Home » Esercizio leggi della dinamica 41

 

 

Esercizio 41  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un carrello scende lungo un piano inclinato di angolo \theta con accelerazione \vec{a} costante in modulo, direzione parallela al piano inclinato, e verso indicato in figura 1. Sul carrello si trova un corpo di massa m, fissato ad una parete del carrello da una molla ideale, di massa trascurabile, lunghezza a riposo non trascurabile e di costante elastica k. Si assuma che non ci siano attriti e che il corpo di massa m sia in equilibrio rispetto al carrello. Si richiede di calcolare di quanto è deformata la molla rispetto alla posizione di riposo e in che verso avviene la deformazione se g\sin \theta >\left \vert \vec{a}\right \vert oppure se g\sin \theta<\left \vert \vec{a}\right \vert.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Svolgimento.

Consideriamo un sistema di riferimento fisso Oxy, orientato in modo che l’asse x coincida con il piano inclinato. Chiamiamo x la posizione del corpo lungo l’asse delle x e con \tilde{x} la posizione della molla quando è a riposo, nel generico istante t>0, come rappresentato in figura 2.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

+

 

Definiamo \Delta x = x-\tilde{x}. La quantità \Delta x rappresenta quanto la molla sia compressa se \Delta x > 0 o allungata se \Delta x<0. Nella figura 2 abbiamo rappresentato la situazione in cui x<\tilde{x}, ossia che valga \Delta x < 0 e quindi la molla risulta essere allungata. Osserviamo che, il blocco m risulta essere fermo rispetto al carrello, pertanto m ha un accelerazione pari ad \vec{a} = a\hat{x} nel sistema di riferimento fisso, dove \hat{x} è il versore dell’asse delle x e a è la componente dell’accelerazione \vec{a} nella direzione dell’asse delle x. Le forze agenti sul corpo di massa m sono la reazione vincolare \vec{N}, la forza peso m\vec{g} e la forza della molla \vec{F}_{\text{M}}. Per la seconda legge della dinamica, abbiamo

(1)   \begin{equation*} \vec{N}+m\vec{g}+\vec{F}_{\text{M}}=m\vec{a}. \end{equation*}

Proiettando le forze lungo l’asse delle x e delle y, dalla precedente equazione, si ottiene

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} F_\text{M}+mg\sin \theta=m_1a\\ N-mg\cos \theta=0. \end{cases} \end{equation*}

La componente della forza della molla lungo l’asse delle x è F_{\text{M}}=-k\Delta x, da cui il precedente sistema diventa

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} -k\Delta x+mg\sin \theta=ma\\ N-mg\cos \theta=0. \end{cases} \end{equation*}

Dalla equazione (3)_1, si trova

(4)   \begin{equation*} \Delta x = \frac{m}{k} (g\sin\theta - a). \end{equation*}

Notiamo che, siccome il carrello si muove nel verso positivo delle x, si ha a=\left \vert \vec{a}\right \vert, per cui l’equazione (4) si può riscrivere come

(5)   \begin{equation*} \Delta x = \frac{m}{k} (g\sin\theta - \left \vert \vec{a}\right \vert). \end{equation*}

Dall’equazione (5), si deduce che, se vale la condizione g\sin\theta > \left \vert \vec{a}\right \vert si ha \Delta x>0, pertanto la forza della molla risulta essere negativa e quindi la molla è compressa; altrimenti, se vale la condizione mg\sin\theta < \left \vert \vec{a}\right \vert si ha \Delta x<0, pertanto la forza della molla risulta essere positiva e quindi la molla è allungata.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Osserviamo che se g\sin \theta =m\left \vert \vec{a}\right \vert si ha \Delta x=0, pertanto sotto tale condizione la molla si trova nella posizione di equilibrio.

 

 

error: Il contenuto è protetto!!