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Esercizio 44  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Due molle di costante elastica k e massa trascurabile sono fissate in un piano verticale rispettivamente nei punti (0,0) e (x_\text{a},0) di un sistema di riferimento fisso Oxy. Le due molle successivamente vengono allungate e poste a contatto, avendo cosi un punto in comune, al quale viene attaccato un un punto materiale di massa m.
Determinare il punto (x_\text{e},y_\text{e}) di equilibrio del punto materiale nel piano verticale; successivamente il punto materiale è posto in un punto generico (x_0,y_0) e poi rilasciato con velocità nulla, trovare l’equazione del moto e la sua soluzione.

 

 

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Svolgimento.

In figura 2 rappresentiamo il sistema in equilibrio.

 

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Osserviamo che sul punto materiale vengono applicate le due forze delle molle \vec{F}_{\text{M},1} e \vec{F}_{\text{M},2}, e la sua forza peso m\vec{g}; allora dalla seconda legge della dinamica, si ha

(1)   \begin{equation*} \vec{F}_{\text{M},1}+\vec{F}_{\text{M},2}+m\vec{g}=\vec{0}, \end{equation*}

da cui, proiettando le forze sugli assi x e y, si ottiene

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} -ky_\text{e}-ky_\text{e}-mg=0\\ -kx_{e}+k(x_\text{a}-x_\text{e})=0, \end{cases} \end{equation*}

o anche

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} y_\text{e}=-\dfrac{mg}{2k}\\[10pt] x_\text{e}=\dfrac{x_a}{2}. \end{cases} \end{equation*}

Si conclude che il punto di equilibrio è

    \[\boxcolorato{fisica}{\left(x_\text{e},y_\text{e}\right)\equiv\left(\dfrac{x_a}{2},-\dfrac{mg}{2k} \right).}\]

Quando il punto viene portato nel punto generico (x_0,y_0) e viene lasciato con velocità nulla, dalla seconda legge della dinamica, si ottiene

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} -kx+k(x_a-x)=m\ddot{x}\\ -ky -k y-mg=m\ddot{y} \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} -2kx+kx_a=m\ddot{x}\\ -2k y-mg=m\ddot{y}, \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \ddot{x}+\dfrac{2k}{m}x=\dfrac{kx_a}{m}\\\\ \ddot{y}+\dfrac{2k}{m} y=-g, \end{cases} \end{equation*}

dove x e y sono rispettivamente la posizione lungo l’asse delle x del punto materiale di massa m nel generico istante t>0 e la posizione lungo l’asse delle y del punto materiale di massa m nel generico istante t>0. Risolviamo la prima equazione del sistema operando la seguente sostituzione:

(5)   \begin{equation*} \bar{x}=x-\dfrac{x_a}{2}\quad\Rightarrow\quad\dot{\bar{x}}=\dot{x} \quad\Rightarrow\quad \ddot{\bar{x}}=\ddot{x} , \end{equation*}

così l’equazione diventa

(6)   \begin{equation*} \ddot{\bar{x}}+\dfrac{2k}{m}\left( \bar{x}+\dfrac{x_a}{2}\right)=k\dfrac{x_a}{m} \quad \Leftrightarrow \quad \ddot{\bar{x}}+\dfrac{2k}{m}\bar{x}+\dfrac{kx_a}{m}=\dfrac{kx_a}{m}\quad\Leftrightarrow\quad \ddot{\bar{x}}+\dfrac{2k}{m}\bar{x}=0, \end{equation*}

che è proprio la condizione necessaria e sufficiente affinché il moto del punto sia un moto armonico semplice, che ha come soluzione

(7)   \begin{equation*} \bar{x}=A\sin(\omega t+\phi), \end{equation*}

dove \omega=\sqrt{\dfrac{2k}{m}}, A è una costante e \phi è la fase iniziale lungo l’asse delle x. Deriviamo ambo i membri della precedente equazione, ottenendo

(8)   \begin{equation*} \dot{ \bar{x}}=A\omega\cos(\omega t+\phi). \end{equation*}

Sappiamo che il punto parte da fermo dal punto (x_0,y_0), quindi si ha

(9)   \begin{equation*} x(0)=x_0 \qquad \mbox{e} \qquad \dot{x}(0)=0, \end{equation*}

da cui

(10)   \begin{equation*} \bar{x}(0)=x_0-\dfrac{x_a}{2}\qquad \mbox{e} \qquad \dot{\bar{x}}(0)=0, \end{equation*}

dove si è tenuto conto della sostituzione (5). Sfruttando le condizioni iniziali le equazioni (7) e (8) diventano

(11)   \begin{equation*} \begin{cases} A\sin\phi=x_0-\dfrac{x_a}{2}\\[10pt] A\omega\cos\phi=0 \end{cases} \qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{cases} A=x_0-\dfrac{x_a}{2}\\[10pt] \phi=\dfrac{\pi}{2}. \end{cases} \end{equation*}

Sostituendo i risultati pervenuti nel precedente sistema nell’equazione (7), si trova

(12)   \begin{equation*} \bar{x}(t)=\left( x_0-\dfrac{x_a}{2}\right)\sin\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2} \right), \end{equation*}

conseguentemente

    \[\boxcolorato{fisica}{x(t)=\bar{x}+\dfrac{x_a}{2}=\left( x_0-\dfrac{x_a}{2}\right)\sin\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)+\dfrac{x_a}{2}.}\]

dove si è tenuto conto della sostituzione (5). Risolviamo la seconda equazione del sistema con lo stesso metodo che abbiamo usato per la prima. \\Operiamo la sostituzione

(13)   \begin{equation*} \bar{y}=y-\dfrac{mg}{2k} \quad \Rightarrow \quad\dot{\bar{y}}=\dot{y} \quad \Rightarrow \quad\ddot{\bar{y}}=\ddot{y} , \end{equation*}

per cui la seconda equazione del sistema diventa

(14)   \begin{equation*} \ddot{\bar{y}}+\dfrac{2k}{m}\left( \bar{y}-\dfrac{mg}{2k}\right)=-g \quad \Leftrightarrow \quad \ddot{\bar{y}}+\dfrac{2k}{m}\bar{y}-g=-g \quad \Leftrightarrow \quad \ddot{\bar{y}}+\dfrac{2k}{m}\bar{y}=0. \end{equation*}

Abbiamo ottenuto nuovamente un equazione di un oscillatore armonico semplice che ha come soluzione:

(15)   \begin{equation*} \bar{y}(t)=A^\prime\sin(\omega t+\phi^\prime), \end{equation*}

dove \omega=\sqrt{\dfrac{2k}{m}}, A^\prime è una costante e \phi^\prime è la fase iniziale lungo l’asse delle y. Deriviamo ambo i membri della precedente equazione, ottenendo

(16)   \begin{equation*} \dot{\bar{y}}(t)=A^\prime\omega\cos(\omega t+\phi^\prime). \end{equation*}

Siccome il punto parte da (x_0,y_0) con velocità nulla abbiamo le seguenti condizioni iniziali:

(17)   \begin{equation*} y(0)=y_0 \quad\text{e} \quad \dot{y}(0)=0, \end{equation*}

da cui

(18)   \begin{equation*} \bar{y}(0)=y_0-\dfrac{mg}{2k} \quad\text{e} \quad \dot{\bar{y}}(0)=0, \end{equation*}

dove si è tenuto conto della sostituzione (13). Sostituendo i risultati pervenuti nel precedente sistema nell’equazione (15), si trova

(19)   \begin{equation*} \begin{cases} A^\prime\sin\phi^\prime=y_0-\dfrac{mg}{2k}\\[10pt] A^\prime \omega \cos \phi=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} A^\prime=y_0-\dfrac{mg}{2k}\\[10pt] \phi^\prime=\dfrac{\pi}{2}, \end{cases} \end{equation*}

conseguentemente

    \[\boxcolorato{fisica}{ y(t)=\bar{y}(t)+\dfrac{mg}{2k}=\left( y_0-\dfrac{mg}{2k}\right)\sin\left( \omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)+\dfrac{mg}{2k},}\]

dove si è tenuto conto della sostituzione (13).

 

Si conclude che il moto del punto materiale è la combinazione di due moti armonici: uno lungo l’asse delle x e uno lungo l’asse delle y.

 

 

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