Esercizio leggi della dinamica 39
L’esercizio 39 sulle leggi della dinamica è il trentanovesimo della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Leggi di Newton in meccanica classica. Questo esercizio è il successivo di Esercizio leggi della dinamica 38 ed è il precedente di Esercizio leggi della dinamica 40. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.
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Testo leggi della dinamica 39
Esercizio 39 . Una pallina scivola senza attrito dentro un tubicino di lunghezza , dove è una costante con dimensione in metri, partendo con velocità nulla dall’estremità del tubicino posta alla quota rispetto all’altra estremità, in tre configurazioni diverse: (a), (b) e (c).
Si calcoli in quali dei tre casi illustrati in figura 1 la pallina fuoriesce dal tubicino nel minore o maggiore intervallo di tempo. Si assuma che, nel caso (a), il tubicino sia fatto in modo tale di permettere alla pallina di muoversi liberamente all’interno di esso senza mai sbattere o dissipare energia. In altri termini, nel caso (a) il lettore si immagini che tra i due “pezzi” di tubo lunghi siano fatti in modo tale da raccordarsi perfettamente senza far rimbalzare la pallina e farla tornare indietro, cosicché possa proseguire nel tratto orizzontale.
Svolgimento Configurazione (a).
In riferimento alla configurazione (a) di figura 2, definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso in cui l’asse delle sia coincidente con la porzione orizzontale del tubicino di lunghezza e l’origine in corrispondenza dell’estremità verticale del tubicino che poggia sull’asse stesso, come illustrato in figura 3.
Sia la massa della pallina. Nel tratto la pallina è sottoposta alla sola forza peso nella direzione verticale (asse delle ), da cui, per il secondo principio della dinamica nella direzione dell’asse delle , si ha
(1)
dove è l’accelerazione della pallina nella direzione verticale nel tratto . La pallina si muove di moto uniformemente accelerato lungo l’asse delle con accelerazione data dall’equazione (1), per cui la legge oraria del moto è
(2)
dove , per come abbiamo definito il sistema di riferimento, è la posizione iniziale della massa . Per determinare la legge oraria della pallina si è posto che la la velocità iniziale sia nulla, essendo la pallina inizialmente ferma. Chiamiamo il tempo necessario alla pallina per percorrere il tratto verticale di lunghezza . Posto , la precedente equazione diventa
(3)
Nell’istante la velocità della pallina, nella direzione negativa dell’asse delle , è in modulo pari ad
(4)
Siccome le due guide del tubicino sono fatte in modo tale da raccordarsi perfettamente senza far rimbalzare la pallina e farla tornare indietro, cosicché possa proseguire nel tratto orizzontale, il modulo della velocità si conserva. Dunque, la velocità oltre ad essere il modulo della velocità finale del tratto verticale, è il modulo della velocità iniziale nella direzione orizzontale all’inizio del secondo tratto del tubicino. Una volta che la pallina giunge nell’origine la sommatoria delle forze agenti su di essa è nulla. Più precisamente lungo l’asse non agiscono forze, mentre sull’asse delle la forza peso è controbilanciata dalla reazione vincolare del tubo, essendo la pallina vincolata a muoversi in orizzontale, come illustrato in figura 4 e figura 5.
I versori e rappresentati in figura 5 sono i versori rispettivamente dell’asse delle e delle . Quindi, considerando il tubicino come una guida ideale, per il primo principio della dinamica la pallina si muove lungo l’asse delle di moto rettilineo uniforme con velocità costante , la cui legge oraria è data da
(5)
Chiamiamo il tempo che la pallina impiega a percorrere il restante tratto orizzontale . Posto , la precedente equazione diventa
(6)
da cui, sostituendo l’espressione di ricavata all’equazione (4) nell’equazione (6), otteniamo
(7)
Quindi, nella configurazione (a) la pallina fuoriesce dal tubicino in un tempo pari ad
(8)
ovvero, sostituendo il valore di ottenuto all’equazione (3), si trova
(9)
ossia
Svolgimento Configurazione (b).
Nella configurazione (b) la pallina si muove come se fosse su un piano inclinato di un angolo . Definiamo, pertanto, un sistema di riferimento cartesiano fisso con l’asse delle che sia coincidente con il tubicino, l’asse delle ad esso ortogonale e l’origine in corrispondenza della posizione iniziale della pallina, come illustrato in figura 7. Sulla pallina agiscono la forza peso e la reazione vincolare generata dal contatto con il piano inclinato. Entrambe le forze sono rappresentate in figura 7. Per il secondo principio della dinamica, proiettando le forze agenti sulla pallina lungo gli assi ed , troviamo
(10)
dove è l’accelerazione della pallina in questa nuova configurazione. Dalla prima equazione del sistema (10) ricaviamo che la pallina scende lungo il piano inclinato di moto uniformemente accelerato, con accelerazione .
La legge oraria della pallina è
(11)
dove la posizione iniziale del corpo rispetto all’origine è nulla per come abbiamo definito il sistema di riferimento , in altri termini all’istante la pallina si trova nell’origine del sistema di riferimento scelto. Chiamiamo il tempo impiegato dalla pallina per uscire dal tubo. Posto , la precedente equazione diventa
(12)
ossia
Svolgimento Configurazione (c).
Nella configurazione (c) poiché la pallina è inizialmente in quiete e su di essa non agiscono forze nella direzione orizzontale, per il primo principio della dinamica, la pallina permane nello stato di quiete. Da quanto detto deduciamo che, se non agiranno forze esterne a far muovere la pallina, essa non uscirà mai dal tubicino.
Conclusione. Per capire quale delle configurazioni (a) e (b) è la configurazione in cui pallina fuoriesce in un tempo maggiore o minore occorre fare delle considerazioni sull’angolo di cui è inclinato il tubicino nella configurazione (b), dato che il tempo dipende da . Riscriviamo i tempo ottenuti come segue
(13)
(14)
Osserviamo che
(15)
dove, nei passaggi precedenti, abbiamo usato le equazione (13) e (14). Quindi la configurazione (a) è quella in cui la pallina fuoriesce dal tubicino nel più breve tempo fintantoché
(16)
Viceversa, se il tubicino è inclinato di un angolo , la configurazione (b) è quella per cui la pallina impiega il minor tempo per fuoriuscire da esso. La configurazione (c) non è stata menzionata in questa ultima discussione perché la pallina non fuoriesce mai da essa.
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Un po’ di storia sulle leggi della dinamica
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Prima di Newton, la comprensione del movimento e delle forze era dominata dalle idee di Aristotele, un filosofo greco del IV secolo a.C. Aristotele credeva che tutti i corpi avessero un “luogo naturale” e che si muovessero solo quando una forza esterna agiva su di essi. Questa visione, conosciuta come “fisica aristotelica”, affermava che un oggetto in movimento si fermava automaticamente una volta cessata la forza che lo spingeva. Questa concezione aristotelica rimase predominante per secoli, influenzando profondamente la filosofia naturale. Tuttavia, presentava limitazioni significative, specialmente nella spiegazione di fenomeni come il moto dei pianeti o il comportamento dei proiettili. Nonostante i suoi limiti, la fisica aristotelica gettò le basi per lo sviluppo successivo delle leggi della dinamica.
Un punto di svolta nella comprensione del movimento fu segnato da Galileo Galilei, un matematico e fisico italiano del XVI secolo. Galileo sfidò molte delle idee di Aristotele, introducendo concetti che sarebbero stati fondamentali per la formulazione delle leggi della dinamica. Galileo fu il primo a dimostrare che la velocità di caduta di un oggetto non dipende dalla sua massa, ma dal tempo trascorso. Egli introdusse il concetto di inerzia, l’idea che un corpo in movimento rimane in movimento a meno che una forza esterna non intervenga. Questo principio di inerzia costituì la base della Prima legge di Newton, una delle tre leggi della dinamica che avrebbero rivoluzionato la fisica. Oltre a queste scoperte, Galileo sviluppò la metodologia scientifica basata sull’osservazione e l’esperimento, ponendo le basi per la fisica moderna. Le sue idee furono cruciali per la successiva formulazione delle leggi della dinamica da parte di Newton.
Isaac Newton, uno dei più grandi scienziati della storia, formulò le leggi della dinamica nel suo capolavoro “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica”, pubblicato nel 1687. Le tre leggi di Newton descrivono il comportamento del movimento e delle forze in modo preciso e matematico, fornendo una base solida per la meccanica classica. La Prima legge della dinamica, nota anche come legge dell’inerzia, afferma che un corpo in stato di quiete o di moto rettilineo uniforme rimane in tale stato finché non agisce su di esso una forza esterna. Questa legge formalizza il concetto introdotto da Galileo, stabilendo che il movimento non richiede una forza continua per essere mantenuto, ma solo per essere alterato. La legge dell’inerzia fu rivoluzionaria perché sfidava direttamente la fisica aristotelica, dimostrando che il moto non è il risultato di un’azione continua ma di una condizione naturale degli oggetti.
La Seconda legge della dinamica, forse la più famosa delle tre, stabilisce che la forza che agisce su un corpo è direttamente proporzionale alla sua massa e alla sua accelerazione, secondo la formula F = ma. Questa legge descrive come le forze influenzano il movimento degli oggetti e fornisce una base per calcolare le forze necessarie per muovere o fermare un oggetto. Questa legge è stata fondamentale per lo sviluppo della meccanica classica, permettendo di comprendere e prevedere con precisione il comportamento degli oggetti sotto l’influenza di forze diverse. È grazie a questa legge che possiamo spiegare fenomeni quotidiani, come la caduta di un oggetto o il lancio di un proiettile, con una precisione matematica.
La Terza legge della dinamica è forse la più intuitiva: afferma che per ogni azione esiste una reazione uguale e contraria. Questo significa che quando un oggetto esercita una forza su un altro, il secondo oggetto esercita una forza uguale e opposta sul primo. Questa legge è evidente in molti fenomeni quotidiani, come il rimbalzo di una palla o il funzionamento di un razzo. La comprensione di questa legge è essenziale per l’ingegneria e la tecnologia moderne, poiché spiega come le forze interagiscono in sistemi complessi.
Le leggi della dinamica di Newton hanno avuto un impatto profondo e duraturo sulla fisica classica. Prima della loro formulazione, la comprensione del movimento e delle forze era frammentaria e spesso basata su osservazioni qualitative piuttosto che su principi matematici. Le leggi di Newton hanno fornito una struttura coerente e matematica per descrivere il comportamento degli oggetti in movimento, permettendo ai fisici di fare previsioni accurate e di sviluppare nuove tecnologie. Grazie alle leggi della dinamica, è stato possibile sviluppare la meccanica celeste, che spiega il movimento dei pianeti e delle stelle. Queste leggi hanno permesso di calcolare con precisione le orbite dei corpi celesti, confermando le teorie di Keplero e contribuendo alla comprensione dell’universo. Le leggi della dinamica hanno anche gettato le basi per l’ingegneria moderna, permettendo la progettazione di macchine, edifici e veicoli con una comprensione precisa delle forze in gioco. Senza le leggi di Newton, molte delle tecnologie che diamo per scontate oggi, come gli aerei, le automobili e i ponti, non sarebbero possibili.
Con l’avvento della fisica moderna, alcune delle previsioni delle leggi della dinamica di Newton sono state riviste e ampliate. In particolare, la teoria della relatività di Einstein ha dimostrato che le leggi di Newton non sono sufficienti per descrivere il movimento a velocità prossime a quella della luce o in campi gravitazionali molto forti. Tuttavia, le leggi della dinamica rimangono valide e utili nella maggior parte delle situazioni quotidiane e continuano a essere insegnate come parte fondamentale della fisica.
Ulteriori risorse didattiche per la fisica
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- Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
- ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
- Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
- Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
- The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
- American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
- Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
- Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
- Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
- Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.