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Esercizio 31  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). La figura 1 mostra una massa m, che percorre una circonferenza di raggio r, su di un piano privo di attrito di un tavolo. La massa m è collegata ad una seconda massa M, tramite filo inestensibile e di massa trascurabile, che passa attraverso un foro al centro della circonferenza che percorre m. Si trovi a quale velocità deve muoversi m per impedire la caduta di M.

 

 

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Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy per osservare m, tale per cui all’istante iniziale il segmento che congiunge m al foro, ovvero il raggio della circonferenza, si trovi sull’asse delle x, e l’asse delle y perpendicolare al piano orizzontale. Scegliamo un secondo sistema di riferimento fisso O'y' per osservare M. Entrambi i sistemi di riferimento sono rappresentati in figura 2.

 

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Sulla massa m sono applicate la forza peso \vec{P}_m=m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N} e la tensione del filo \vec{T}_2. Per la massa M, invece, le uniche due forze applicate sono rappresentate dalla tensione del filo \vec{T}_1 e dalla forza peso \vec{P}_M=M\vec{g}, opposta alla prima. Tutte le forze sono rappresentate in figura 2. Per non far cadere la massa M deve valere

(1)   \begin{equation*} T_1-P_M=0. \end{equation*}

L’equazione (1), con l’accelerazione a secondo membro posta uguale a zero, rappresenta la condizione di equilibrio. Dall’equazione precedente ricaviamo

(2)   \begin{equation*} T_1=Mg. \end{equation*}

Dunque, affinché la massa rimanga in quiete, la tensione del filo T_1 deve rimanere costante nel tempo. Si noti che dall’ipotesi di filo di massa trascurabile, si ha che T_1=T_2=T. Il moto effettuato dalla massa m deve allora essere circolare uniforme: tale massa è infatti collegata alla massa M per mezzo di un filo inestensibile e pertanto, lungo l’asse x, la seconda legge della dinamica si scriverà come

(3)   \begin{equation*} T_2=ma, \end{equation*}

dove l’accelerazione a è l’accelerazione centripeta perché istante per istante la tensione \vec{T}_2 punto sempre nella direzione del foro, e quindi è una forza centrale. L’accelerazione è a={v^2}/{r}, dove v è il modulo della velocità di m rispetto al sistema di riferimento Oxy, da cui

(4)   \begin{equation*} T_2=T=\frac{mv^2}{r}. \end{equation*}

Siccome T è costante, dall’equazione precedente, si deduce che v è costante, cioè

(5)   \begin{equation*} v^2=\frac{rT}{m}, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ v=\sqrt{\frac{rMg}{m}}.}\]

Nel passaggio precedente si è usata l’equazione (2).

 

 

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