Home » Esercizio leggi della dinamica 35


 

Esercizio 35  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Tre blocchi, di massa m_1, m_2 e m_3, sono collegati fra loro da fili inestensibili di massa trascurabile, come illustrato nella figura 1. I tre blocchi sono tirati verso destra su un piano orizzontale privo di attrito da una forza \vec{F} con direzione parallela al filo e diretta anch’essa verso destra. Si suppongano costanti il modulo, direzione e verso della forza \vec{F}. Inoltre, durante tutto il moto si suppongano i fili sempre tesi durante tutto il moto. Si richiede di calcolare

  1. il modulo dell’accelerazione di ogni corpo;
  2. i moduli delle tensioni generate dai fili sulle masse, T_1 e T_2.

Si trascuri ogni forma di attrito.

 

 

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Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, come in figura 2, e rappresentiamo esplicitamente le forze agenti sulle masse; in particolare, sulla i-esima massa, agiscono la forza peso \vec{P}_i=-m_ig\ \hat{y}, dove \hat{y} è il versore relativo alla direzione y, la reazione vincolare \vec{N}_i=N_i\ \hat{y}, e le tensioni dei fili \vec{T}_i, con direzione lungo l’asse x, esplicitamente mostrate in figura 2.

 

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Nella direzione y non c’è movimento, essendo il sistema vincolato a muoversi lungo il piano orizzontale, allora per la i-esima massa si ha che la reazione vincolare \vec{N}_i è uguale in modulo alla forza peso m_i\vec{g}, cioè \vec{N}_i=-m_i\vec{g}, da cui \left \vert \vec{N}_i\right \vert =\left \vert m_i\vec{g}\right \vert. Per quanto concerne il moto lungo la direzione x, osserviamo subito che, per le ipotesi presenti al testo del problema, le tre masse collegate si muovono all’unisono e costituiscono pertanto un sistema unico, ossia che ogni massa si muove alla stessa velocità ed accelerazione nel verso positivo dell’asse delle x, per via della forza \vec{F}; possiamo allora scrivere esplicitamente la seconda legge della dinamica per ciascuna delle masse. Abbiamo dunque

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle T_1=m_1a \\ \displaystyle T_2-T_1=m_2a \\ \displaystyle F-T_2=m_3a, \end{cases} \end{equation*}

dove si è indicata con a l’accelerazione del sistema. Si osservi che abbiamo supposto che su m_1 sia applicata la tensione \vec{T}_1 e su m_2 la tensione -\vec{T}_1 per l’ipotesi di massa trascurabile del filo che collega le due masse; vale lo stesso discorso per le masse m_2 e m_3. Sommando, membro a membro, dalle precedenti tre equazioni del sistema, si ottiene

(2)   \begin{equation*} F=(m_1+m_2+m_3)a, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ a=\frac{F}{m_1+m_2+m_3},}\]

ottenendo, dunque, la soluzione al punto (a) del problema.

Possiamo conseguentemente determinare le tensioni T_1 e T_2 ancora dal sistema (1). Dalla prima equazione, in particolare, segue che

    \[\boxcolorato{fisica}{ T_1=\frac{Fm_1}{m_1+m_2+m_3},}\]

mentre, dalla seconda equazione,

(3)   \begin{equation*} T_2=T_1+m_2a=m_1a+m_2a=(m_1+m_2)a, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ T_2=\frac{F(m_1+m_2)}{m_1+m_2+m_3},}\]

e quindi la soluzione al punto (b) del problema.