Esercizio leggi della dinamica 30

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio 30 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . I due blocchi della figura 1, di massa $m$ e $M$ , non sono saldati fra loro e sono spinti tra di loro tramite una forza $\vec{F}$ , orientata come in figura 1. La superficie tra i blocchi è scabra e ha coefficiente di attrito statico pari a $\mu_s$ , mentre la superficie orizzontale su cui appoggia $M$ è priva di attrito. Qual è l’intensità minima della forza orizzontale $\vec{F}$ necessaria per tenere $m$ contro $M$ , tale per cui $m$ non scivoli verso il basso, e il sistema sia libero di muoversi lungo il piano orizzontale? Si consideri $m$ ed $M$ come due punti materiali.

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Svolgimento. Scegliamo un sistema di riferimento inerziale $Oxy$ , tale per cui nell’istante iniziale l’origine $O$ coincida con il punto materiale $m$ , come in figura 2.

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Sulla massa $m$ è applicata la forza peso $\vec{P}=m\vec{g}$ , che porta la massa $m$ a scivolare lungo il lato di $M$ ; tale moto lungo la direzione $y$ è ostacolato, in accordo con il testo, dalla presenza della forza d’attrito $\vec{F}_s$ che si oppone alla forza peso. La forza $\vec{F}$ è orientata lungo l’asse positivo delle $x$ , mentre la reazione vincolare $\vec{N}$ esercitata dal lato della massa $M$ sulla massa $m$ è orientata nella direzione negativa dell’asse delle $x$ ; tali forze hanno pertanto la stessa direzione, ma verso opposto. Si osservi che, per il terzo principio della dinamica, esisterà anche una forza $-\vec{N}$ agente su $M$ che ne comporta lo spostamento lungo $x$ . Si noti che per $M$ , lungo la direzione $y$ , sono presenti anche la forza peso $\vec{P}_M=m\vec{g}$ e la reazione vincolare rispetto alla superficie su cui poggia $M$ , ossia $\vec{R}$ ; queste ultime forze, però, non sono rilevanti ai fini del problema che stiamo esaminando perché il piano orizzontale sul quale poggia $M$ non è scabro. Scriviamo la seconda legge della dinamica per la massa $m$ , considerando quest’ultima nella direzione dell’asse delle $x$ e nella direzione dell’asse delle $y$ , che sono rispettivamente

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle F-N=ma \\ \displaystyle F_s-mg=0, \end{cases} \end{equation*}$

dove $a$ è l’accelerazione della massa $m$ lungo la direzione $x$ , mentre, essendo interessati al caso in cui la massa $m$ venga tenuta contro $M$ e non scivoli, l’accelerazione lungo $y$ è nulla. Considerando la seconda legge della dinamica per la direzione $x$ della massa $M$ , avremo invece

(2) $\begin{equation*} N=Ma. \end{equation*}$

Si noti che $M$ ha la stessa accelerazione $a$ della massa $m$ ; i due corpi, infatti, muovendosi insieme, hanno la stessa accelerazione pari ad $a$ . Mettendo a sistema l’equazione (2) con la prima equazione del sistema (1), si ottiene

(3) $\begin{equation*} F=(M+m)a, \end{equation*}$

da cui

(4) $\begin{equation*} a=\frac{F}{M+m}. \end{equation*}$

Notiamo che l’equazione (3) può essere vista come la seconda legge della dinamica di un corpo di massa $M+m$ al quale è applicata una forza di modulo $F$ nella direzione orizzontale.
Ricordiamo che la forza d’attrito statico $\vec{F}_s$ deve essere minore o uguale della forza d’attrito statico massima, ossia

(5) $\begin{equation*} F_s \leq \mu_s N. \end{equation*}$

Sfruttando la seconda equazione del sistema (1), la disequazione (5) diventa

(6) $\begin{equation*} mg \leq \mu_s N, \end{equation*}$

e sostituendo $N$ determinata nell’equazione (2), si ha

(7) $\begin{equation*} mg \leq \mu_s Ma. \end{equation*}$

A questo punto, è ancora possibile effettuare un’ultima sostituzione per l’accelerazione $a$ nella disequazione (7), in accordo con l’equazione (4), ottenendo

(8) $\begin{equation*} mg \leq \frac{\mu_s MF}{M+m}, \end{equation*}$