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Esercizio 43  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una lastra di massa m_1 è appoggiata su un pavimento privo di attrito. Su di essa è collocato un blocco di massa m_2 (si veda la figura 1). Fra il blocco e la lastra abbiamo \mu_s e \mu_d rispettivamente coefficiente di attrito statico e dinamico. Il blocco di massa m_2 è tirato da una forza orizzontale \vec{F}. Determinare le accelerazioni per il blocco e la lastra rispetto ad un sistema di riferimento inerziale nelle seguenti due condizioni:

  1. il blocco m_2 sia fermo rispetto ad m_1;
  2. m_2 si muove rispetto ad m_1.

Supporre che \vert \vec{F}\vert -m_2g\mu_d>0.

 

 

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Svolgimento Punto 1.

Imponiamo che m_2 sia fermo rispetto ad m_1. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, orientato come in figura 2.

 

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Su m_2 è applicata la reazione vincolare \vec{N} generata dal contatto tra m_1 e m_2, poi agisce \vec{f}_s che è la forza di attrito statico tra m_1 e m_2, ed infine \vec{F} che è la forza applicata dall’esterno. Sul corpo di massa m_2 analizziamo le forze nella sola direzione orizzontale. Nella direzione orizzontale sul il corpo di massa m_2, per il terzo principio della dinamica, è applicata la forza di attrito statico -\vec{f}_s. Tutte le forze agenti su m_2 e su m_1 sono rappresentate in figura 2. Si osservi che, nella figura 2 sono state rappresentate solo le forze nella direzione orizzontale per m_2 perché tra m_2 e il piano orizzontale non è presente attrito, e quindi la determinazione di tali forze non è necessaria ai fini della risoluzione del problema. Siccome m_2 è fermo rispetto ad m_1, essi si muovono all’unisono, cioè si muovono con la medesima accelerazione \vec{a} rispetto al sistema di riferimento fisso. Dunque, il sistema composto da m_1 e m_2 si può considerare come un unico corpo di massa M=m_1+m_2 che si sposta con accelerazione \vec{a} nel verso negativo delle x. Per la seconda legge della dinamica per M, abbiamo

(1)   \begin{equation*} -\vert \vec{F} \vert =(m_1+m_2)a\quad \Leftrightarrow \quad a=-\dfrac{\vert \vec{F} \vert}{m_1+m_2}, \end{equation*}

dove a è la componente dell’accelerazione del corpo di massa M nella direzione dell’asse delle x. Essendo negativa, come detto in precedenza, il corpo di massa M si muove nel verso negativo delle x. Concludiamo che, le accelerazioni di m_1 e m_2 sono uguali, cioè hanno stessa componente della direzione dell’asse delle x, pari ad

    \[\boxcolorato{fisica}{ a=-\dfrac{\vert \vec{F} \vert }{m_1+m_2}.}\]

 

Svolgimento Punto 2.

Rispetto al punto precedente m_2 si muove rispetto ad m_1. Il corpo m_2 entrerà in movimento per effetto della forza \vec{F} e su di lui è applicata la forza di attrito dinamico \vec{f}_d al posto della forza di attrito statico \vec{f}_s presente nel punto precedente. Il corpo m_2 si muoverà nel verso negativo delle x perché soggetto alla forza \vec{F} diretta parallelamente all’asse delle x e orientata nel verso negativo delle x; mentre m_1 essendo soggetto alla forza -\vec{f}_d, per il terzo principio della dinamica. La forza -\vec{f}_d è diretta nel verso negativo delle x, pertanto m_2 si sposta nel verso negativo delle x. Tutte le forze agenti su m_2 e su m_1 sono rappresentate in figura 3.

 

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Per la seconda legge della dinamica, abbiamo

(2)   \begin{equation*} 		\begin{cases} 			- \vert \vec{F} \vert + \vert \vec{f}_d \vert =m_2a_2\\[10pt] 			\vert \vec{N} \vert =m_2g\\[10pt] 			-\vert \vec{f}_d\vert=m_1a_1, 		\end{cases} 	\end{equation*}

dove a_1 è la componente dell’accelerazione di m_1 lungo l’asse delle x e a_2 è la componente dell’accelerazione di m_2 lungo l’asse delle x. Ricordiamo che

(3)   \begin{equation*} 		\vert \vec{f}_d \vert=\vert \vec{N} \vert\mu_d, 	\end{equation*}

da cui il sistema (2) diventa

(4)   \begin{equation*} 		\begin{cases} 			-\vert \vec{F}\vert +\vert \vec{N}\vert \mu_d=m_2a_2\\[10pt] 			\vert N\vert =m_2g\\[10pt] 		-	\vert N\vert \mu_d=m_1a_1, 		\end{cases} 	\end{equation*}

oppure

(5)   \begin{equation*} 		\begin{cases} 			a_1 =-\dfrac{m_2g\mu_d}{m_1}\\[10pt] 			a_2 =  \dfrac{-\vert \vec{F}\vert +m_2g\mu_d}{m_2}=-\dfrac{\vert \vec{F}\vert -m_2g\mu_d}{m_2}.  		\end{cases} 	\end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ a_1 = \dfrac{m_2g\mu_d}{m_1} \quad \text{e} \quad a_2 =-\dfrac{\vert \vec{F}\vert -m_2g\mu_d}{m_2}. }\]

 

Osserviamo che a_1<0, pertanto m_1 si muove nel verso negativo delle x; mentre a_2<0 perché \vert \vec{F}\vert -m_2g\mu_d>0, pertanto m_2 si muove nel verso negativo delle x; come ci si aspettava dalla fisica del problema. Concludiamo che entrambi i corpi si muovono nella direzione del semiasse negativo delle x.

 

 

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