Esercizio leggi della dinamica 6

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio 6 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Sul doppio piano inclinato con \theta_1=\dfrac{\pi}{6} e \theta_2=\dfrac{\pi}{3}, sono posti due carrelli C_1 e C_2, riempiti di sabbia in modo tale che valga m_1 = \frac{3}{2} \, m_2. I due carrelli sono collegati tramite una fune inestensibile e di massa trascurabile che scorre su una carrucola, anch’essa di massa trascurabile, posta in cima al piano. Il lato sinistro del piano (a contatto con C_1) è liscio, mentre il lato destro (a contatto con C_2) è scabro. Inizialmente il sistema è fermo. Determinare il minimo coefficiente di attrito statico affinché ci sia equilibrio tra il piano e C_2. Successivamente si sposta della sabbia da C_2 a C_1 e viene messo in moto il sistema. Calcolare, in funzione di m_2, la quantità massima di sabbia che si può spostare affinché C_2 scenda con velocità costante, supponendo \mu_d=\mu_s/2.

 

 

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Svolgimento. Osserviamo che dai dati del problema m_2 g \sin \theta_2 > m_1 g \sin \theta_1, quindi lo schema delle forze si dispone come in figura 1.

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Scegliamo due sistemi di riferimento fissi Oxy e O^\prime x^\prime y^\prime, come in figura 1. Consideriamo il sistema in equilibrio, dalla seconda legge della dinamica  possiamo scrivere

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} N_2=m_2g \cos \theta_2\\ -T_2 - f_s + m_2 g \sin \theta_2 = 0 \\ N_1 = m_1 g \cos \theta\\ T_1 - m_1 g \sin \theta_1 = 0 \end{cases}. \end{equation*}

Dalle condizioni del testo f_s deve assumere il valore massimo ovvero f_s = \mu_s N_2. Inoltre, poiché la carrucola è priva di massa, si trova che T_1=T_2=T.
Da (1) otteniamo

    \[\begin{aligned} &-m_2 g \cos \theta_2 \, \mu_s + m_2 g \sin \theta_2 - m_1 g \sin \theta_1 = 0 \quad \Leftrightarrow\quad \mu_s = \dfrac{m_2g \sin \theta_2 -m_1 g \sin \theta_1}{m_2 g \cos \theta_2}\\ & \Leftrightarrow\quad\mu_s=\tan \theta_2-\dfrac{m_1\sin \theta_1}{m_2\cos \theta_2}=\tan \theta_2-\dfrac{3\sin \theta_1}{2 \cos \theta_2}, \end{aligned}\]

quindi

    \[\boxcolorato{fisica}{ \mu_s = \tan \theta_2-\dfrac{3\sin \theta_1}{2\cos \theta_2}.}\]

 

Per il secondo punto, assumiamo ora che il sistema sia in movimento con velocità costante, poichè è stata spostata della massa da C_2 a C_1.

Dalla seconda legge della dinamica possiamo scrivere

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} N_2 = m_2^* g \cos \theta_2\\ -T_2 - f_d + m_2^* g \sin \theta_2 = m_2^* a_2 = 0\\ N_1 = m_1^* g \cos \theta_1\\ T_1 - m_1^* g \sin \theta_1 = m_1^* a_1 = 0\\ T_1=T_2=T \end{cases} \end{equation*}

ed inoltre ricordiamo che f_d = N_2 \,\mu_d = \dfrac{\mu_s}{2} m_2^* g \cos \theta_2.

Da (2) otteniamo

(3)   \begin{equation*} - \dfrac{\mu_s}{2} m_2^* g \cos \theta_2 + m_2^* g \sin \theta_2 - m_1^* g \sin \theta_1 = 0 \end{equation*}

Poniamo

(4)   \begin{equation*} m_2^* = m_2-x \qquad \mbox{e} \qquad m_1^* = \dfrac{3}{2}m_2 + x \end{equation*}

dove x è la quantità di massa spostata da C_2 a C_1 per mettere in movimento il sistema.
Sostituendo (4) in (3) otteniamo

    \[\begin{aligned} & (m_2-x) g \sin \theta_2 - \dfrac{\mu_s}{2} g \cos \theta_2 (m_2 - x) - \left(\dfrac{3}{2}m_2 + x\right) g \sin \theta_1 = 0 \quad\Leftrightarrow \\\\ & \Leftrightarrow \quad(m_2-x)\sin\theta_2 - \dfrac{\mu_s}{2} \cos \theta_2 (m_2-x) - \left(\dfrac{3}{2}m_2 + x\right) \sin \theta_1 = 0 \quad\Leftrightarrow\\\\ & \Leftrightarrow \quad m_2 \sin \theta_2 - x\sin \theta_2 - \dfrac{\mu_s}{2} \cos \theta_2 m_2 +x \dfrac{\mu_s}{2} \cos \theta_2 - \dfrac{3}{2} m_2 \sin \theta_1 - x \sin \theta_1 = 0 \quad\Leftrightarrow \\\\ & \Leftrightarrow\quad x = \dfrac{m_2 \sin \theta_2 - \dfrac{3}{2}m_2 \sin \theta_1 - \dfrac{\mu_s}{2}\cos\theta_2 m_2}{\sin \theta_2 + \sin \theta_1 - \dfrac{\mu_s}{2} \cos \theta_2}. \end{aligned}\]

Dalla condizioni del problema deve valere

    \[\boxcolorato{fisica}{ 0 \le x \le\dfrac{3}{2} m_2.}\]

 

Fonte: ignota.