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Esercizio 40  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m poggia su di un piano orizzontale ed è soggetto ad una forza \vec{F} parallela al piano orizzontale, modulo variabile e direzione costante. Si scelga un sistema di riferimento fisso Ox, con l’asse delle x coincidente con il piano orizzontale; rispetto a tale sistema di riferimento si assuma che, il corpo di massa m si muova di moto rettilineo e che il modulo della sua quantità di moto sia p(t)=ct^2, con c costante avente unità di misura \text{kg}\cdot \text{m}\cdot \text{s}^{-3}. Tale moto può essere prodotto:

  1. da una forza \vec{F}(t) dipendente dal tempo;
  2. da una forza \vec{F}(x) dipendente dalla posizione del corpo, con x posizione generica del punto materiale nel sistema di riferimento scelto.

Si determini nei due casi il modulo della forza in funzione del tempo o della posizione. Inoltre, si assuma che, la massa m non dipenda dal tempo.

 

 

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Svolgimento Punto 1.

Per il secondo principio della dinamica, sappiamo che

(1)   \begin{equation*} F(t)=\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{d}{dt}(ct^2)=2ct. \end{equation*}

Quindi deduciamo che la forza, sotto la quale il corpo di massa m si muove di moto rettilineo, cresce linearmente con nel tempo in accordo con la legge

    \[\boxcolorato{fisica}{ F(t)=2ct.}\]

Di seguito, rappresentiamo il grafico di F(t) nel caso particolare del valore c=1.

 

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Svolgimento Punto 2.

Per esprimere il modulo della forza in funzione della variabile x è sufficiente esplicitare la variabile t in funzione della variabile x e sfruttare F(t)=F(t(x))\equiv F(x). Per definizione di quantità di moto, si ha

(2)   \begin{equation*} p(t)=mv(t)=m\dfrac{dx(t)}{dt}\quad\Leftrightarrow\quad ct^2=m\dfrac{dx(t)}{dt}. \end{equation*}

Integrando rispetto al tempo, ambo i membri dell’equazione (2), si ottiene

(3)   \begin{equation*} \int ct^2\, dt=\int m\dfrac{dx(t)}{dt}\,dt, \end{equation*}

o anche

(4)   \begin{equation*} \dfrac{ct^3}{3}+\text{costante}=mx(t). \end{equation*}

Senza perdita di generalità, possiamo immaginare che il corpo di massa m all’istante t=0 si trovi nell’origine del sistema di riferimento scelto, cioè che valga x(0)=0. Imponendo la condizione x(0)=0, la precedente equazione diventa

(5)   \begin{equation*} \text{costante}=0. \end{equation*}

Sostituendo \text{costante}=0 nell’equazione (4), si trova

(6)   \begin{equation*} \dfrac{ct^3}{3}=mx(t), \end{equation*}

oppure

(7)   \begin{equation*} t(x)=\left(\dfrac{3mx}{c}\right)^{\frac{1}{3}}, \end{equation*}

In virtù di quanto ottenuto nell’equazione (7), l’espressione analitica della forza ottenuta al primo punto del problema, diventa

    \[\boxcolorato{fisica}{ F(t(x))=\tilde{F}(x)=2c\left(\dfrac{3mx}{c}\right)^{\frac{1}{3}}.}\]

Di seguito, rappresentiamo il grafico di \tilde{F}(x) nel caso particolare dei valori c=1 e m=1.

 

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