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Esercizio 18  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una massa m è collegata tramite due molle ideali, di costanti elastiche k_1 e k_2, e lunghezza a riposo x_0, nei modi illustrati nella figura: in parallelo (fig. 1a) e in serie (fig. 1b). Dimostrare che la prima configurazione ha una frequenza di oscillazione non inferiore al doppio di quella della seconda configurazione.

 

 

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Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy. Consideriamo inizialmente la situazione relativa al sistema in cui le molle sono disposte in parallelo. Come già indicato nel testo, riferendoci con k_1 e k_2 per le costanti elastiche delle due molle si ha che, allontanandosi dalla posizione di equilibrio (supporremo qui che questo avvenga mediante una opportuna forza esterna), entrambe le molle avranno lo stesso allungamento o accorciamento x rispetto alla lunghezza a riposo, come visibile in fig.2. Inoltre, sempre in figura 2, rappresentiamo il sistema di riferimento scelto e l’indicazione relativa alla lunghezza a riposo della molla.

 

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Le forze elastiche esercitate, pertanto, in accordo con la legge di Hooke, saranno F_1 = -k_1 x e F_2=-k_2 x, entrambe agenti lungo la stessa direzione e tendenti a riportare il corpo alla posizione a riposo della molla. Si osserva che, sommando le due forze, si avrà una forza risultante

(1)   \begin{equation*} F_{eq}= - k_1 x - k_2 x = - (k_1 + k_2) x = -k_{eq,p}x, \end{equation*}

dove si è introdotta per convenienza la costante elastica equivalente k_{eq,p}=k_1+k_2. Nel caso delle molle disposte in serie, invece, un allontanamento dalla lunghezza a riposo produce, in generale, allungamenti, o accorciamenti, diversi per entrambe le molle, come illustrato in fig.3. Definiamo x_1 l’allungamento/accorciamento della molla di costante elastica k_1 e definiamo x_2 l’allungamento/accorciamento della molla di costante elastica k_2.

 

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Osserviamo, in quest’ultimo caso, considerando anche la fig.3 precedente, quali sono le forze in gioco. La massa M subisce l’azione della forza \vec{F}_2=-k_2\vec{x}_2 (ricordiamo che in questo esercizio supponiamo la presenza di una forza esterna che equilibra perfettamente le forze elastiche agenti sulla massa M, in modo che quest’ultima sia in quiete); il punto di contatto tra la prima e la seconda molla subisce entrambe le forze, \vec{F}_1=k_1\vec{x}_1 e -\vec{F}_2=k_2\vec{x}_2. Affinché tale punto non si muova, deve dunque essere:

(2)   \begin{equation*} k_1x_1=k_2x_2. \end{equation*}

Osserviamo anche che possiamo considerare, nella trattazione di questo caso di molle in serie, un allungamento equivalente definito come x=x_1+x_2. Inseriamo adesso le considerazioni fatte finora nella seguente catena di uguaglianze:

(3)   \begin{equation*} F=-k_2x_2=-k_1x_1=-k_{eq,s}(x_1+x_2)= - k_{eq,s} x, \end{equation*}

dove la prima uguaglianza riguarda la forza \vec{F}_2 applicata sulla massa M, la quale, nella seconda uguaglianza, è posta uguale, in accordo con l’eq. (2) alla forza \vec{F}_1. Nella terza uguaglianza abbiamo dunque immaginato di sostituire le due molle con una equivalente di costante elastica k_{eq,s} che si è allungata di x. Considerando in particolare quest’ultima nostra posizione, ossia

(4)   \begin{equation*} F=-k_{eq,s}(x_1+x_2), \end{equation*}

dividendo per la costante elastica e sostituendo x_1=-\dfrac{F}{k_1} e x_2=-\dfrac{F}{k_2}, in accordo con le uguaglianze illustrate nell’eq.(3), avremo

(5)   \begin{equation*} \frac{F}{k_{eq,s}}=\frac{F}{k_1}+\frac{F}{k_2}, \end{equation*}

da cui

(6)   \begin{equation*} \frac{1}{k_{eq,s}}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}, \end{equation*}

la quale può essere riscritta come

(7)   \begin{equation*} k_{eq,s}=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}. \end{equation*}

In entrambi i casi studiati, in conclusione, arriviamo a rappresentare il nostro sistema come una massa collegata ad una molla di costante elastica equivalente k_{eq,p}, nel caso di molle in parallelo, o k_{eq,s}, nel caso di molle in serie. Ricordando adesso che nel caso di un sistema sottoposto a forza elastica la seconda legge della dinamica si scrive

(8)   \begin{equation*} -kx=m\ddot{x}, \end{equation*}

la quale rappresenta condizione necessaria e sufficiente perché quello analizzato sia un moto armonico avente pulsazione \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}; possiamo identificare rispettivamente

(9)   \begin{equation*} \omega_p=\sqrt{\dfrac{k_{eq,p}}{m}}=\sqrt{\dfrac{k_1+k_2}{m}}, \end{equation*}

nel caso del sistema con le molle in parallelo, e

(10)   \begin{equation*} \omega_s=\sqrt{\dfrac{k_{eq,s}}{m}}=\sqrt{\dfrac{k_1k_2}{m(k_1+k_2)}}, \end{equation*}

per il sistema con le molle in serie. Dimostriamo quanto richiesto dal testo per le pulsazioni appena ottenute, ossia:

(11)   \begin{equation*} \omega_p\geq 2\omega_s. \end{equation*}

Iniziamo considerando la seguente disequazione

(12)   \begin{equation*} (\sqrt{k_1}-\sqrt{k_2})^2 \geq 0, \end{equation*}

in cui il primo membro è uguale a 0 soltanto nel caso in cui le due molle abbiano la stessa costante elastica. Avremo a questo punto, sviluppando il quadrato di binomio e spostando a secondo membro il doppio prodotto:

(13)   \begin{equation*} k_1 + k_2 \geq 2\sqrt{k_1k_2}, \end{equation*}

nella quale è possibile dividere primo e secondo membro per il termine \sqrt{k_1+k_2}, il quale è sempre positivo:

(14)   \begin{equation*} \frac{k_1 + k_2}{\sqrt{k_1+k_2}} \geq 2\sqrt{\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}}, \end{equation*}

e dunque, in definitiva:

    \[\boxcolorato{fisica}{ \sqrt{k_1 + k_2} \geq 2\sqrt{\frac{k_1k_2}{k_1 + k_2}},}\]

ossia quanto volevasi dimostrare.

 

Per concludere, è interessante osservare che i risultati ottenuti in questo problema relativamente alle costanti elastiche equivalenti possono essere generalizzati al caso di n molle. Se poste in parallelo, infatti, si avrà una costante elastica data da

(15)   \begin{equation*} k_{eq,p}=k_1+k_2+...+k_n, \end{equation*}

mentre, se poste in serie, la costante elastica si ricava da

(16)   \begin{equation*} \frac{1}{k_{eq}}=\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}+...+\frac{1}{k_{n}}. \end{equation*}

Il sistema delle molle in serie e in parallelo si comporta in modo equivalente a quello di condensatori in serie e in parallelo.