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Esercizio 29  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una moneta di massa m è ferma su un disco che ruota attorno ad un asse verticale passante per il suo centro con una velocità angolare costante, di modulo \omega. La moneta si trova ad una distanza r dal centro del disco. La superficie sul quale si trova la moneta è scabra e il coefficiente d’attrito statico è \mu_s. Calcolare:

  1. la forza d’attrito agente sulla moneta F;
  2. il valore massimo di \omega per cui la moneta continua a muoversi di moto circolare uniforme, senza “schizzare” via.

 

 

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Svolgimento.

In figura 1 è stato scelto un sistema di riferimento fisso Oxy, tale per cui il piano sul quale giaccia la moneta sia coincidente con il piano xy, e in modo tale che l’asse delle z passi per il centro della circonferenza che percorre la massa m. Il sistema di riferimento è stato scelto sicché la moneta all’istante iniziale si trovi sull’asse delle y. Rappresentiamo in figura 2 le forze agenti sulla massa m.

 

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Sulla massa m sono applicate la forza peso \vec{P}=m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N} e la forza d’attrito \vec{F}_s. La forza peso e la reazione vincolare sono perpendicolari al piano sul quale giace la massa m. La direzione della forza d’attrito statico appartiene a tale piano, ed il verso di quest’ultima è sempre rivolto verso il centro della circonferenza. In effetti, la forza di attrito statico si comporta come una forza centrale perché il corpo si muove di moto circolare uniforme, ed è l’unica forza agente lungo l’asse delle y nell’istante iniziale, di conseguenza è correlata, per mezzo della seconda legge della dinamica, all’accelerazione centripeta a_c=\omega^2 r; tale legge, lungo la direzione y, si scriverà come segue

    \[\boxcolorato{fisica}{ F_s=m\omega^2r.}\]

 

Il valore della forza d’attrito deve sempre essere minore o uguale del valore relativo alla forza d’attrito statico massimo; in formule, si ha

(1)   \begin{equation*} F_s \leq \mu_s N, \end{equation*}

ossia, sostituendo quanto trovato al punto 1 del problema, otteniamo

(2)   \begin{equation*} m\omega^2r \leq \mu_s N. \end{equation*}

Osserviamo che, lungo la direzione z, la seconda legge della dinamica si scrive come

(3)   \begin{equation*} N-mg=0, \end{equation*}

da cui segue subito che N=mg. Sostituiamo dunque tale espressione alla disequazione (2), ed esplicitiamo rispetto alla velocità angolare \omega, ottenendo

(4)   \begin{equation*} \omega^2 \leq \frac{\mu_sg}{r}. \end{equation*}

Dalla disequazione (4) deduciamo che il valore massimo \omega_{max} è

    \[\boxcolorato{fisica}{ \omega_{max}=\sqrt{\frac{\mu_sg}{r}}.}\]