Esercizio leggi della dinamica 28

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Esercizio 28 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Nella figura 1 vediamo una cassa di massa m=100 kg spinta a velocità costante su per una rampa inclinata di \alpha= 30^\circ, priva di attrito.

  1. Qual è il modulo della forza orizzontale \vec{F} è richiesta?
  2. Che forza esercita la cassa sulla rampa?

 

 

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Svolgimento.  Sulla massa m sono applicate la forza peso \vec{P}=m\vec{g} e le sue componenti lungo le direzioni x e y, rispettivamente \vec{P_{x}} e \vec{P_{y}}, la reazione vincolare \vec{N} e la forza esterna \vec{F}, anch’essa mostrata insieme alle sue componenti \vec{F}_x e \vec{F}_y. Osserviamo che la massa non si muove lungo la direzione y, pertanto, nello studio del moto della cassa, consideriamo la seconda legge della dinamica lungo la direzione x, la quale si scriverà

(1)   \begin{equation*} -P_x+F_x=0, \end{equation*}

dove si è posta uguale a zero l’accelerazione a secondo membro poiché la cassa si muove a velocità costante. Pertanto, esplicitando i singoli termini tenendo conto delle uguaglianze tra gli angoli mostrate in figura 2, si avrà

(2)   \begin{equation*} -mg\sin\alpha + F\cos\alpha=0, \end{equation*}

da cui segue la soluzione al punto 1 del problema, cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ F=\frac{mg\sin\alpha}{\cos\alpha} =mg\tan \alpha.}\]

 

Dal terzo principio della dinamica, la forza che la cassa esercita sulla rampa sarà uguale, in modulo, alla forza che la rampa esercita sulla cassa, ossia la reazione vincolare \vec{N}. Per determinare quest’ultima, consideriamo ancora la seconda legge della dinamica, ma questa volta analizzando le componenti delle forze lungo la direzione y; avremo

(3)   \begin{equation*} N-mg\cos\alpha-F\sin\alpha=0. \end{equation*}

Sostituendo F con quanto ricavato precedentemente ed isolando N, troveremo

(4)   \begin{equation*} N=mg\cos\alpha+\frac{mg\sin\alpha}{\cos\alpha}\sin\alpha, \end{equation*}

da cui segue

(5)   \begin{equation*} N=\dfrac{mg}{\cos\alpha}(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\dfrac{mg}{\cos\alpha}. \end{equation*}

Pertanto, in definitiva, concludiamo che il modulo di N vale

    \[\boxcolorato{fisica}{N=\frac{mg}{\cos\alpha},}\]

che rappresenta la soluzione al punto 2 del problema.