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Esercizio 38  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una molla ideale AB, di lunghezza a riposo trascurabile, e massa trascurabile, è fissata per l’estremo A al soffitto, si allunga di y_{\text{AB}} quando all’estremo B viene appesa una massa m_1. La stessa massa provoca un allungamento y_{\text{CD}} di una seconda molla ideale CD, di lunghezza a riposo trascurabile, e massa trascurabile, fissata al soffitto per l’estremo C. Si congiungono le due molle: l’estremo A della prima è fissato al soffitto, mentre l’estremo C della seconda è saldato all’estremo B della prima. All’estremo libero D viene agganciata una massa m_2. Calcolare l’allungamento totale del sistema. La situazione descritta è rappresentata in figura 1.

 

 

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Svolgimento.

Per la risoluzione di questo problema è necessario innanzitutto conoscere le costanti elastiche delle molle AB e CD, che chiameremo rispettivamente k_1 e k_2 . Consideriamo la molla AB. Il corpo di massa m_1 è vincolato a muoversi verticalmente, da cui, deduciamo che è utile scegliere un sistema di riferimento fisso Oy, con l’origine O in corrispondenza della quota del soffitto, ed orientato come in figura 2.

 

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Costruiamo il diagramma di corpo libero: sul corpo di massa m_1 agiscono la forza peso m_1\vec{g} e la forza di richiamo elastica \vec{F}_{\text{el,AB}}, in quanto la molla è allungata di y_{\text{AB}}. Tutte le forze sono rappresentate in figura 2. Dal secondo principio della dinamica, imponendo che il corpo m_1 sia in equilibrio, si ha che

(1)   \begin{equation*} m_1g-F_{\text{el,AB}}=0\quad\Leftrightarrow\quad m_1g-k_1y_{\text{AB}}=0, \end{equation*}

da cui, esplicitando rispetto alla costante elastica k_1, ricaviamo che

(2)   \begin{equation*} k_1=\dfrac{m_1g}{y_{\text{AB}}}. \end{equation*}

Procediamo in modo analogo per la molla CD a cui è appesa la stessa massa m_1. Per la seconda legge della dinamica all’equilibrio, si ha

(3)   \begin{equation*} m_1g-F_{\text{el,CD}}=0\quad\Leftrightarrow\quad m_1g-k_2y_{\text{CD}}=0, \end{equation*}

da cui, esplicitando rispetto alla costante elastica k_2, otteniamo

(4)   \begin{equation*} k_2=\dfrac{m_1g}{y_{\text{CD}}}. \end{equation*}

Quando le due molle vengono disposte in serie alla loro estremità viene appesa una massa m_2, la quale causerà un allungamento complessivo pari ad \Delta y_{\text{AB}}+\Delta y_{\text{AB}}, dove \Delta y_{\text{AB}} e \Delta y_{\text{CD}} sono rispettivamente gli allungamenti delle molle AB e CD. Dato che le molle sono in serie il sistema complessivo può essere visto come un’unica molla di costante elastica k_{\text{eq}}=(1/k_1+1/k_2)^{-1}, alla quale è appeso un corpo di massa m_2, che la allunga di una quantità \Delta y=\Delta y_{\text{AB}}+\Delta y_{\text{CD}}, come illustrato in figura 3 (per la dimostrazione si può vedere l’esercizio 18).

 

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t Dal secondo principio della dinamica, richiedendo che il corpo m_2 sia in equilibrio, si ha che

(5)   \begin{equation*} m_2g-k_{\text{eq}}\Delta y=0\quad\Leftrightarrow\quad \Delta y=\dfrac{m_2g}{k_{\text{eq}}}. \end{equation*}

Dall’equazione (5), esplicitando l’espressione di k_{\text{eq}}, ricaviamo che l’allungamento complessivo delle molle AB e CD è pari a

(6)   \begin{equation*} \Delta y=m_2g\left(\dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}\right). \end{equation*}

Infine, utilizzando le espressioni di k_1 e k_2 ricavate alle equazioni (2) e (4) rispettivamente, otteniamo che

(7)   \begin{equation*} \Delta y=m_2g\left(\dfrac{y_{\text{AB}}}{m_1g}+\dfrac{y_{\text{CD}}}{m_1g}\right), \end{equation*}

ovvero

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta y=\dfrac{m_2}{m_1}(y_{\text{AB}}+y_{\text{CD}}).}\]

Osserviamo che nel caso in cui m_2=m_1, otteniamo che \Delta y=y_{\text{AB}}+y_{\text{CD}}.