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Esercizio leggi della dinamica 43

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio leggi della dinamica 43

L’esercizio 43 sulle leggi della dinamica è il quarantatreesimo della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Leggi di Newton in meccanica classica. Questo esercizio è il successivo di Esercizio leggi della dinamica 42 ed è il precedente di Esercizio leggi della dinamica 44. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

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Testo leggi della dinamica 43

Esercizio 43 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una lastra di massa m_1 è appoggiata su un pavimento privo di attrito. Su di essa è collocato un blocco di massa m_2 (si veda la figura 1). Fra il blocco e la lastra abbiamo \mu_s e \mu_d rispettivamente coefficiente di attrito statico e dinamico. Il blocco di massa m_2 è tirato da una forza orizzontale \vec{F}. Determinare le accelerazioni per il blocco e la lastra rispetto ad un sistema di riferimento inerziale nelle seguenti due condizioni:

  1. il blocco m_2 sia fermo rispetto ad m_1;
  2. m_2 si muove rispetto ad m_1.

Supporre che \vert \vec{F}\vert -m_2g\mu_d>0.

 

 

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Svolgimento Punto 1.

Imponiamo che m_2 sia fermo rispetto ad m_1. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, orientato come in figura 2.

 

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Su m_2 è applicata la reazione vincolare \vec{N} generata dal contatto tra m_1 e m_2, poi agisce \vec{f}_s che è la forza di attrito statico tra m_1 e m_2, ed infine \vec{F} che è la forza applicata dall’esterno. Sul corpo di massa m_2 analizziamo le forze nella sola direzione orizzontale. Nella direzione orizzontale sul il corpo di massa m_2, per il terzo principio della dinamica, è applicata la forza di attrito statico -\vec{f}_s. Tutte le forze agenti su m_2 e su m_1 sono rappresentate in figura 2. Si osservi che, nella figura 2 sono state rappresentate solo le forze nella direzione orizzontale per m_2 perché tra m_2 e il piano orizzontale non è presente attrito, e quindi la determinazione di tali forze non è necessaria ai fini della risoluzione del problema. Siccome m_2 è fermo rispetto ad m_1, essi si muovono all’unisono, cioè si muovono con la medesima accelerazione \vec{a} rispetto al sistema di riferimento fisso. Dunque, il sistema composto da m_1 e m_2 si può considerare come un unico corpo di massa M=m_1+m_2 che si sposta con accelerazione \vec{a} nel verso negativo delle x. Per la seconda legge della dinamica per M, abbiamo

(1)   \begin{equation*} -\vert \vec{F} \vert =(m_1+m_2)a\quad \Leftrightarrow \quad a=-\dfrac{\vert \vec{F} \vert}{m_1+m_2}, \end{equation*}

dove a è la componente dell’accelerazione del corpo di massa M nella direzione dell’asse delle x. Essendo negativa, come detto in precedenza, il corpo di massa M si muove nel verso negativo delle x. Concludiamo che, le accelerazioni di m_1 e m_2 sono uguali, cioè hanno stessa componente della direzione dell’asse delle x, pari ad

    \[\boxcolorato{fisica}{ a=-\dfrac{\vert \vec{F} \vert }{m_1+m_2}.}\]

 

Svolgimento Punto 2.

Rispetto al punto precedente m_2 si muove rispetto ad m_1. Il corpo m_2 entrerà in movimento per effetto della forza \vec{F} e su di lui è applicata la forza di attrito dinamico \vec{f}_d al posto della forza di attrito statico \vec{f}_s presente nel punto precedente. Il corpo m_2 si muoverà nel verso negativo delle x perché soggetto alla forza \vec{F} diretta parallelamente all’asse delle x e orientata nel verso negativo delle x; mentre m_1 essendo soggetto alla forza -\vec{f}_d, per il terzo principio della dinamica. La forza -\vec{f}_d è diretta nel verso negativo delle x, pertanto m_2 si sposta nel verso negativo delle x. Tutte le forze agenti su m_2 e su m_1 sono rappresentate in figura 3.

 

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Per la seconda legge della dinamica, abbiamo

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} - \vert \vec{F} \vert + \vert \vec{f}_d \vert =m_2a_2\\[10pt] \vert \vec{N} \vert =m_2g\\[10pt] -\vert \vec{f}_d\vert=m_1a_1, \end{cases} \end{equation*}

dove a_1 è la componente dell’accelerazione di m_1 lungo l’asse delle x e a_2 è la componente dell’accelerazione di m_2 lungo l’asse delle x. Ricordiamo che

(3)   \begin{equation*} \vert \vec{f}_d \vert=\vert \vec{N} \vert\mu_d, \end{equation*}

da cui il sistema (2) diventa

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} -\vert \vec{F}\vert +\vert \vec{N}\vert \mu_d=m_2a_2\\[10pt] \vert N\vert =m_2g\\[10pt] - \vert N\vert \mu_d=m_1a_1, \end{cases} \end{equation*}

oppure

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} a_1 =-\dfrac{m_2g\mu_d}{m_1}\\[10pt] a_2 = \dfrac{-\vert \vec{F}\vert +m_2g\mu_d}{m_2}=-\dfrac{\vert \vec{F}\vert -m_2g\mu_d}{m_2}. \end{cases} \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ a_1 = \dfrac{m_2g\mu_d}{m_1} \quad \text{e} \quad a_2 =-\dfrac{\vert \vec{F}\vert -m_2g\mu_d}{m_2}. }\]

 

Osserviamo che a_1<0, pertanto m_1 si muove nel verso negativo delle x; mentre a_2<0 perché \vert \vec{F}\vert -m_2g\mu_d>0, pertanto m_2 si muove nel verso negativo delle x; come ci si aspettava dalla fisica del problema. Concludiamo che entrambi i corpi si muovono nella direzione del semiasse negativo delle x.

 

 


 
 

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    Un po’ di storia sulle leggi della dinamica

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    Le leggi della dinamica rappresentano uno dei pilastri fondamentali della fisica classica. Formulate da Isaac Newton nel XVII secolo, queste leggi hanno rivoluzionato la nostra comprensione del movimento e delle forze, gettando le basi per la fisica moderna. La storia delle leggi della dinamica inizia con le prime intuizioni pre-scientifiche e arriva fino alle scoperte rivoluzionarie di Newton, estendendosi al loro impatto duraturo sulla scienza e sulla tecnologia contemporanea.

    Prima di Newton, la comprensione del movimento e delle forze era dominata dalle idee di Aristotele, un filosofo greco del IV secolo a.C. Aristotele credeva che tutti i corpi avessero un “luogo naturale” e che si muovessero solo quando una forza esterna agiva su di essi. Questa visione, conosciuta come “fisica aristotelica”, affermava che un oggetto in movimento si fermava automaticamente una volta cessata la forza che lo spingeva. Questa concezione aristotelica rimase predominante per secoli, influenzando profondamente la filosofia naturale. Tuttavia, presentava limitazioni significative, specialmente nella spiegazione di fenomeni come il moto dei pianeti o il comportamento dei proiettili. Nonostante i suoi limiti, la fisica aristotelica gettò le basi per lo sviluppo successivo delle leggi della dinamica.

    Un punto di svolta nella comprensione del movimento fu segnato da Galileo Galilei, un matematico e fisico italiano del XVI secolo. Galileo sfidò molte delle idee di Aristotele, introducendo concetti che sarebbero stati fondamentali per la formulazione delle leggi della dinamica. Galileo fu il primo a dimostrare che la velocità di caduta di un oggetto non dipende dalla sua massa, ma dal tempo trascorso. Egli introdusse il concetto di inerzia, l’idea che un corpo in movimento rimane in movimento a meno che una forza esterna non intervenga. Questo principio di inerzia costituì la base della Prima legge di Newton, una delle tre leggi della dinamica che avrebbero rivoluzionato la fisica. Oltre a queste scoperte, Galileo sviluppò la metodologia scientifica basata sull’osservazione e l’esperimento, ponendo le basi per la fisica moderna. Le sue idee furono cruciali per la successiva formulazione delle leggi della dinamica da parte di Newton.

    Isaac Newton, uno dei più grandi scienziati della storia, formulò le leggi della dinamica nel suo capolavoro “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica”, pubblicato nel 1687. Le tre leggi di Newton descrivono il comportamento del movimento e delle forze in modo preciso e matematico, fornendo una base solida per la meccanica classica. La Prima legge della dinamica, nota anche come legge dell’inerzia, afferma che un corpo in stato di quiete o di moto rettilineo uniforme rimane in tale stato finché non agisce su di esso una forza esterna. Questa legge formalizza il concetto introdotto da Galileo, stabilendo che il movimento non richiede una forza continua per essere mantenuto, ma solo per essere alterato. La legge dell’inerzia fu rivoluzionaria perché sfidava direttamente la fisica aristotelica, dimostrando che il moto non è il risultato di un’azione continua ma di una condizione naturale degli oggetti.

    La Seconda legge della dinamica, forse la più famosa delle tre, stabilisce che la forza che agisce su un corpo è direttamente proporzionale alla sua massa e alla sua accelerazione, secondo la formula F = ma. Questa legge descrive come le forze influenzano il movimento degli oggetti e fornisce una base per calcolare le forze necessarie per muovere o fermare un oggetto. Questa legge è stata fondamentale per lo sviluppo della meccanica classica, permettendo di comprendere e prevedere con precisione il comportamento degli oggetti sotto l’influenza di forze diverse. È grazie a questa legge che possiamo spiegare fenomeni quotidiani, come la caduta di un oggetto o il lancio di un proiettile, con una precisione matematica.

    La Terza legge della dinamica è forse la più intuitiva: afferma che per ogni azione esiste una reazione uguale e contraria. Questo significa che quando un oggetto esercita una forza su un altro, il secondo oggetto esercita una forza uguale e opposta sul primo. Questa legge è evidente in molti fenomeni quotidiani, come il rimbalzo di una palla o il funzionamento di un razzo. La comprensione di questa legge è essenziale per l’ingegneria e la tecnologia moderne, poiché spiega come le forze interagiscono in sistemi complessi.

    Le leggi della dinamica di Newton hanno avuto un impatto profondo e duraturo sulla fisica classica. Prima della loro formulazione, la comprensione del movimento e delle forze era frammentaria e spesso basata su osservazioni qualitative piuttosto che su principi matematici. Le leggi di Newton hanno fornito una struttura coerente e matematica per descrivere il comportamento degli oggetti in movimento, permettendo ai fisici di fare previsioni accurate e di sviluppare nuove tecnologie. Grazie alle leggi della dinamica, è stato possibile sviluppare la meccanica celeste, che spiega il movimento dei pianeti e delle stelle. Queste leggi hanno permesso di calcolare con precisione le orbite dei corpi celesti, confermando le teorie di Keplero e contribuendo alla comprensione dell’universo. Le leggi della dinamica hanno anche gettato le basi per l’ingegneria moderna, permettendo la progettazione di macchine, edifici e veicoli con una comprensione precisa delle forze in gioco. Senza le leggi di Newton, molte delle tecnologie che diamo per scontate oggi, come gli aerei, le automobili e i ponti, non sarebbero possibili.

    Con l’avvento della fisica moderna, alcune delle previsioni delle leggi della dinamica di Newton sono state riviste e ampliate. In particolare, la teoria della relatività di Einstein ha dimostrato che le leggi di Newton non sono sufficienti per descrivere il movimento a velocità prossime a quella della luce o in campi gravitazionali molto forti. Tuttavia, le leggi della dinamica rimangono valide e utili nella maggior parte delle situazioni quotidiane e continuano a essere insegnate come parte fondamentale della fisica.

     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.






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