Esercizio leggi della dinamica 32

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio 32 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Siano date due molle ideali di massa trascurabile, con costanti elastiche k_1>0 e k_2>0, lunghezze a riposo trascurabili, e collegate in serie in posizione verticale ad un soffitto. Una massa m viene appesa all’estremità delle due molle in presenza di gravità.
Calcolare il periodo T della massa m intorno al punto di equilibrio. Si assuma il sistema vincolato a muoversi nella sola direzione verticale.

 

 

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Svolgimento.  Il blocco di massa m in esame è vincolato a muoversi verticalmente, per cui è utile definire un sistema di riferimento cartesiano inerziale Oy, con l’origine O alla stessa quota del soffitto, come illustrato in figura 2.

 

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Denominato A il punto di saldatura tra le due molle, costruiamo il diagramma di corpo libero. Sul corpo di massa m agiscono la forza peso m\vec{g} e la forza elastica dovuta alla seconda molla \vec{F}_{\text{el},2}, orientate come in figura 2. In corrispondenza del punto di saldatura A agisce la forza elastica -\vec{F}_{\text{el},2}, essendo la molla di massa trascurabile, e la forza elastica \vec{F}_{\text{el},1} in seguito all’allungamento della prima molla, orientate come in figura 2.
Denotiamo y la generica posizione del corpo di massa m nel sistema di riferimento scelto. Per il secondo principio della dinamica, per il corpo di massa m, otteniamo che

(1)   \begin{equation*} mg-F_{\text{el},2}=m\ddot{y}\quad\Leftrightarrow\quad mg-k_2\Delta y_2=m\ddot{y}, \end{equation*}

dove \Delta y_2 rappresenta l’allungamento/compressione della seconda molla in un generico istante t>0.
Analogamente, per la seconda legge della dinamica, nel punto di saldatura A segue che

(2)   \begin{equation*} F_{\text{el},2}-F_{\text{el},1}=0\quad\Leftrightarrow\quad k_2\Delta y_2-k_1\Delta y_1=0\quad\Leftrightarrow\quad k_2\Delta y_2=k_1\Delta y_1, \end{equation*}

dove \Delta y_1 rappresenta l’allungamento/compressione della prima molla in un generico istante t>0. Si osservi che nella precedente equazione si è posto il membro destro uguale a zero perché le molle hanno massa trascurabile, e di conseguenza anche il punto di saldatura A delle stesse.
Dalla geometria del problema, si ha

(3)   \begin{equation*} \Delta y_1+\Delta y_2=y. \end{equation*}

Mettendo a sistema le precedenti equazioni, otteniamo

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} mg-k_2\Delta y_2=m\ddot{y}\\[10pt] k_1\Delta y_1=k_2\Delta y_2\\[10pt] \Delta y_1+\Delta y_2=y, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} mg-k_2\Delta y_2=m\ddot{y}\\[10pt] k_1(y-\Delta y_2)=k_2\Delta y_2\\[10pt] \Delta y_1=y-\Delta y_2, \end{cases} \end{equation*}

o anche

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} mg-k_2\Delta y_2=m\ddot{y}\\[10pt] \Delta y_2=\dfrac{k_1}{k_1+k_2}y\\[10pt] \Delta y_1=y-\Delta y_2, \end{cases} \end{equation*}

oppure

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} mg-\dfrac{k_2k_1}{k_1+k_2}y=m\ddot{y}\\[10pt] \Delta y_2=\dfrac{k_1}{k_1+k_2}y\\[10pt] \Delta y_1=y-\Delta y_2, \end{cases} \end{equation*}

cioè

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} \ddot{y}+\dfrac{1}{m}\left(\dfrac{k_1k_2}{k_1+k_2}\right)y-g=0\\[10pt] \Delta y_2=\dfrac{k_1}{k_1+k_2}y\\[10pt] \Delta y_1=y-\Delta y_2. \end{cases} \end{equation*}

Consideriamo la prima equazione del precedente sistema

(9)   \begin{equation*} \ddot{y}+\dfrac{1}{m}\left(\dfrac{k_1k_2}{k_1+k_2}\right)y-g=0\quad\Leftrightarrow\quad \ddot{y}+\dfrac{k_{\text{eq}}}{m}y-g=0, \end{equation*}

dove abbiamo definito la costante elastica equivalente k_{\text{eq}} come

(10)   \begin{equation*} k_{\text{eq}}=\dfrac{k_1k_2}{k_1+k_2}. \end{equation*}

L’equazione (9) descrive un oscillatore armonico con pulsazione \omega tale che

(11)   \begin{equation*} \omega^2=\dfrac{k_{\text{eq}}}{m}. \end{equation*}

Dall’equazione (11) ricaviamo che il periodo di oscillazione intorno alla posizione di equilibrio è pari a

(12)   \begin{equation*} T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k_{\text{eq}}}}. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di k_{\text{eq}} (definita nell’equazione (10)) otteniamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{ T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m(k_1+k_2)}{k_1k_2}}.}\]

 

Approfondimento. In virtù di quanto discusso durante la risoluzione di questo esercizio abbiamo dimostrato che un sistema composto da due molle di massa trascurabile e di costanti elastiche k_1 e k_2 può essere schematizzato come un sistema costituito da una sola molla di costante elastica k_{\text{eq}} tale che

(13)   \begin{equation*} \dfrac{1}{k_{\text{eq}}}=\dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}. \end{equation*}

Si può intuire che un sistema fisico composto da N molle in serie di costanti elastiche k_{\text{i}} con \text{i}=1,...,N, può essere visto come un sistema composto da una sola molla di costante elastica k_{\text{eq}} tale che

(14)   \begin{equation*} \dfrac{1}{k_{\text{eq}}}=\sum_{i=1}^{N}\dfrac{1}{k_{\text{i}}}. \end{equation*}