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Esercizio 39  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una pallina scivola senza attrito dentro un tubicino di lunghezza L=2h, dove h è una costante con dimensione in metri, partendo con velocità nulla dall’estremità del tubicino posta alla quota h rispetto all’altra estremità, in tre configurazioni diverse: (a), (b) e (c).
Si calcoli in quali dei tre casi illustrati in figura 1 la pallina fuoriesce dal tubicino nel minore o maggiore intervallo di tempo. Si assuma che, nel caso (a), il tubicino sia fatto in modo tale di permettere alla pallina di muoversi liberamente all’interno di esso senza mai sbattere o dissipare energia. In altri termini, nel caso (a) il lettore si immagini che tra i due “pezzi” di tubo lunghi h siano fatti in modo tale da raccordarsi perfettamente senza far rimbalzare la pallina e farla tornare indietro, cosicché possa proseguire nel tratto orizzontale.

 

 

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Svolgimento Configurazione (a).

Di seguito, in figura 2, diamo una rappresentazione stilizzata della configurazione (a).

 

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In riferimento alla configurazione (a) di figura 2, definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy in cui l’asse delle x sia coincidente con la porzione orizzontale del tubicino di lunghezza h e l’origine O in corrispondenza dell’estremità verticale del tubicino che poggia sull’asse stesso, come illustrato in figura 3.

 

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Sia m la massa della pallina. Nel tratto 0\leq y\leq h la pallina è sottoposta alla sola forza peso m\vec{g} nella direzione verticale (asse delle y), da cui, per il secondo principio della dinamica nella direzione dell’asse delle y, si ha

(1)   \begin{equation*} -mg=ma_1\quad\Leftrightarrow\quad a_1=-g, \end{equation*}

dove a_1 è l’accelerazione della pallina nella direzione verticale nel tratto 0\leq y\leq h. La pallina si muove di moto uniformemente accelerato lungo l’asse delle y con accelerazione a_1 data dall’equazione (1), per cui la legge oraria del moto è

(2)   \begin{equation*} y(t)=h-\dfrac{1}{2}gt^2, \end{equation*}

dove h, per come abbiamo definito il sistema di riferimento, è la posizione iniziale della massa m. Per determinare la legge oraria della pallina si è posto che la la velocità iniziale sia nulla, essendo la pallina inizialmente ferma. Chiamiamo t_1 il tempo necessario alla pallina per percorrere il tratto verticale di lunghezza h. Posto t=t_1, la precedente equazione diventa

(3)   \begin{equation*} y(t_1)=0=h-\dfrac{1}{2}gt_1^{2}\quad\Leftrightarrow\quad t_1 =\sqrt{\dfrac{2h}{g}}. \end{equation*}

Nell’istante t=t_1 la velocità della pallina, nella direzione negativa dell’asse delle y, è in modulo pari ad

(4)   \begin{equation*} v(t_1)=\left|v_0-gt_1\right|=gt_1. \end{equation*}

Siccome le due guide del tubicino sono fatte in modo tale da raccordarsi perfettamente senza far rimbalzare la pallina e farla tornare indietro, cosicché possa proseguire nel tratto orizzontale, il modulo della velocità si conserva. Dunque, la velocità v(t_1) oltre ad essere il modulo della velocità finale del tratto verticale, è il modulo della velocità iniziale nella direzione orizzontale all’inizio del secondo tratto del tubicino. Una volta che la pallina giunge nell’origine O la sommatoria delle forze agenti su di essa è nulla. Più precisamente lungo l’asse x non agiscono forze, mentre sull’asse delle y la forza peso è controbilanciata dalla reazione vincolare del tubo, essendo la pallina vincolata a muoversi in orizzontale, come illustrato in figura 4 e figura 5.

 

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I versori \hat{x} e \hat{y} rappresentati in figura 5 sono i versori rispettivamente dell’asse delle x e delle y. Quindi, considerando il tubicino come una guida ideale, per il primo principio della dinamica la pallina si muove lungo l’asse delle x di moto rettilineo uniforme con velocità costante v(t_1), la cui legge oraria è data da

(5)   \begin{equation*} x(t)=v(t_1)t. \end{equation*}

Chiamiamo t_2 il tempo che la pallina impiega a percorrere il restante tratto orizzontale h. Posto t=t_2, la precedente equazione diventa

(6)   \begin{equation*} x(t_2)=v(t_1)t_2=h\quad\Leftrightarrow\quad t_2=\dfrac{h}{v(t_1)}, \end{equation*}

da cui, sostituendo l’espressione di v(t_1) ricavata all’equazione (4) nell’equazione (6), otteniamo

(7)   \begin{equation*} t_2=\dfrac{h}{gt_1}. \end{equation*}

Quindi, nella configurazione (a) la pallina fuoriesce dal tubicino in un tempo pari ad

(8)   \begin{equation*} \Delta t_{\text{(a)}}=t_1+t_2=t_1+\dfrac{h}{gt_1}=\dfrac{gt_1^{2}+h}{gt_1}, \end{equation*}

ovvero, sostituendo il valore di t_1 ottenuto all’equazione (3), si trova

(9)   \begin{equation*} \Delta t_{\text{(a)}}=\dfrac{2h+h}{g}\sqrt{\dfrac{g}{2h}}=\dfrac{3h}{g}\sqrt{\dfrac{g}{2h}}, \end{equation*}

ossia

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta t_{\text{(a)}}=3\sqrt{\dfrac{h}{2g}}.}\]

Svolgimento Configurazione (b).

Di seguito, in figura 6, una rappresentazione stilizzata della versione (b).

 

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Nella configurazione (b) la pallina si muove come se fosse su un piano inclinato di un angolo \theta. Definiamo, pertanto, un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy con l’asse delle x che sia coincidente con il tubicino, l’asse delle y ad esso ortogonale e l’origine O in corrispondenza della posizione iniziale della pallina, come illustrato in figura 7. Sulla pallina agiscono la forza peso m\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N} generata dal contatto con il piano inclinato. Entrambe le forze sono rappresentate in figura 7. Per il secondo principio della dinamica, proiettando le forze agenti sulla pallina lungo gli assi x ed y, troviamo

(10)   \begin{equation*} \begin{cases} x: mg\sin\theta=ma_b\\ y: N-mg\cos\theta=0, \end{cases} \end{equation*}

dove a_b è l’accelerazione della pallina in questa nuova configurazione. Dalla prima equazione del sistema (10) ricaviamo che la pallina scende lungo il piano inclinato di moto uniformemente accelerato, con accelerazione a_b=g\sin\theta.

 

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La legge oraria della pallina è

(11)   \begin{equation*} x(t)=x_0+\dfrac{1}{2}at^2=\dfrac{1}{2}g\sin\theta \,t^2, \end{equation*}

dove la posizione iniziale del corpo x_0 rispetto all’origine O è nulla per come abbiamo definito il sistema di riferimento Oxy, in altri termini all’istante t=0 la pallina si trova nell’origine del sistema di riferimento scelto. Chiamiamo \Delta t_{\text{(b)}} il tempo impiegato dalla pallina per uscire dal tubo. Posto t=\Delta t_{\text{(b)}}, la precedente equazione diventa

(12)   \begin{equation*} x(\Delta t_{\text{(b)}})=2h\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}g\sin\theta\left(\Delta t_{\text{(b)}}\right)^2=2h, \end{equation*}

ossia

    \[\boxcolorato{fisica}{ \Delta t_{\text{(b)}}=2\sqrt{\dfrac{h}{g\sin\theta}}.}\]

Svolgimento Configurazione (c).

Di seguito, in figura 8, diamo una rappresentazione stilizzata della configurazione (c).

 

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Nella configurazione (c) poiché la pallina è inizialmente in quiete e su di essa non agiscono forze nella direzione orizzontale, per il primo principio della dinamica, la pallina permane nello stato di quiete. Da quanto detto deduciamo che, se non agiranno forze esterne a far muovere la pallina, essa non uscirà mai dal tubicino.

Conclusione. Per capire quale delle configurazioni (a) e (b) è la configurazione in cui pallina fuoriesce in un tempo maggiore o minore occorre fare delle considerazioni sull’angolo \theta\in(0,\pi/2) di cui è inclinato il tubicino nella configurazione (b), dato che il tempo \Delta t_{\text{(b)}} dipende da \theta. Riscriviamo i tempo ottenuti come segue

(13)   \begin{equation*} \Delta t_{\text{(a)}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{\dfrac{h}{g}}\\\ \Delta \end{equation*}

e

(14)   \begin{equation*} t_{\text{(a)}}=\dfrac{2}{\sqrt{\sin\theta}}\sqrt{\dfrac{h}{g}}. \end{equation*}

Osserviamo che

(15)   \begin{equation*} \Delta t_{\text{(a)}} < \Delta t_{\text{(a)}} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{3}{\sqrt{2}}<\dfrac{2}{\sqrt{\sin\theta}} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2}{9}>\dfrac{\sin\theta}{4}\quad\Leftrightarrow\quad \sin\theta<\dfrac{8}{9}, \end{equation*}

dove, nei passaggi precedenti, abbiamo usato le equazione (13) e (14). Quindi la configurazione (a) è quella in cui la pallina fuoriesce dal tubicino nel più breve tempo fintantoché

(16)   \begin{equation*} \sin\theta<\dfrac{8}{9}\quad\text{ossia}\quad\theta\lesssim 62.73^{\circ}. \end{equation*}

Viceversa, se il tubicino è inclinato di un angolo \theta\gtrsim 62.73^{\circ}, la configurazione (b) è quella per cui la pallina impiega il minor tempo per fuoriuscire da esso. La configurazione (c) non è stata menzionata in questa ultima discussione perché la pallina non fuoriesce mai da essa.

 

 

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