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Esercizio 27  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una massa m_1 su uno scivolo inclinato di \alpha rispetto all’orizzontale è collegata, tramite un filo inestensibile di massa trascurabile, a una massa m_2 appoggiata su una superficie orizzontale, secondo lo schema della figura 1; si assuma puleggia e superficie prive di attrito. Se la direzione, il verso e il modulo della forza \vec{F} è costante, qual è la tensione della corda di collegamento?

 

 

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Svolgimento.  Scegliamo due sistemi di riferimento, fissi, Oxy e O'x'y' come in figura 2 e rappresentiamo esplicitamente le forze agenti sulle masse.

 

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Osserviamo che sulla massa m_2 sono applicate la forza peso \vec{P}_2=m_2\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}_2 e la tensione \vec{T}_2 del filo. Per la direzione x', l’unica in cui si ha effettivamente movimento, la seconda legge della dinamica si scriverà pertanto

(1)   \begin{equation*} T_2=m_2a, \end{equation*}

dove si è indicata con a l’accelerazione della massa m_2. Le forze relative alla massa m_1 sono invece rappresentate dalla forza peso \vec{P}_1=m_1\vec{g} e le sue componenti lungo le direzioni x e y, rispettivamente \vec{P}_{1x} e \vec{P}_{1y}, la reazione vincolare \vec{N}_1, la tensione del filo \vec{T}_1 e la forza \vec{F}. Per la massa m_1, pertanto, scriveremo la seconda legge della dinamica come segue

(2)   \begin{equation*} -T_1-m_1g\sin\alpha+F=m_1a, \end{equation*}

dove si è scritta esplicitamente P_{1x}=m_1g\sin\alpha e si è osservato che, essendo le due masse collegate da un filo inestensibile e teso, le due masse hanno la stessa accelerazione a in modulo. Poiché il filo è privo di massa e, tra filo e carrucola non è presente attrito, si ha T_1=T_2=T. Mettendo a sistema le equazioni (1) e (2), otteniamo

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle T=m_2a \\ \displaystyle -T-m_1g\sin\alpha+F=m_1a. \end{cases} \end{equation*}

Possiamo risolvere il sistema precedente per riduzione, sommando membro a membro delle due equazioni, ottenendo

(4)   \begin{equation*} -m_1g\sin\alpha+F=(m_1+m_2)a, \end{equation*}

da cui segue che l’accelerazione del sistema è

(5)   \begin{equation*} a=\frac{F-m_1g\sin\alpha}{m_1+m_2}, \end{equation*}

che possiamo sostituire alla prima equazione del sistema (3), ottenendo

    \[\boxcolorato{fisica}{ T=m_2\ \frac{F-m_1g\sin\alpha}{m_1+m_2}.}\]