Home » Esercizio leggi della dinamica 30
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Esercizio 30  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). I due blocchi della figura 1, di massa m e M, non sono saldati fra loro e sono spinti tra di loro tramite una forza \vec{F}, orientata come in figura 1. La superficie tra i blocchi è scabra e ha coefficiente di attrito statico, mentre la superficie orizzontale su cui appoggia M è priva di attrito. Qual è l’intensità minima della forza orizzontale \vec{F} necessaria per tenere m contro M, tale per cui m non scivoli verso il basso, e il sistema sia libero di muoversi lungo il piano orizzontale? Si consideri m ed M come due punti materiali.

 

 

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Svolgimento.  Scegliamo un sistema di riferimento inerziale Oxy, tale per cui nell’istante iniziale l’origine O coincida con il punto materiale m, come in figura 2.

 

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Sulla massa m è applicata la forza peso \vec{P}=m\vec{g}, che porta la massa m a scivolare lungo il lato di M; tale moto lungo la direzione y è ostacolato, in accordo con il testo, dalla presenza della forza d’attrito \vec{F}_s che si oppone alla forza peso. La forza \vec{F} è orientata lungo l’asse positivo delle x, mentre la reazione vincolare \vec{N} esercitata dal lato della massa M sulla massa m è orientata nella direzione negativa dell’asse delle x; tali forze hanno pertanto la stessa direzione, ma verso opposto. Si osservi che, per il terzo principio della dinamica, esisterà anche una forza -\vec{N} agente su M che ne comporta lo spostamento lungo x. Si noti che per M, lungo la direzione y, sono presenti anche la forza peso \vec{P}_M=m\vec{g} e la reazione vincolare rispetto alla superficie su cui poggia M, ossia \vec{R}; queste ultime forze, però, non sono rilevanti ai fini del problema che stiamo esaminando perché il piano orizzontale sul quale poggia M non è scabro. Scriviamo la seconda legge della dinamica per la massa m, considerando quest’ultima nella direzione dell’asse delle x e nella direzione dell’asse delle y, che sono rispettivamente

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle F-N=ma \\ \displaystyle F_s-mg=0, \end{cases} \end{equation*}

dove a è l’accelerazione della massa m lungo la direzione x, mentre, essendo interessati al caso in cui la massa m venga tenuta contro M e non scivoli, l’accelerazione lungo y è nulla. Considerando la seconda legge della dinamica per la direzione x della massa M, avremo invece

(2)   \begin{equation*} N=Ma. \end{equation*}

Si noti che M ha la stessa accelerazione a della massa m; i due corpi, infatti, muovendosi insieme, hanno la stessa accelerazione pari ad a. Mettendo a sistema l’equazione (2) con la prima equazione del sistema (1), si ottiene

(3)   \begin{equation*} F=(M+m)a, \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} a=\frac{F}{M+m}. \end{equation*}

Notiamo che l’equazione (3) può essere vista come la seconda legge della dinamica di un corpo di massa M+m al quale è applicata una forza di modulo F nella direzione orizzontale.
Ricordiamo che la forza d’attrito statico \vec{F}_s deve essere minore o uguale della forza d’attrito statico massima, ossia

(5)   \begin{equation*} F_s \leq \mu_s N. \end{equation*}

Sfruttando la seconda equazione del sistema (1), la disequazione (5) diventa

(6)   \begin{equation*} mg \leq \mu_s N, \end{equation*}

e sostituendo N determinata nell’equazione (2), si ha

(7)   \begin{equation*} mg \leq \mu_s Ma. \end{equation*}

A questo punto, è ancora possibile effettuare un’ultima sostituzione per l’accelerazione a nella disequazione (7), in accordo con l’equazione (4), ottenendo

(8)   \begin{equation*} mg \leq \frac{\mu_s MF}{M+m}, \end{equation*}

da cui segue che, per la forza F, deve valere

(9)   \begin{equation*} F \geq \frac{mg(M+m)}{\mu_s M}. \end{equation*}

Dalla disequazione (9) deduciamo che la forza minima F_{\min} deve essere

    \[\boxcolorato{fisica}{ F_{\min}=\frac{mg(M+m)}{\mu_s M}.}\]