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Esercizio 34  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una cassa di massa m a sezione quadrata scende per uno scivolo angolare come indicato nella figura 1. Il coefficiente di attrito dinamico è \mu_k. Qual è l’accelerazione della cassa in funzione di \mu_k, \theta e g?

 

 

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Svolgimento. Consideriamo un sistema di riferimento fisso Oxyz, come in figura 2 e figura 3, e rappresentiamo esplicitamente le forze agenti sulla massa.

 

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Oltre alla forza d’attrito dinamico \vec{f}_k, agente lungo la direzione x e rivolta verso il semiasse positivo di quest’ultima, sono presenti la forza peso \vec{P}=m\vec{g} e le sue componenti \vec{P}_x e \vec{P}_y lungo le direzioni tangente (asse x) e normale alla guida (asse y) su cui scorre la massa rispettivamente, e le reazioni vincolari \vec{N}_1 e \vec{N}_2; è importante notare infatti che la massa che scivola ha due lati a contatto con la guida, pertanto sono presenti due reazioni vincolari, una per lato (si veda la vista frontale in figura 2 e in figura 3).
Osserviamo che, per la geometria del problema, l’angolo presente tra l’asse y e la direzione relativa alla i-esima reazione vincolare \vec{N}_i è di 45^{\circ}: tale angolo, infatti, è metà dell’angolo esistente tra le direzioni delle due reazioni vincolari \vec{N}_1 ed \vec{N}_2, il quale è retto poiché le reazioni vincolari sono perpendicolari tra loro. Per la seconda legge della dinamica lungo l’asse z, si ha

(1)   \begin{equation*} N_1 \sin 45^\circ = N_2 \sin 45^\circ\quad\Leftrightarrow \quad N_1=N_2=N. \end{equation*}

Lungo l’asse delle y, per la seconda legge della dinamica, abbiamo

(2)   \begin{equation*} N_1\cos 45^\circ+N_2\cos 45^\circ =mg\cos\theta, \end{equation*}

da cui, ricordando il risultato pervenuto nell’equazione (1), otteniamo

(3)   \begin{equation*} 2N\cos 45^\circ=mg\cos\theta, \end{equation*}

o anche

(4)   \begin{equation*} \sqrt{2}N=mg\cos\theta, \end{equation*}

cioè

(5)   \begin{equation*} N=\dfrac{mg\cos\theta}{\sqrt{2}}. \end{equation*}

Nella direzione dell’asse delle x le forze agenti sono la forza d’attrito \vec{f}_k e la componente \vec{P}_x della forza peso, le quali hanno verso opposto. La forza di attrito \vec{f}_k ha modulo \left \vert \vec{f}_k \right \vert =f_k=2N\mu_k, perché siccome sono due le facce della massa che poggiano sullo scivolo angolare la forza di attrito totale è data dalla somma di due forze di attrito dinamico. Pertanto, la seconda legge della dinamica lungo la direzione x assume la forma

(6)   \begin{equation*} - mg\sin \theta + f_k= - ma, \end{equation*}

dove a è l’accelerazione del sistema nella direzione dell’asse delle x ed vale a>0. La precedente equazione può essere riscritta esplicitando la forza d’attrito dinamico come f_k=2N\mu_k= \sqrt{2} mg\mu_k \cos \theta (si ricordi il risultato pervenuto nell’equazione (5)), ottenendo dunque

(7)   \begin{equation*} - mg\sin \theta + \sqrt{2} mg \mu_k \cos \theta = - ma. \end{equation*}

Possiamo, nell’equazione (7), moltiplicare ambo i membri per -\dfrac{1}{m}, in modo da determinare esplicitamente l’accelerazione a, la quale è data da

    \[\boxcolorato{fisica}{ a=g\sin \theta - \mu_k \sqrt{2} g \cos \theta,}\]

ottenendo, dunque, la soluzione del problema.

 

Fonte: D.Halliday, R.Resnick, J.Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Zanichelli.