Home » Esercizio leggi della dinamica 36


 

Esercizio 36  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Siano tre blocchi di massa m_A, m_B e m_C, tale per cui m_A giacca su m_B, ed m_A sia collegato ad m_B tramite un filo inestensibile, e di massa trascurabile, tramite una carrucola. Tutti gli attriti sono trascurabili e si consideri la massa della carrucola trascurabile. Grazie ad un’opportuna forza esterna \vec{F} di direzione, verso e modulo costante, il sistema composto dai tre blocchi entra in movimento. Si determini il valore di \vec{F} affinché la massa m_A rimanga in quiete rispetto a m_B. Il sistema fisico in esame è rappresentato nella figura che segue.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Svolgimento. Scegliamo un sistema di riferimento inerziale Oxy, come in figura 1. Le forze agenti su m_A sono la tensione \vec{T}_2 generata dal filo che lo collega alla carrucola nella direzione positiva dell’asse delle x, mentre su m_C nella direzione positiva dell’asse delle y abbiamo la tensione \vec{T}_1, generata dal filo che lo collega alla carrucola, e la sua forza peso m_Cg, nella direzione negativa dell’asse delle y.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Notiamo che, per ipotesi imposta dal testo, tra i vari blocchi non deve esserci movimento relativo, pertanto i tre blocchi si spostano all’unisono con la stessa accelerazione \vec{a} rispetto al sistema inerziale, nella direzione positiva dell’asse delle x. Per il blocco di massa m_A nella direzione positiva dell’asse delle x vale

(1)   \begin{equation*} T_2=m_Aa. \end{equation*}

Il blocco m_C nella direzione dell’asse delle y è vincolato a rimanere in quiete, poiché non deve esserci movimento relativo tra i vari blocchi, quindi, per la seconda legge della dinamica nella direzione dell’asse delle y, si ha

(2)   \begin{equation*} T_1=m_cg. \end{equation*}

Notiamo che, tra carrucola e filo non è presente attrito, pertanto vale T_1=T_2=T; da cui,
mettendo a sistema le equazioni (1) e (2), e sfruttando il fatto che le tensioni sono uguali in modulo, si trova

(3)   \begin{equation*} a = \dfrac{m_C}{m_A}g. \end{equation*}

Come detto in precedenza, tra i vari blocchi non c’è movimento relativo, pertanto il sistema può essere pensato come un unico blocco di massa M=m_A+m_B+m_C che si muove nel verso positivo dell’asse delle x con accelerazione \vec{a}, per via della forza \vec{F}. Dunque, per la seconda legge della dinamica per il blocco di massa M, si ha

(4)   \begin{equation*} F = (m_A+m_B+m_C) a. \end{equation*}

Mettendo a sistema le equazioni (3) e (4), si ottiene

    \[\boxcolorato{fisica}{ F = \left(m_A + m_B + m_C \right) \; \dfrac{m_C}{m_A}g.}\]