Esercizio leggi della dinamica 40

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio 40 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un corpo di massa $m$ poggia su di un piano orizzontale ed è soggetto ad una forza $\vec{F}$ parallela al piano orizzontale, modulo variabile e direzione costante. Si scelga un sistema di riferimento fisso $Ox$ , con l’asse delle $x$ coincidente con il piano orizzontale; rispetto a tale sistema di riferimento si assuma che, il corpo di massa $m$ si muova di moto rettilineo e che il modulo della sua quantità di moto sia $p(t)=ct^2$ , con $c$ costante avente unità di misura $\text{kg}\cdot \text{m}\cdot \text{s}^{-3}$ . Tale moto può essere prodotto:

da una forza $\vec{F}(t)$ dipendente dal tempo;
da una forza $\vec{F}(x)$ dipendente dalla posizione del corpo, con $x$ posizione generica del punto materiale nel sistema di riferimento scelto.

Si determini nei due casi il modulo della forza in funzione del tempo o della posizione. Inoltre, si assuma che, la massa $m$ non dipenda dal tempo.

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Svolgimento. Punto 1. Per il secondo principio della dinamica, sappiamo che

(1) $\begin{equation*} F(t)=\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{d}{dt}(ct^2)=2ct. \end{equation*}$

Quindi deduciamo che la forza, sotto la quale il corpo di massa $m$ si muove di moto rettilineo, cresce linearmente con nel tempo in accordo con la legge

$\boxcolorato{fisica}{ F(t)=2ct.}$

Di seguito, rappresentiamo il grafico di $F(t)$ nel caso particolare del valore $c=1$ .

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Punto 2. Per esprimere il modulo della forza in funzione della variabile $x$ è sufficiente esplicitare la variabile $t$ in funzione della variabile $x$ e sfruttare $F(t)=F(t(x))\equiv F(x)$ . Per definizione di quantità di moto, si ha

(2) $\begin{equation*} p(t)=mv(t)=m\dfrac{dx(t)}{dt}\quad\Leftrightarrow\quad ct^2=m\dfrac{dx(t)}{dt}. \end{equation*}$

Integrando rispetto al tempo, ambo i membri dell’equazione (2), si ottiene

(3) $\begin{equation*} \int ct^2\, dt=\int m\dfrac{dx(t)}{dt}\,dt, \end{equation*}$

o anche

(4) $\begin{equation*} \dfrac{ct^3}{3}+\text{costante}=mx(t). \end{equation*}$

Senza perdita di generalità, possiamo immaginare che il corpo di massa $m$ all’istante $t=0$ si trovi nell’origine del sistema di riferimento scelto, cioè che valga $x(0)=0$ . Imponendo la condizione $x(0)=0$ , la precedente equazione diventa