaTeX.com

Schema del problema di leggi della dinamica 2: due masse m1 e m2 collegate da un filo scendono lungo un piano inclinato. Si calcola il coefficiente di attrito per mantenere il moto uniforme.

Figura 2: schema del problema leggi della dinamica 2.

Svolgimento esercizio 2.

Leggi della dinamica: esercizio 3

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar)$ . Due masse $m_A$ e $m_B$ collegate da un filo possono scorrere su un piano inclinato liscio. Ad $A$ è applicata una forza variabile, diretta come in figura 3, di modulo $F=2t$ N/s (con $t$ espresso in secondi). Sapendo che il filo sopporta una tensione massima di modulo $T_{max}$ , determinare l’istante di rottura del filo.
Nota. Supporre il filo inestensibile e di massa trascurabile e trascurare ogni tipo di attrito.

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Figura 3: schema del problema leggi della dinamica 3.

Svolgimento esercizio 3.

Leggi della dinamica: esercizio 4

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar)$ . Un punto materiale di massa $m_1$ è collegato da un filo $\tau_1$ , inestensibile e di massa trascurabile, ad un punto fisso $O$ , e ad un punto materiale di massa $m_2$ tramite un filo $\tau_2$ , inestensibile e di massa trascurabile. I fili $\tau_1$ e $\tau_2$ hanno lunghezza rispettivamente $d_1$ e $d_2$ . Il sistema, che sta in un piano orizzontale, ruota con velocità angolare costante $\vec{\omega}$ attorno al punto fisso $O$ . Si trascuri ogni forma di attrito. Si richiede di trovare i moduli delle tensioni dei due fili.

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Schema del problema di leggi della dinamica 4: punto materiale m1 collegato da un filo a un punto fisso O, ruota con velocità angolare costante. Si richiede di trovare i moduli delle tensioni dei fili.

Figura 4: schema del problema leggi della dinamica 4.

Svolgimento esercizio 4.

Leggi della dinamica: esercizio 5

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar)$ Due masse $m_A$ e $m_B$ sono posizionate su un piano inclinato con angolo $\theta$ . I coefficienti di attrito dinamico tra i blocchi $A$ e $B$ e il piano sono rispettivamente $\mu_A$ e $\mu_B$ , con $\mu_A \neq \mu_B$ . Le masse sono collegate da un filo di lunghezza $d$ .

All’istante $t=0$ , la massa $A$ inizia a scivolare lungo il piano. All’istante $t_1$ , il filo si tende e la massa $B$ comincia a muoversi. Da quel momento, entrambe le masse si muovono con velocità costante.

Si richiede di calcolare:

Valori dei coefficienti di attrito. Il coefficiente di attrito $\mu_A$ in funzione di $\theta$ , $g$ , $d$ e $t_1$ , mentre $\mu_B$ va espresso in funzione di $g$ , $\theta$ , $m_A$ , $m_B$ , $d$ e $t_1$ .
La tensione del filo in funzione di $m_A$ , $g$ , $\theta$ , $d$ e $t_1$ .

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Figura 5: schema del problema leggi della dinamica 5.

Svolgimento esercizio 5.

Leggi della dinamica: esercizio 6

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sul doppio piano inclinato con $\theta_1=\dfrac{\pi}{6}$ e $\theta_2=\dfrac{\pi}{3}$ , sono posti due carrelli $C_1$ e $C_2$ , riempiti di sabbia in modo tale che valga $m_1 = \frac{3}{2} \, m_2$ . I due carrelli sono collegati tramite una fune inestensibile e di massa trascurabile che scorre su una carrucola, anch’essa di massa trascurabile, posta in cima al piano. Il lato sinistro del piano (a contatto con $C_1$ ) è liscio, mentre il lato destro (a contatto con $C_2$ ) è scabro. Inizialmente il sistema è fermo. Determinare il minimo coefficiente di attrito statico affinché ci sia equilibrio tra il piano e $C_2$ . Successivamente si sposta della sabbia da $C_2$ a $C_1$ e viene messo in moto il sistema. Calcolare, in funzione di $m_2$ , la quantità massima di sabbia che si può spostare affinché $C_2$ scenda con velocità costante, supponendo $\mu_d=\mu_s/2$ .

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Schema del problema di leggi della dinamica 6: doppio piano inclinato con angoli θ1 e θ2, due carrelli C1 e C2 collegati tramite fune inestensibile. Si calcola il minimo coefficiente di attrito statico per l'equilibrio del sistema.

Figura 6: schema del problema leggi della dinamica 6.

Svolgimento esercizio 6.

Leggi della dinamica: esercizio 7

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due masse puntiformi $m$ ed $M$ , collegate da un filo ideale di lunghezza $L$ e massa trascurabile, sono poggiate su una superficie sferica perfettamente liscia di raggio $R$ , come mostrato in figura 7. Gli angoli $\alpha$ e $\beta$ sono quelli che la congiungente con la massa $m$ ed $M$ rispettivamente forma con l’orizzontale come rappresentato in figura. Se il sistema è in equilibrio dimostrare che vale la seguente relazione:

(1) $\begin{equation*} \tan\alpha=\dfrac{\dfrac{m}{M}+\cos\left(\dfrac{L}{R}\right)}{\sin\left(\dfrac{L}{R}\right)}. \end{equation*}$

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Schema del problema di leggi della dinamica 7: due masse m e M collegate da un filo, poggiate su una superficie sferica. Si dimostra la relazione tra angoli α e β e le masse m e M.

Figura 7: schema del problema leggi della dinamica 7.

Svolgimento esercizio 7.

Leggi della dinamica: esercizio 8

Esercizio 8 $(\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una molla di costante elastica $k$ ha un estremo fissato ad un supporto verticale mentre l’altro estremo è collegato ad un blocco $A$ di massa $m_a$ , a contatto con un blocco B di massa $m_b$ . La molla inizialmente è compressa di una quantità $\Delta\ell$ e il sistema si trova in quiete su un piano orizzontale liscio. Ad un certo istante, la molla viene lasciata libera di espandersi. Calcolare:

1) l’istante di tempo in cui i due blocchi si separano;

2) la velocità di $B$ in quell’istante;

3) la massima compressione della molla successivamente al distacco di $B$ ;

4) l’istante di tempo in cui si è verificato.

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Schema del problema leggi della dinamica 8: una molla compressa collegata a due blocchi, A e B, che si trovano a contatto. Calcolare il tempo di separazione e la velocità di B.

Figura 8: schema del problema leggi della dinamica 8.

Svolgimento esercizio 8.

Leggi della dinamica: esercizio 9

Esercizio 9 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una forza costante $\vec{F}$ in modulo, direzione e verso spinge un blocco di massa $m$ contro una parete verticale (si veda la figura 9). La parete ha un coefficiente di attrito statico $\mu_s$ e un coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$ , con $\mu_s > \mu_d$ . Inizialmente, il blocco è fermo. Scrivere la condizione affinché il corpo $m$ rimanga fermo. Inoltre, scegliendo un opportuno sistema di riferimento inerziale, esprimere la forza esercitata sul blocco dalla parete in termini di versori. Successivamente, supporre che la forza $\vec{F}$ non sia sufficiente a mantenere il blocco $m$ fermo. Determinare l’accelerazione di $m$ rispetto a un sistema di riferimento inerziale, supponendo che $F\mu_d < mg$ .

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Schema del problema leggi della dinamica 9: un blocco di massa m spinto contro una parete verticale da una forza F. Determinare le condizioni affinché il blocco rimanga fermo e l'accelerazione se F non è sufficiente.

Figura 9: schema del problema leggi della dinamica 9.

Svolgimento esercizio 9.

Leggi della dinamica: esercizio 10

Esercizio 10 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un blocco di massa $m$ è spinto contro una parete orizzontale da una forza $\vec{F}$ costante in modulo, direzione e verso, come in figura 10. Si supponga che la parete sia scabra, con coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$ e che la forza $\vec{F}$ formi un angolo $\theta$ con un asse orizzontale, parallelo al piano, come in figura 10. Assumendo che il blocco strisci contro la parete, determinare l’accelerazione di $m$ rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.

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Schema del problema leggi della dinamica 10: un blocco di massa m spinto contro una parete inclinata da una forza F, formando un angolo θ con l'orizzontale. Determinare l'accelerazione del blocco.

Figura 10: schema del problema leggi della dinamica 10.

Svolgimento esercizio 10.

Leggi della dinamica: esercizio 11

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un blocco di massa $m$ scende lungo un piano inclinato scabro con pendenza $\theta$ . Il blocco di massa $m$ per arrivare alla fine del piano inclinato impiega un tempo $\tilde{t}$ , mentre nell’ipotesi che il piano fosse liscio impiegherebbe un tempo $\tilde{t}/2$ . Si richiede di determinare il valore del coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$ .

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Schema del problema leggi della dinamica 11: un blocco di massa m scende lungo un piano inclinato scabro. Determinare il coefficiente di attrito dinamico in funzione del tempo impiegato per scendere.

Figura 11: schema del problema leggi della dinamica 11.

Svolgimento esercizio 11.

Leggi della dinamica: esercizio 12

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . I blocchi $A$ e $B$ in figura 12 hanno massa rispettivamente $m_a$ e $m_b$ . Determinare la massa minima del blocco $C$ da collocare su $A$ per impedirne lo slittamento, sapendo che fra $A$ e il piano di appoggio il coefficiente di attrito statico è $\mu_s$ . Successivamente si toglie il blocco $C$ , sapendo che il coefficiente di attrito dinamico è $\mu_d$ determinare l’accelerazione del sistema.

Per risolvere il problema, si ipotizzi che la corda sia di massa trascurabile e che tra la carrucola e la corda non ci sia attrito. Inoltre, si supponga $m_b-\mu_sm_a>0$ e $m_b-\mu_dm_a>0$ .

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Schema del problema leggi della dinamica 12: i blocchi A e B collegati da una carrucola, con un blocco C posto sopra A. Calcolare la massa minima di C e l'accelerazione del sistema.

Figura 12: schema del problema leggi della dinamica 12.

Svolgimento esercizio 12.

Leggi della dinamica: esercizio 13

Esercizio 13 $(\bigstar \bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una massa $m_1$ è posta sopra una massa $m_2$ . Le due masse sono collegate da una fune inestensibile e di massa trascurabile tramite una carrucola. Una terza massa $m_3$ è collegata alla massa $m_2$ da una fune inestensibile e di massa trascurabile tramite una seconda carrucola, come illustrato in figura 13. Tutte le superfici di contatto sono scabre, con coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$ . Calcolare:

il valore del modulo dell’accelerazione di ciascuna delle tre masse;
il modulo della tensione della fune che collega $m_1$ ad $m_2$ ;
il modulo della tensione della fune che collega $m_2$ ad $m_3$ ;
il vettore risultante che agisce sul terreno su cui giace $m_2$ .

Si trascuri l’attrito tra funi e carrucole.

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Schema del problema leggi della dinamica 13: tre masse m1, m2, e m3 collegate tramite funi e carrucole, con attrito dinamico presente. Calcolare le tensioni delle funi e le accelerazioni delle masse.

Figura 13: schema del problema leggi della dinamica 13.

Svolgimento esercizio 13.

Leggi della dinamica: esercizio 14

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un corpo di massa $m$ poggia su un piano inclinato formante un angolo $\theta$ con l’orizzontale. Il coefficiente d’attrito statico tra corpo e piano è pari a $\mu_s$ . Determinare il valore minimo e massimo della forza orizzontale che occorre applicare al corpo per mantenerlo in equilibrio statico. Supporre $\cos \theta > \mu_s \sin \theta$ .

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Schema del problema leggi della dinamica 14: un corpo di massa m su un piano inclinato, con una forza orizzontale applicata. Determinare il valore minimo e massimo della forza necessaria per mantenere l'equilibrio statico.

Figura 14: schema del problema leggi della dinamica 14.

Svolgimento esercizio 14.

Leggi della dinamica: esercizio 15

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due corpi $A$ e $B$ entrambi di massa $m$ sono legati tra loro mediante un filo ideale (massa trascurabile ed inestensibile) al quale è agganciato un corpo $C$ di massa $m_C$ , come illustrato in figura 15. Il corpo $C$ è vincolato in una posizione tale per cui la direzione individuata dalla congiungente tra $A$ e $B$ formi un angolo $\theta_A$ con la direzione della congiungente tra $C$ ed $A$ ; analogamente la direzione della congiungente tra $A$ e $B$ formi un angolo $\theta_B$ con la direzione della congiungente tra $C$ e $B$ . I piani orizzontali su cui giacciono i corpi $A$ e $B$ sono entrambi scabri con coefficiente di attrito statico $\mu_{s}^A$ e $\mu_{s}^B$ rispettivamente. Supporre che entrambi i piani orizzontali si trovino allo stesso livello rispetto al suolo. Calcolare il massimo valore $m_{C,max}$ per la massa del corpo $C$ per cui il sistema rimaga in equilibrio.

Durante lo svolgimento del problema supporre che $\cot(\theta_A)>\mu_{s}^A$ e $\cot(\theta_{B})>\mu_{s}^B$ .

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Schema del problema leggi della dinamica 15: due corpi A e B collegati tramite un filo con un corpo C sospeso. Calcolare la massa massima di C per mantenere il sistema in equilibrio.

Figura 15: schema del problema leggi della dinamica 15.

Svolgimento esercizio 15.

Leggi della dinamica: esercizio 16

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due corpi di massa $m$ ed $M$ si trovano su un piano inclinato fisso formante un angolo $\alpha$ con l’orizzontale, come mostrato nella figura 16. Il coefficiente di attrito statico relativo al contatto tra $m$ e il piano inclinato è pari a $\mu_s$ , mentre per $M$ non c’è attrito. Determinare il valore massimo di $M$ per cui il sistema rimane in quiete.

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Figura 16: schema del problema leggi della dinamica 16.

Svolgimento esercizio 16.

Leggi della dinamica: esercizio 17

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si abbiano due corpi $A$ e $B$ di massa rispettivamente $m_A = 0.02$ kg e $m_B = 0.07$ kg. Il corpo $A$ poggia su un piano orizzontale liscio ed è collegato tramite una molla, di costante elastica $k=5$ N/m e lunghezza a riposo $\ell_0=10$ cm, ad un vincolo fisso $C$ e tramite un filo inestensibile al corpo $B$ . Inizialmente (istante $t=0$ ) il corpo $A$ è mantenuto in quiete da un’opportuna forza esterna che comprime la molla di una quantità pari a $d=2\,\text{cm}$ . Ad un certo istante la forza esterna viene rimossa, si determini:

la pulsazione del moto armonico compiuto dal sistema;
lo spostamento massimo di $A$ rispetto al vincolo $C$ ;
i valori massimo e minimo della tensione del filo.

Considerare la molla ideale, trascurare la massa della molla, della carrucola e del filo, assumere che il filo sia inestensibile e trascurare ogni tipo di attrito.

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Figura 17: schema del problema leggi della dinamica 17.

Svolgimento esercizio 17.

Leggi della dinamica: esercizio 18

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una massa $m$ è collegata tramite due molle ideali, di costanti elastiche $k_1$ e $k_2$ , e lunghezza a riposo $x_0$ , nei modi illustrati nella figura: in parallelo (fig. 18a) e in serie (fig. 18b). Dimostrare che la prima configurazione ha una frequenza di oscillazione non inferiore al doppio di quella della seconda configurazione.

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Figura 18b: configurazione con le molle in serie.

Svolgimento esercizio 18.

Leggi della dinamica: esercizio 19

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un corpo di massa $m_1$ è appoggiato su un piano orizzontale liscio è attaccato ad una molla di costante elastica $k$ . Sopra $m_1$ è poggiato un secondo corpo di massa $m_2$ ; il coefficiente di attrito statico tra i due è $\mu_s$ . Calcolare di quanto è possibile, con un’opportuna forza esterna, estendere la molla dalla posizione di riposo affinché il corpo $m_2$ non si muova rispetto a $m_1$ .

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Figura 19: schema del problema leggi della dinamica 19.

Svolgimento esercizio 19.

Leggi della dinamica: esercizio 20

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un blocco di massa $m=5.0$ kg è posto su di un piano inclinato e su di esso è applicata la forza orizzontale $\vec{F}$ di intensità $50$ N, come in figura 20. Il piano inclinato è scabro, e il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e piano è $\mu_k=0.30$ . Il coefficiente di attrito statico non è dato (ma per risolvere questo problema non vi occorre averne una conoscenza troppo precisa). Se il piano è inclinato di un angolo $\alpha=37^\circ$ rispetto all’orizzontale, rispondere ai seguenti punti:

qual è l’accelerazione del blocco se scivola verso l’alto?
Con la forza $\vec{F}$ sempre applicata, quanto salirà lungo il piano partendo da una velocità iniziale di $4.0\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ ?
Che cosa avverrà dopo che il blocco avrà raggiunto il punto più alto?

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Figura 20: schema del problema leggi della dinamica 20.

Svolgimento esercizio 20.

Leggi della dinamica: esercizio 21

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due punti materiali $1$ e $2$ , ciascuno di massa $m$ , sono vincolati a scorrere senza attrito lungo due binari in un piano orizzontale che formano tra di loro un angolo fisso $2\theta$ e che giacciono su un piano orizzontale. I due punti materiali sono connessi da una molla ideale, di lunghezza a riposo nulla, di costante elastica $k$ , e di massa trascurabile. Le due masse si muovono in modo da mantenere le rispettive distanze dal punto di giunzione dei due binari uguali tra loro. Calcolare:

Il modulo della forza esercitata dalla molla su ciascuna massa quando le masse distano $\ell$ dal punto in comune dei due binari;
il periodo del moto quando le masse vengono messe ad una distanza generica $x^\prime$ dal punto di intersezione delle due guide.

Si trascuri ogni forma di attrito e supporre che quando i due punti si urtino nel punto di intersezione delle due guide non ci sia dissipazione di energia. In altri termini, supporre che il moto sia periodico anche se sussiste un urto nella posizione di equilibrio $x^\prime=0$ , ovvero quando i due punti materiali si incontrano nel punto di intersezione tra le due guide.

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Figura 21: schema del problema leggi della dinamica 21.

Svolgimento esercizio 21.

Leggi della dinamica: esercizio 22

Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due corpi $A$ e $B$ di piccole dimensioni, ciascuno di massa $m$ , si trovano su un piano orizzontale liscio e sono collegati da una molla di costante elastica $k$ e lunghezza a riposo trascurabile. Due molle, uguali alla precedente, collegano $A$ a un punto fisso $P$ e $B$ a un secondo punto fisso $Q$ , con $\overline{PQ}=\ell$ .

Si determinino le posizioni di equilibrio di $A$ e $B$ .

Si sposta $A$ dalla posizione di equilibrio, avvicinandolo a $P$ di un tratto $\Delta\ell$ , e $B$ viene portato nella sua nuova posizione di equilibrio.

Si determinino le leggi orarie di $A$ e $B$ se i due corpi vengono contemporaneamente lasciati liberi di muoversi, scegliendo opportunamente un sistema di riferimento inerziale.

Si consideri il sistema vincolato a muoversi solo lungo il segmento $\overline{PQ}$ .

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Figura 22: schema del problema leggi della dinamica 22.

Svolgimento esercizio 22.

Leggi della dinamica: esercizio 23

Esercizio 23 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Il blocco della figura 23 ha massa $m$ , sta fermo su un piano inclinato scabro formante un angolo $\alpha$ con il piano orizzontale, e su di esso è applicata una forza $\vec{F}$ diretta come in figura 23. Inoltre, siano $\mu_s$ e $\mu_k$ rispettivamente i coefficienti d’attrito statico e dinamico del piano inclinato.

Qual è l’intensità minima che deve possedere la forza $\vec{F}$ , parallela al piano, per impedire al blocco di scivolare giù?
Qual è la minima intensità della forza richiesta per farlo partire verso l’alto?
Qual è l’intensità minima che deve possedere la forza $F$ per far scivolare il blocco verso l’alto a velocità costante?

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Figura 23: schema del problema leggi della dinamica 23.

Svolgimento esercizio 23.

Leggi della dinamica: esercizio 24

Esercizio 24 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due blocchi sono a contatto su una superficie priva di attrito. A uno dei blocchi è applicata una forza orizzontale $\vec{F}$ , come rappresentato in figura 24.

Per $m_1= 2.3$ kg, $m_2=1.2$ kg e $F=3.2$ N, si determini la forza di contatto fra i due blocchi.
Dimostrate che, applicando la stessa forza $F$ (in verso contrario) a $m_2$ invece che a $m_1$ , la forza di contatto fra i blocchi diventerebbe $2.1$ N, diversa da quella ricavata nel punto precedente. Si cerchi di spiegarne il motivo.

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Figura 24: schema del problema leggi della dinamica 24.

Svolgimento esercizio 24.

Leggi della dinamica: esercizio 25

Esercizio 25 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un blocco $A$ di massa $m_A$ poggia su un piano inclinato scabro, con coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$ , e formante un angolo $\theta$ con il piano orizzontale sui cui poggia. Il blocco $A$ è collegato tramite un filo, inestensibile e di massa trascurabile, ad una carrucola. La carrucola è collegata ad un blocco di massa $m_B$ . La situazione geometrica è rappresentata in figura 25. Si supponga che tra filo e carrucola non ci sia attrito e che il sistema sia inizialmente in quiete. Si richiede di determinare la massa $m_B$ affinché $A$ scenda giù per il piano inclinato a velocità di modulo costante.

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Figura 25: schema del problema leggi della dinamica 25.

Svolgimento esercizio 25.

Leggi della dinamica: esercizio 26

Esercizio 26 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un punto materiale di massa $m$ è situato sul piano di una slitta, assimilabile a un parallelepipedo di massa $M$ (si veda la figura 26) che si sta muovendo con una velocità $\vec{v}_0$ su un piano orizzontale liscio e senza attrito. La velocità $\vec{v}_0$ è parallela al piano orizzontale, come in figura 26. Fra punto materiale e piano della slitta c’è attrito, con coefficiente di attrito statico $\mu_s$ . Ad un certo istante la slitta colpisce una molla ideale orizzontale di costante elastica $k$ , fissata ad un muro verticale che fa decelerare il sistema fino a fermarlo. Determinare il massimo valore di $k$ affinché il punto materiale $m$ resti fermo rispetto alla slitta durante la decelerazione. Si ipotizzi che nell’urto con la molla sia elastico.

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Figura 26: schema del problema leggi della dinamica 26.

Svolgimento esercizio 26.

Leggi della dinamica: esercizio 27

Esercizio 27 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una massa $m_1$ su uno scivolo inclinato di $\alpha$ rispetto all’orizzontale è collegata, tramite un filo inestensibile di massa trascurabile, a una massa $m_2$ appoggiata su una superficie orizzontale, secondo lo schema della figura 27; si assuma puleggia e superficie prive di attrito. Se la direzione, il verso e il modulo della forza $\vec{F}$ è costante, qual è la tensione della corda di collegamento?

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Figura 27: schema del problema leggi della dinamica 27.

Svolgimento esercizio 27.

Leggi della dinamica: esercizio 28

Esercizio 28 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Nella figura 28 vediamo una cassa di massa $m=100$ kg spinta a velocità costante su per una rampa inclinata di $\alpha= 30^\circ$ , priva di attrito.

Qual è il modulo della forza orizzontale $\vec{F}$ è richiesta?
Che forza esercita la cassa sulla rampa?

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Figura 28: schema del problema leggi della dinamica 28.

Svolgimento esercizio 28.

Leggi della dinamica: esercizio 29

Esercizio 29 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una moneta di massa $m$ è ferma su un disco che ruota attorno ad un asse verticale passante per il suo centro con una velocità angolare costante, di modulo $\omega$ . La moneta si trova ad una distanza $r$ dal centro del disco. La superficie sul quale si trova la moneta è scabra e il coefficiente d’attrito statico è $\mu_s$ . Calcolare:

la forza d’attrito agente sulla moneta $F$ ;
il valore massimo di $\omega$ per cui la moneta continua a muoversi di moto circolare uniforme, senza “schizzare” via.

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Figura 29: schema del problema leggi della dinamica 29.

Svolgimento esercizio 29.

Leggi della dinamica: esercizio 30

Esercizio 30 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . I due blocchi della figura 30, di massa $m$ e $M$ , non sono saldati fra loro e sono spinti tra di loro tramite una forza $\vec{F}$ , orientata come in figura 30. La superficie tra i blocchi è scabra e ha coefficiente di attrito statico pari a $\mu_s$ , mentre la superficie orizzontale su cui appoggia $M$ è priva di attrito. Qual è l’intensità minima della forza orizzontale $\vec{F}$ necessaria per tenere $m$ contro $M$ , tale per cui $m$ non scivoli verso il basso, e il sistema sia libero di muoversi lungo il piano orizzontale? Si consideri $m$ ed $M$ come due punti materiali.

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Figura 30: schema del problema leggi della dinamica 30.

Svolgimento esercizio 30.

Leggi della dinamica: esercizio 31

Esercizio 31 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . La figura 31 mostra una massa $m$ , che percorre una circonferenza di raggio $r$ , su di un piano privo di attrito di un tavolo. La massa $m$ è collegata ad una seconda massa $M$ , tramite filo inestensibile e di massa trascurabile, che passa attraverso un foro al centro della circonferenza che percorre $m$ . Si trovi a quale velocità deve muoversi $m$ per impedire la caduta di $M$ .

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Figura 31: schema del problema leggi della dinamica 31.

Svolgimento esercizio 31.

Leggi della dinamica: esercizio 32

Esercizio 32 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano date due molle ideali di massa trascurabile, con costanti elastiche $k_1>0$ e $k_2>0$ , lunghezze a riposo trascurabili, e collegate in serie in posizione verticale ad un soffitto. Una massa $m$ viene appesa all’estremità delle due molle in presenza di gravità.
Calcolare il periodo $T$ della massa $m$ intorno al punto di equilibrio. Si assuma il sistema vincolato a muoversi nella sola direzione verticale.

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Figura 32: schema del problema leggi della dinamica 32.

Svolgimento esercizio 32.

Leggi della dinamica: esercizio 33

Esercizio 33 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un motoscafo di massa $m=1000$ kg sta navigando a una velocità iniziale $v_i=90$ km $/$ h quando il motore viene arrestato. L’intensità della forza di attrito fra la barca e l’acqua è proporzionale alla velocità della barca: $f_k = 70 v$ , con $f_k$ in newton e $v$ in metri al secondo. Trovate il tempo impiegato dalla barca per rallentare fino a $v_f=45$ km $/$ h. Tutte le velocità sono calcolate rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.

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Figura 33: schema del problema leggi della dinamica 33.

Svolgimento esercizio 33.

Leggi della dinamica: esercizio 34

Esercizio 34 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una cassa di massa $m$ a sezione quadrata scende per uno scivolo angolare come indicato nella figura 34. Il coefficiente di attrito dinamico è $\mu_k$ . Qual è l’accelerazione della cassa in funzione di $\mu_k$ , $\theta$ e $g$ ?

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Figura 34: schema del problema leggi della dinamica 34.

Svolgimento esercizio 34.

Leggi della dinamica: esercizio 35

Esercizio 35 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Tre blocchi, di massa $m_1$ , $m_2$ e $m_3$ , sono collegati fra loro da fili inestensibili di massa trascurabile, come illustrato nella figura 35. I tre blocchi sono tirati verso destra su un piano orizzontale privo di attrito da una forza $\vec{F}$ con direzione parallela al filo e diretta anch’essa verso destra. Si suppongano costanti il modulo, direzione e verso della forza $\vec{F}$ . Inoltre, durante tutto il moto si suppongano i fili sempre tesi durante tutto il moto. Si richiede di calcolare

il modulo dell’accelerazione di ogni corpo;
i moduli delle tensioni generate dai fili sulle masse, $T_1$ e $T_2$ .

Si trascuri ogni forma di attrito.

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Figura 35: schema del problema leggi della dinamica 35.

Svolgimento esercizio 35.

Leggi della dinamica: esercizio 36

Esercizio 36 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Siano tre blocchi di massa $m_A$ , $m_B$ e $m_C$ , tale per cui $m_A$ giacca su $m_B$ , ed $m_A$ sia collegato ad $m_B$ tramite un filo inestensibile, e di massa trascurabile, tramite una carrucola. Tutti gli attriti sono trascurabili e si consideri la massa della carrucola trascurabile. Grazie ad un’opportuna forza esterna $\vec{F}$ di direzione, verso e modulo costante, il sistema composto dai tre blocchi entra in movimento. Si determini il valore di $\vec{F}$ affinché la massa $m_A$ rimanga in quiete rispetto a $m_B$ . Il sistema fisico in esame è rappresentato nella figura che segue.

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Figura 36: schema del problema leggi della dinamica 36.

Svolgimento esercizio 36.

Leggi della dinamica: esercizio 37

Esercizio 37 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si calcoli il periodo di oscillazione di un corpo di massa $m$ collegato a due molle di costanti elastiche $k_1$ e $k_2$ , con lunghezze a riposo trascurabili, quando

1. il sistema si trova nella configurazione illustrata in figura 37a;
2. il sistema si trova nella configurazione illustrata in figura 37b.

Si consideri il piano liscio, le molle ideali, con lunghezze a riposo trascurabili, e masse trascurabile.

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Figura 37: schema del problema leggi della dinamica 37.

Svolgimento esercizio 37.

Leggi della dinamica: esercizio 38

Esercizio 38 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una molla ideale $AB$ , di lunghezza a riposo trascurabile, e massa trascurabile, è fissata per l’estremo $A$ al soffitto, si allunga di $y_{\text{AB}}$ quando all’estremo $B$ viene appesa una massa $m_1$ . La stessa massa provoca un allungamento $y_{\text{CD}}$ di una seconda molla ideale $CD$ , di lunghezza a riposo trascurabile, e massa trascurabile, fissata al soffitto per l’estremo $C$ . Si congiungono le due molle: l’estremo $A$ della prima è fissato al soffitto, mentre l’estremo $C$ della seconda è saldato all’estremo $B$ della prima. All’estremo libero $D$ viene agganciata una massa $m_2$ . Calcolare l’allungamento totale del sistema. La situazione descritta è rappresentata in figura 38.

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Figura 38: schema del problema leggi della dinamica 38.

Svolgimento esercizio 38.

Leggi della dinamica: esercizio 39

Esercizio 39 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una pallina scivola senza attrito dentro un tubicino di lunghezza $L=2h$ , dove $h$ è una costante con dimensione in metri, partendo con velocità nulla dall’estremità del tubicino posta alla quota $h$ rispetto all’altra estremità, in tre configurazioni diverse: (a), (b) e (c).
Si calcoli in quali dei tre casi illustrati in figura 39 la pallina fuoriesce dal tubicino nel minore o maggiore intervallo di tempo. Si assuma che, nel caso (a), il tubicino sia fatto in modo tale di permettere alla pallina di muoversi liberamente all’interno di esso senza mai sbattere o dissipare energia. In altri termini, nel caso (a) il lettore si immagini che tra i due “pezzi” di tubo lunghi $h$ siano fatti in modo tale da raccordarsi perfettamente senza far rimbalzare la pallina e farla tornare indietro, cosicché possa proseguire nel tratto orizzontale.

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Figura 39: schema del problema leggi della dinamica 39.

Svolgimento esercizio 39.

Leggi della dinamica: esercizio 40

Esercizio 40 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un corpo di massa $m$ poggia su di un piano orizzontale ed è soggetto ad una forza $\vec{F}$ parallela al piano orizzontale, modulo variabile e direzione costante. Si scelga un sistema di riferimento fisso $Ox$ , con l’asse delle $x$ coincidente con il piano orizzontale; rispetto a tale sistema di riferimento si assuma che, il corpo di massa $m$ si muova di moto rettilineo e che il modulo della sua quantità di moto sia $p(t)=ct^2$ , con $c$ costante avente unità di misura $\text{kg}\cdot \text{m}\cdot \text{s}^{-3}$ . Tale moto può essere prodotto:

da una forza $\vec{F}(t)$ dipendente dal tempo;
da una forza $\vec{F}(x)$ dipendente dalla posizione del corpo, con $x$ posizione generica del punto materiale nel sistema di riferimento scelto.

Si determini nei due casi il modulo della forza in funzione del tempo o della posizione. Inoltre, si assuma che, la massa $m$ non dipenda dal tempo.

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Figura 40: schema del problema leggi della dinamica 40.

Svolgimento esercizio 40.

Leggi della dinamica: esercizio 41

Esercizio 41 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un carrello scende lungo un piano inclinato di angolo $\theta$ con accelerazione $\vec{a}$ costante in modulo, direzione parallela al piano inclinato, e verso indicato in figura 41. Sul carrello si trova un corpo di massa $m$ , fissato ad una parete del carrello da una molla ideale, di massa trascurabile, lunghezza a riposo non trascurabile e di costante elastica $k$ . Si assuma che non ci siano attriti e che il corpo di massa $m$ sia in equilibrio rispetto al carrello. Si richiede di calcolare di quanto è deformata la molla rispetto alla posizione di riposo e in che verso avviene la deformazione se $g\sin \theta >\left \vert \vec{a}\right \vert$ oppure se $g\sin \theta<\left \vert \vec{a}\right \vert$ .

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Figura 41: schema del problema leggi della dinamica 41.

Svolgimento esercizio 41.

Leggi della dinamica: esercizio 42

Esercizio 42 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . I corpi $A$ e $B$ hanno rispettivamente massa $m_A$ e $m_B$ mentre la corda che li collega al corpo $C$ ha massa trascurabile. Il coefficiente di attrito statico per $A$ è $\mu_{A}$ mentre per $B$ è $\mu_B$ .
In riferimento ai parametri dati e alla figura 42, supporre che sia verificato quanto segue

(2) $\begin{equation*} \dfrac{m_A\mu_{A}}{\cos \theta_1-\mu_{A} \sin \theta_1}<\dfrac{m_B\mu_{B}}{\cos \theta_2-\mu_{B} \sin \theta_2}. \end{equation*}$

Si calcoli il massimo valore $m_{\max}$ della massa del corpo $C$ per cui il sistema rimane in equilibrio.

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Figura 42: schema del problema leggi della dinamica 42.

Svolgimento esercizio 42.

Leggi della dinamica: esercizio 43

Esercizio 43 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una lastra di massa $m_1$ è appoggiata su un pavimento privo di attrito. Su di essa è collocato un blocco di massa $m_2$ (si veda la figura 43). Fra il blocco e la lastra abbiamo $\mu_s$ e $\mu_d$ rispettivamente coefficiente di attrito statico e dinamico. Il blocco di massa $m_2$ è tirato da una forza orizzontale $\vec{F}$ . Determinare le accelerazioni per il blocco e la lastra rispetto ad un sistema di riferimento inerziale nelle seguenti due condizioni:

il blocco $m_2$ sia fermo rispetto ad $m_1$ ;
$m_2$ si muove rispetto ad $m_1$ .

Supporre che $\vert \vec{F}\vert -m_2g\mu_d>0$ .

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Figura 43: schema del problema leggi della dinamica 43.

Svolgimento esercizio 43.

Leggi della dinamica: esercizio 44

Esercizio 44 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due molle di costante elastica $k$ e massa trascurabile sono fissate in un piano verticale rispettivamente nei punti $(0,0)$ e $(x_\text{a},0)$ di un sistema di riferimento fisso $Oxy$ . Le due molle successivamente vengono allungate e poste a contatto, avendo cosi un punto in comune, al quale viene attaccato un un punto materiale di massa $m$ .
Determinare il punto $(x_\text{e},y_\text{e})$ di equilibrio del punto materiale nel piano verticale; successivamente il punto materiale è posto in un punto generico $(x_0,y_0)$ e poi rilasciato con velocità nulla, trovare l’equazione del moto e la sua soluzione.

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Figura 44: schema del problema leggi della dinamica 44.

Svolgimento esercizio 44.

Leggi della dinamica: esercizio 45

Esercizio 45 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Le coordinate polari di un punto che si muove in un piano variano nel tempo secondo la legge $r(t)=r_0 e^{-\frac{\omega t}{2\pi}}$ , $\theta = \omega t$ con $r_0,\omega \in \mathbb{R}$ . Calcolare la velocità del punto nell’istante $t=0$ e dire se il moto avviene sotto l’azione di una forza centrale. La distanza $r$ è il segmento che congiunge il punto materiale e un punto fisso nel piano (cioè il centro della possibile forza centrale). Inoltre, $\theta$ è l’angolo che forma $r$ con l’asse delle $x$ di un sistema di riferimento fisso $Oxy$ tale per cui $O$ sia il centro della possibile forza centrale.

Svolgimento esercizio 45.

Leggi della dinamica: esercizio 46

Esercizio 46 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un corpo di massa $m$ è fissato ad una estremità di una molla di massa trascurabile e costante elastica $k$ , avente l’altra estremità fissata a una parete fissa; tra il corpo e la superficie d’appoggio c’è attrito. I coefficienti di attrito $\mu_s$ e $\mu_d$ sono rispettivamente il coefficiente di attrito statico e il coefficiente di attrito dinamico. All’istante $t=0$ la molla ha lunghezza di riposo, mentre il blocco ha velocità $\vec{v}_0$ , come indicato in figura 46, di modulo $v_0$ . La velocità $\vec{v}_0$ è rispetto al piano orizzontale ed è parallela ad esso.
Supponendo che

(3) $\begin{equation*} \dfrac{\mu_dg}{\omega^2} \cos\left( \arctan\left(\dfrac{v_0\omega}{\mu_dg}\right)\right) + \dfrac{v_0}{\omega} \sin\left(\arctan\left(\dfrac{v_0\omega}{\mu_dg}\right)\right) - \dfrac{\mu_dg}{\omega^2}>0, \end{equation*}$

si richiede di calcolare

che spazio percorre il corpo prima di fermarsi;
che condizione deve valere per il corpo $m$ nel primo istante $t>0$ affinché rimanga fermo.

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Figura 46: schema del problema leggi della dinamica 46.

Svolgimento esercizio 46.

Leggi della dinamica: esercizio 47

Esercizio 47 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Da un sistema di riferimento inerziale $Oxy$ si osserva un punto materiale di massa $m$ soggetto ad una forza planare $\vec{F}=\left(-kx,-ky\right)$ , dove $x$ e $y$ sono rispettivamente la posizione lungo l’asse delle $x$ del punto materiale e la posizione del punto materiale lungo l’asse delle $y$ . Le posizioni $x$ e $y$ sono nel generico istante $t\geq0$ . All’istante $t=0$ il punto si trova in $\vec{r}\left(0\right)\equiv(2r_0,r_0)$ e ha velocità pari a $\vec{v}\left(0\right)\equiv(2v_0,-v_0)$ . Si richiede di determinare

le leggi orarie lungo l’asse delle $x$ e delle $y$ ;
la traiettoria;
l’istante di tempo in cui la velocità è massima ed in quale punto del piano $xy$ si trova il punto materiale .

I dati numerici del problema sono: $m=1 \; \mathrm{kg}, \,r_0=1 \; \mathrm{m},\,k=1 \; \mathrm{N}\cdot \text{m}^{-1},\,v_0=1 \; \mathrm{m}\cdot \text{s}^{-1}.$

Svolgimento esercizio 47.

Leggi della dinamica: esercizio 48

Esercizio 48 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In un sistema di riferimento fisso $Oxy$ è presente un filo inestensibile e di massa trascurabile di lunghezza $\ell$ , con un estremo nel punto $(0,\ell)$ e un estremo libero di muoversi al quale è attaccata una massa $m$ . Alla massa $m$ è a sua volta attaccata una bacchetta di massa trascurabile e di lunghezza $d$ . L’estremo $A$ della bacchetta si trova sull’asse delle $y$ , libero di muoversi. Si richiede di determinare la legge oraria dell’estremo $A$ nell’ipotesi che la massa $m$ compia delle piccole oscillazioni rispetto al punto di equilibrio stabile $\theta=0\,\text{rad}$ , dove $\theta$ è l’angolo che il filo di lunghezza $\ell$ forma con l’asse delle $y$ , come rappresentato in figura 48. Supporre che il sistema sia inizialmente fermo e che il filo formi un angolo $\theta_0$ molto piccolo con l’asse delle $y$ .

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Figura 48: schema del problema leggi della dinamica 48.

Svolgimento esercizio 48.

Leggi della dinamica: esercizio 49

Esercizio 49 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . In un sistema di riferimento fisso $Oxy$ , due circonferenze di raggio $R$ , rigide e prive di attrito, sono posizionate in un piano verticale, con i loro centri posizionati rispettivamente in $(0,0)$ e in $(d,0),$ come in figura 49. Sulla prima circonferenza è vincolato a muoversi un punto materiale di massa $m_1$ , mentre sulla seconda circonferenza è vincolato a muoversi un punto materiale $m_2$ . I due punti sono collegati da una molla ideale di massa trascurabile, lunghezza a riposo trascurabile e costante $k$ . Supponendo i due punti materiali in equilibrio si richiede di trovare l’equazione che determina l’equilibrio del sistema in funzione di $\alpha$ e $\beta$ per entrambe le masse, dove $\alpha$ e $\beta$ sono gli angoli rappresentati in figura 49. Successivamente, supponendo che $m_1=m_2=m$ si determini $\alpha$ e $\beta$ in funzione di $m$ , $g$ , $d$ e $k$ . Infine, studiare il caso in cui $m$ sia molto grande, molto piccolo e spiegare cosa accade. Inoltre, si supponga le circonferenze fisse.

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Figura 49: schema del problema leggi della dinamica 49.

Svolgimento esercizio 49.

Leggi della dinamica: esercizio 50

Esercizio 50 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . In un sistema di riferimento fisso $Oxy$ , un punto materiale di massa $m$ si muove lungo un piano inclinato fisso di lunghezza $s_0$ e formante un angolo $\alpha$ con l’asse delle $x$ , come rappresentato in figura 50. Al punto materiale viene attaccata un’asta di lunghezza $L$ avente massa trascurabile con estremo $x_A$ vincolato a muoversi lungo l’asse $x$ . Si determini $x_A(t)$ e $\dot{x}_A(t)$ che sono rispettivamente la posizione lungo l’asse delle $x$ dell’estremo dell’asta vincolato a muoversi sull’asse delle $x$ e la componente lungo l’asse delle $x$ della velocità dell’estremo dell’asta vincolato a muoversi lungo l’asse delle $x$ . Inoltre, si calcoli esplicitamente il valore che assume $\dot{x}_A(t)$ quando $m$ giunge alla base del piano inclinato. I dati noti del problema sono $s_0$ , $\alpha$ e $L$ .

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Figura 50: schema del problema leggi della dinamica 50.

Svolgimento esercizio 50.

Leggi della dinamica: esercizio 51

Esercizio 51 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si consideri un corpo di massa $m$ inizialmente fermo sulla sommità di un piano scabro inclinato di un angolo $\theta$ rispetto all’orizzontale di altezza $h=4$ m, come illustrato nella figura 51. All’istante $t=0$ , il corpo viene lasciato cadere. Il corpo arriva alla base del piano inclinato al tempo $t_f$ . A questo istante, la sua velocità $\vec{v}(t_f)$ ha modulo $v(t_f)$ , direzione parallela al piano e verso che punta verso il suolo. Calcolare il coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$ .

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Figura 51: schema del problema leggi della dinamica 51.

Svolgimento esercizio 51.

Leggi della dinamica: esercizio 52

Esercizio 52 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un corpo di massa $m=17\,\text{kg}$ è appoggiato su un piano orizzontale scabro ed è attaccato tramite una molla ideale di costante elastica $k = 530 \text{ N}\cdot\text{m}^{-1}$ e massa trascurabile ad una parte verticale, come rappresentato in figura 52. Il coefficiente di attrito statico tra il corpo e il piano vale $\mu_s=\text{0,38}$ . Si richiede di calcolare la massima compressione (o allungamento) che deve avere la molla affinché il corpo rimanga in equilibrio.

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Figura 52: schema del problema leggi della dinamica 52.

Svolgimento esercizio 52.

Leggi della dinamica: esercizio 53

Esercizio 53 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un corpo di massa $m$ è vincolato a muoversi lungo una retta ed è soggetto all’azione di una forza $\vec{F}$ costante in modulo, direzione e verso, nell’intervallo di tempo da $t=0$ a $t=t_1$ . Successivamente la forza decresce linearmente nel tempo (come illustrato in figura 53), annullandosi all’istante $t_2>t_1$ . Si richiede di calcolare le velocità del corpo agli istanti $t_1$ e $t_2$ assumendo che al tempo $t=0$ la sua velocità sia nulla.

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Figura 53: schema del problema leggi della dinamica 53.

Svolgimento esercizio 53.

Leggi della dinamica: esercizio 54

Esercizio 54 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un corpo di massa $m$ è collegato a due molle di costanti elastica $k_1$ e $k_2$ , come illustrato in figura 54. Il corpo può muoversi lungo un piano orizzontale privo di attrito, sotto l’azione delle due molle. La configurazione di equilibrio è realizzata quando le due molle sono nelle rispettive condizioni di riposo. Calcolare il periodo di oscillazione.

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Figura 54: schema del problema leggi della dinamica 54.

Svolgimento esercizio 54.

Leggi della dinamica: esercizio 55

Esercizio 55 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si consideri un corpo di massa $m = 8 \cdot 10^{-2}$ kg. Esso viene lasciato cadere, da inizialmente fermo, in acqua. Si osserva che, dopo un certo istante definito come $t=0$ , il corpo scende con velocità costante $v = \text{0,4 m}\cdot\text{s}^{-1}$ . Questo quindi accade per ogni istante $t\geq0$ . Calcolare la costante $k$ della forza di attrito viscoso agente sul corpo. Si trascuri la spinta di Archimede.

Svolgimento esercizio 55.

Leggi della dinamica: esercizio 56

Esercizio 56 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . È dato un piano scabro, inclinato di un certo angolo $\theta$ rispetto all’orizzontale. Un corpo di massa $m$ è appoggiato sul piano inclinato. Il coefficiente di attrito statico tra il corpo e il piano è $\mu = \text{0,72}$ . Calcolare il valore massimo dell’angolo di inclinazione del piano affinché il corpo resti in equilibrio per ogni istante $t\geq0$ .

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Figura 56: schema del problema leggi della dinamica 56.

Svolgimento esercizio 56.

Leggi della dinamica: esercizio 57

Esercizio 57 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Sia data una puleggia che può ruotare senza attrito intorno al suo asse di simmetria mantenuto orizzontale. Intorno alla puleggia è avvolta una fune inestensibile, ai cui estremi sono appesi due corpi di masse $m_1=20$ kg e $m_2 > m_1$ rispettivamente. La fune non slitta sulla puleggia e ha una tensione di rottura pari a $T_{\max} = 300$ N. Calcolare il valore massimo della massa $m_2$ affinché la fune non si spezzi.

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Figura 57: schema del problema leggi della dinamica 57.

Svolgimento esercizio 57.

Leggi della dinamica: esercizio 58

Esercizio 58 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Consideriamo una giostra rotante che possiamo modellare come un disco omogeneo. Essa compie una rotazione attorno al proprio asse fisso verticale, che passa per il centro $O$ come illustrato nella figura 58.
Vista dall’alto, la giostra ruota in senso antiorario e la sua velocità angolare aumenta nel tempo seguendo la relazione $\omega = \alpha t$ (valida per $t\geq 0$ ),
dove $\alpha$ è una costante positiva.
Sul disco è posizionato un baule, modellato come un corpo puntiforme $P$ di massa $m$ , situato a una distanza $r$ dall’asse di rotazione.
Data la condizione di attrito statico con coefficiente $\mu_s$ tra il baule e la giostra e considerando l’accelerazione gravitazionale $\vec{g}$ , vogliamo determinare l’istante $t_s>0$ in cui il baule inizia a scivolare sulla giostra in funzione dei parametri $\alpha$ , $m$ , $r$ , $g$ , e $\mu_s$ .

Figura 58: schema del problema leggi della dinamica 58.

Svolgimento esercizio 58.

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