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Esercizio 42  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). I corpi A e B hanno rispettivamente massa m_A e m_B mentre la corda che li collega al corpo C ha massa trascurabile. Il coefficiente di attrito statico per A è \mu_{A} mentre per B è \mu_B.
In riferimento ai parametri dati e alla figura, supporre che sia verificato quanto segue

(1)   \begin{equation*} \dfrac{m_A\mu_{A}}{\cos \theta_1-\mu_{A} \sin \theta_1}<\dfrac{m_B\mu_{B}}{\cos \theta_2-\mu_{B} \sin \theta_2}. \end{equation*}

Si calcoli il massimo valore m_{\max} della massa del corpo C per cui il sistema rimane in equilibrio.

 

 

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Svolgimento.

In figura 1 rappresentiamo le forze agenti sui corpi m_A, m_B e m_C.

   

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Sul corpo A agiscono le seguenti forze: \vec{N}_A, che è la reazione vincolare generata dal contatto tra A è il piano di appoggio, la forza peso m_A\vec{g}, la forza di attrito statico \vec{f}_{s,A} generata dal contatto tra A e il piano di appoggio, ed infine la tensione \vec{T}_1 generata dal filo che collega il corpo A a C. \\ Sul corpo B agiscono la reazione vincolare \vec{N}_B generata dal contatto di B con il piano di appoggio, la forza di attrito statico \vec{f}_{s,B} generata sempre dal contatto tra B e il piano di appoggio, la forza peso m_B\vec{g} ed infine la tensione \vec{T_2} generata dal filo che collega B con C. Sul corpo C agiscono le tensioni -\vec{T}_1 e -\vec{T}_2 perché i fili che collegano C a A e C a B hanno massa trascurabile, ed infine la forza peso m_C\vec{g}.\\ Per la seconda legge della dinamica, nel caso di quiete, osservando da un sistema inerziale i corpi m_A, m_B e m_C, hanno rispettivamente

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} \vec{N}_A+\vec{f}_{s,A}+m_A\vec{g}+\vec{T}_1=\vec{0}\\[10pt] \vec{N}_B+\vec{f}_{s,B}+m_B\vec{g}+\vec{T}_2=\vec{0}\\[10pt] -\vec{T}_1-\vec{T}_2+m_C\vec{g}=\vec{0}. \end{cases} \end{equation*}

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy orientato come in figura 2.

 

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Proiettando le forze nella direzione x e nella direzione y, il sistema (2) diventa

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} N_A = m_Ag+T_1 \sin\theta_1 \\ f_{s,A} = T_1 \cos \theta_1\\ T_1 \cos \theta_1 = T_2 \cos \theta_2\\ T_1 \sin \theta_1 + T_2 \sin \theta_2 = m_C g\\ N_B = m_B g + T_2 \sin \theta_2 \\ f_{s,B} = T_2 \cos \theta_2, \end{cases} \end{equation*}

dove N_A, m_Ag, T_1 \sin\theta_1, f_{s,A}, T_1 \cos \theta_1, T_2 \cos \theta_2, T_1 \sin \theta_1, T_2 \sin \theta_2, m_C g, N_B, m_B g e f_{s,B} sono le proiezioni delle forze lungo gli assi x e y. Affinché il sistema rimanga in quiete deve valere

    \[\begin{cases} f_{s,A}\leq N_A\mu_{A}\\ f_{s,B}\leq N_B\mu_{B} \end{cases}\]

e sostituendo N_A, N_B, f_{s,A} e f_{s,B} determinate da (3) nel precedente sistema, otteniamo

    \[\begin{cases} T_1 \cos \theta_1 \leq \left( m_Ag+T_1 \sin\theta_1 \right) \mu_{A}\\ T_2 \cos \theta_2 \leq \left( m_B g + T_2 \sin \theta_2\right) \mu_{B} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} T_1\leq \dfrac{m_Ag\mu_A}{\cos \theta_1-\mu_{A} \sin \theta_1} \\\\ T_2 \leq \dfrac{m_Bg\mu_{B}}{\cos \theta_2 - \mu_B\sin \theta_2} \end{cases}\]

Dalla condizione (1) possiamo affermare che per avere la massima massa ammissibile (Ammissibile nel senso che è la massima massa affinché tutto sia in equilibrio) per il corpo C deve valere

(4)   \begin{equation*} T_2=\dfrac{m_Bg\mu_{B}}{\cos \theta_2 - \mu_B\sin \theta_2}. \end{equation*}

Dalla (3)_3 otteniamo

    \[T_1=\dfrac{T_2\cos \theta_2}{\cos \theta_1}\]

e sostituendo T_1, appena ottenuta, in (3)_4 abbiamo

    \[\begin{aligned} T_1 \sin \theta_1 + T_2 \sin \theta_2 = m_C g & \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{T_2\cos \theta_2\sin \theta_1}{\cos \theta_1}+ T_2 \sin \theta_2 = m_C g \quad\Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow\quad T_2\left( \dfrac{\cos \theta_2\sin \theta_1}{\cos \theta_1}+ \sin \theta_2\right)=m_Cg \end{aligned}\]

Sostituiamo T_2, come espresso in (4), nel risultato appena ottenuto, abbiamo

    \[\begin{aligned} T_2\left( \dfrac{\cos \theta_2\sin \theta_1}{\cos \theta_1}+ \sin \theta_2\right)=m_Cg & \quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{m_B g\mu_{B}}{\cos \theta_2 - \mu_B\sin \theta_2} \left( \dfrac{\cos \theta_2\sin \theta_1}{\cos \theta_1}+ \sin \theta_2\right)=m_Cg \quad\Leftrightarrow \\[10pt] &\Leftrightarrow \quad m_C=m_B\mu_{B}\left(\dfrac{\cos \theta_2 \tan \theta_1+\sin \theta_2}{\cos \theta_2 - \mu_B\sin \theta_2}\right). \end{aligned}\]

Si conclude che il valore massimo della massa del corpo C affinché il sistema rimanga in quiete è quello che segue

    \[\boxcolorato{fisica}{ m_C=m_{\max}=m_B\mu_{B}\left(\dfrac{\cos \theta_2 \tan \theta_1+\sin \theta_2}{\cos \theta_2 - \mu_B\sin \theta_2}\right).}\]