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Esercizio 45  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Le coordinate polari di un punto che si muove in un piano variano nel tempo secondo la legge r(t)=r_0 e^{-\frac{\omega t}{2\pi}}, \theta = \omega t con r_0,\omega \in \mathbb{R}. Calcolare la velocità del punto nell’istante t=0 e dire se il moto avviene sotto l’azione di una forza centrale. La distanza r è il segmento che congiunge il punto materiale e un punto fisso nel piano (cioè il centro della possibile forza centrale). Inoltre, \theta è l’angolo che forma r con l’asse delle x di un sistema di riferimento fisso Oxy tale per cui O sia il centro della possibile forza centrale.

Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxyz per osservare il moto del punto in coordinate polari, come rappresentato in figura.

   

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Siano \hat{x} e \hat{y} i versori rispettivamente dell’asse delle x e delle y. Si ricorda che, data la parametrizzazione \vec{r}= x \, \hat{x} + y \, \hat{y} del percorso \gamma fatta dal punto materiale nel piano cartesiano, si definisce velocità vettoriale il limite del rapporto incrementale di \vec{r}:

(1)   \begin{equation*} \lim_{h \to 0} \dfrac{\vec{r}(t+h)-\vec{r}(t)}{h} = \vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{r}}{dt}(t). \end{equation*}

Siano \hat{r} e \hat{\theta} rispettivamente il versore radiale e il verso trasverso. Esprimiamo \vec{v} in coordinate polari introducendo i versori \hat{r} ed \hat{\theta} e da (1 abbiamo

(2)   \begin{equation*} \begin{aligned} \vec{v} & = \dfrac{d\vec{r}}{dt} = \dfrac{d(r \, \hat{r})}{dt} = \dfrac{dr}{dt} \, \hat{r} + r \, \dfrac{d\hat{r}}{dt} =\\[10pt] & = \dfrac{dr}{dt} \, \hat{r} + r \, \dfrac{d\theta}{dt} \, \hat{\theta}. \end{aligned} \end{equation*}

Per ipotesi sappiamo che

(3)   \begin{equation*} r=r_0 e^{-\frac{\omega t}{2\pi}}, \,\,\theta = \omega t \end{equation*}

quindi, confrontando (3) con (2), si ottiene

(4)   \begin{equation*} \vec{v} = \underbrace{r_0 \left(-\dfrac{\omega}{2\pi}\right) \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \; \hat{r}}_{\vec{v}_r \; \text{velocità radiale}} + \underbrace{r_0 \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \; \omega \; \hat{\theta}}_{\vec{v}_\theta \; \text{velocità trasversa}}. \end{equation*}

Valutiamo la velocità all’istante t=0, ottenendo

    \[\boxcolorato{fisica}{\vec{v}(0) = - \dfrac{\omega \; r_0}{2\pi} \; \hat{r} + r_0 \, \omega \, \hat{\theta}.}\]

Deriviamo ambo i membri dell’equazione (2) rispetto al tempo, ottenendo

(5)   \begin{equation*} \begin{aligned} \dfrac{d\vec{v}}{dt} & = \dfrac{d^2r}{dt^2} \, \hat{r} + \dfrac{dr}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} \; \hat{\theta} + \dfrac{dr}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} \; \hat{\theta} + r \; \dfrac{d^2\theta}{dt^2} \hat{\theta} - r \; \dfrac{d\theta}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} \hat{r} =\\[10pt] & = \hat{r} \left(\dfrac{d^2r}{dt^2}- r \left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right) + \hat{\theta} \left(2 \; \dfrac{dr}{dt} \; \dfrac{d\theta}{dt} + r \; \dfrac{d^2\theta}{dt^2}\right) =\\[10pt] & = \hat{r} \left(\dfrac{d^2r}{dt^2}-r \left(\dfrac{d\theta}{dt}\right)^2\right) + \hat{\theta} \; \dfrac{1}{r} \; \left(\dfrac{d\left(r^2 \frac{d\theta}{dt}\right)}{dt}\right). \end{aligned} \end{equation*}

Sostituendo (3) in (5), otteniamo

(6)   \begin{equation*} \begin{aligned} \dfrac{d\vec{v}}{dt} & = \hat{r} \left(r_0 \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \left( \left(-\dfrac{\omega}{2\pi}\right)^2 - \omega^2 \right) \right) + \hat{\theta} \left(2 r_0 \left(- \dfrac{\omega}{2\pi}\right)\; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \; \omega \right) = \\[10pt] & = \hat{r} \left(\dfrac{r_0 \omega^2 (1-4\pi^2)}{4\pi^2} e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \right) + \hat{\theta} \left(- \dfrac{\omega^2 r_0}{\pi} \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}}\right). \end{aligned} \end{equation*}

Si ricorda che, in un campo di forze centrali il momento angolare rispetto al centro della forza rimane costante nel tempo, ovvero si conserva. Nel nostro sistema di riferimento prendiamo come polo della forza O. Sia \vec{L}_{O} il momento angolare rispetto al polo O e \vec{M}_{O} il momento della possibile forza centrale rispetto al polo O. Allora per il teorema del momento angolare per un punto materiale

(7)   \begin{equation*} \begin{aligned} \dfrac{{}d\vec{L}_{O}}{dt} & ={\vec{M}_{O}} = \\ & = \vec{r} \wedge \vec{F} = \\[10pt] & = \vec{r} \wedge m \; \dfrac{d\vec{v}}{dt} =\\[10pt] & =m r\,\left(-\dfrac{\omega^2 r_0}{\pi} \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \right)\, \hat{r} \wedge \hat{\theta} = \\[10pt] & =m \left(r_0 e^{-\frac{\omega t}{2\pi}}\right)\left(-\dfrac{\omega^2 r_0}{\pi} \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \right)\, \hat{r} \wedge \hat{\theta} = \\[10pt] & = -m \dfrac{\omega^2}{\pi} r_0^2 \; e^{-\frac{\omega t}{2\pi}} \hat{z} \neq 0, \end{aligned} \end{equation*}

per ogni t\geq0, dove \hat{z} è il versore nella direzione dell’asse delle z. Si conclude che \vec{L} non si conserva, quindi il moto non avviene sotto una forza centrale.

Si osservi che, in generale, se una forza è centrale si conserva il momento angolare rispetto al centro della forza centrale, ma non vale il viceversa, ovvero che \vec{L} costante rispetto ad un certo polo non implica che la forza sia centrale.