Esercizio leggi della dinamica 37

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Esercizio 37 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Si calcoli il periodo di oscillazione di un corpo di massa m collegato a due molle di costanti elastiche k_1 e k_2, con lunghezze a riposo trascurabili, quando

    1. il sistema si trova nella configurazione illustrata in figura 1a;
    2. il sistema si trova nella configurazione illustrata in figura 1b.

Si consideri il piano liscio, le molle ideali, con lunghezze a riposo trascurabili, e masse trascurabile.

 

 

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Svolgimento. Punto 1. Per lo svolgimento del primo punto ricordiamo che un sistema costituito da due molle in serie con costanti elastiche k_1 e k_2 rispettivamente, e lunghezze a riposo nulle, è equivalente ad un sistema avente una sola molla (per la dimostrazione si può vedere l’esercizio 18) con costante elastica

(1)   \begin{equation*} k_{\text{eq}}=\dfrac{k_1k_2}{k_1+k_2}. \end{equation*}

Definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy, con l’origine O in corrispondenza dell’estremità della molla, come illustrato in figura 2.

 

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Supponiamo che il corpo di massa m si trovi di una distanza x dall’origine O. Costruiamo il diagramma di corpo libero: sul corpo m agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N} e la forza elastica \vec{F}_{\text{el}}, orientate come in figura 2. Poiché il corpo m è vincolato è muoversi lungo il piano orizzontale, trascuriamo la dinamica lungo l’asse delle y. Pertanto dal secondo principio della dinamica, per il corpo di massa m, si ha che

(2)   \begin{equation*} -F_{\text{el}}=m\ddot{x}\quad\Leftrightarrow\quad -k_{\text{eq}}x=m\ddot{x}\quad\Leftrightarrow\quad \ddot{x}+\dfrac{k_{\text{eq}}}{m}x=0, \end{equation*}

dove x e \ddot{x} rappresentano rispettivamente la posizione di m e l’accelerazione di m rispetto la sistema di riferimento Oxy.
L’equazione (2) è l’equazione di un oscillatore armonico semplice, con pulsazione \omega, tale per cui

(3)   \begin{equation*} \omega^2=\dfrac{k_{\text{eq}}}{m}. \end{equation*}

In virtù di ciò segue che il periodo delle oscillazioni del corpo m intorno alla posizione di equilibrio è pari a

(4)   \begin{equation*} T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k_{\text{eq}}}}, \end{equation*}

da cui utilizzando l’espressione di k_{\text{eq}} ottenuta nell’equazione (1), otteniamo

    \[\boxcolorato{fisica}{ T=2\pi\sqrt{\dfrac{m(k_1+k_2)}{k_1k_2}}.}\]

Punto 2. Definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy, con l’origine O in corrispondenza dell’estremità saldata della molla di costante elastica k_1, che dista \ell dall’estremità della molla di costante elastica k_2 saldata all’altro vincolo, come illustrato in figura 3. Supponiamo che il corpo m si trovi in una posizione generica x, in modo tale da allungare la molla 1 di una quantità pari a x, e di allungare la molla 2 di una quantità \ell-x. Costruiamo il diagramma di corpo libero: sul corpo m agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}, la forza elastica della molla 1 \vec{F}_{\text{el,1}} e la forza elastica della molla 2 \vec{F}_{\text{el,2}}, orientate come in figura 3.

 

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Come nel punto 1, trascuriamo la dinamica lungo l’asse delle y. Dal secondo principio della dinamica, nella direzione dell’asse delle x, si ha che

(5)   \begin{equation*} F_{\text{el,2}}-F_{\text{el,1}}=m\ddot{x}\quad\Leftrightarrow\quad k_2(\ell-x)-k_1x=m\ddot{x}\quad\Leftrightarrow\quad m\ddot{x}+(k_1+k_2)x-k_2\ell=0, \end{equation*}

da cui

(6)   \begin{equation*} \ddot{x}+\dfrac{k_1+k_2}{m}x-\dfrac{k_2\ell}{m}=0, \end{equation*}

dove x e \ddot{x} rappresentano rispettivamente la posizione di m e l’accelerazione di m rispetto la sistema di riferimento Oxy.
L’equazione (6) descrive un oscillatore armonico, con pulsazione \omega, tale per cui

(7)   \begin{equation*} \omega^2=\dfrac{k_1+k_2}{m}. \end{equation*}

Il periodo è

(8)   \begin{equation*} T=\dfrac{2\pi}{\omega}, \end{equation*}

da cui, sostituendo nell’equazione (8) il valore di \omega ricavato dall’equazione (7), si ha che

    \[\boxcolorato{fisica}{ T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k_1+k_2}}.}\]