Esercizio leggi della dinamica 33

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio 33 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un motoscafo di massa m=1000 kg sta navigando a una velocità iniziale v_i=90 km/h quando il motore viene arrestato. L’intensità della forza di attrito fra la barca e l’acqua è proporzionale alla velocità della barca: f_k = 70 v, con f_k in newton e v in metri al secondo. Trovate il tempo impiegato dalla barca per rallentare fino a v_f=45 km/h. Tutte le velocità sono calcolate rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.

 

 

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Svolgimento. Per affrontare il problema, scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy come in figura 2 e rappresentiamo esplicitamente le forze agenti sulla massa; in particolare, oltre alla forza d’attrito \vec{f}_k già rappresentata in figura 1 e rivolta verso il semiasse negativo delle x, sono presenti la forza peso m\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N}.

 

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Osserviamo subito che la massa m non si muove lungo la direzione y, pertanto, per la seconda legge della dinamica, sarà

(1)   \begin{equation*} N=mg. \end{equation*}

Lungo la direzione x, invece, l’unica forza agente è la forza d’attrito \vec{f}_k= - 70 v\, \hat{x}, dove \hat{x} rappresenta il versore relativo all’ asse x. La seconda legge della dinamica, per la direzione x, si scriverà dunque

(2)   \begin{equation*} -f_k=ma, \end{equation*}

dove, se si esplicita f_k e si sostituisce l’accelerazione a in accordo con la sua definizione, ossia a=\dfrac{dv}{dt}, si ottiene

(3)   \begin{equation*} -70v=m\frac{dv}{dt}. \end{equation*}

L’equazione (3) rappresenta una equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili; è pertanto possibile risolverla isolando per prima cosa le due variabili da integrare in membri diversi, ossia

(4)   \begin{equation*} -\frac{70}{m}dt=\frac{dv}{v}. \end{equation*}

Integriamo adesso tra l’istante di tempo iniziale t=0 s, che corrisponde alla velocità iniziale v_i e l’istante di tempo finale, che denoteremo con t_f e che corrisponde alla velocità finale v_f;

(5)   \begin{equation*} -\int_0^{t_f}\frac{70}{m}dt=\int_{v_i}^{v_f}\frac{dv}{v}. \end{equation*}

Integrando membro a membro l’equazione (5), si ha

(6)   \begin{equation*} -\frac{70}{m}t_f=\ln\left|\frac{v_f}{v_i}\right|, \end{equation*}

da cui segue che

    \[\boxcolorato{fisica}{ t_f=-\frac{m}{70}ln\left|\frac{v_f}{v_i}\right|=9.9\ \text{s},}\]

ottenendo, dunque, la soluzione del problema.

 

Fonte: D.Halliday, R.Resnick, J.Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Zanichelli.