Esercizio leggi della dinamica 5

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio 5 (\bigstar\bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar) Due masse m_A e m_B sono poste sopra un piano inclinato di un angolo \theta; i coefficienti di attrito con il piano dei due blocchi A e B sono rispettivamente \mu_A e \mu_B con \mu_A\neq\mu_B; le masse sono collegate da un filo lungo d. All’istante t=0 la massa A viene lasciata scivolare lungo il piano; all’istante t_1 il filo si tende e anche B inizia a scivolare. Si osserva che ora A e B si muovono con velocità costante. Calcolare
a) i valori dei coefficienti di attrito;
b) la tensione del filo.

 

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Svolgimento. Ricordiamo il secondo principio della dinamica: in un sistema di riferimento inerziale la somma di tutte le forze agenti su un punto materiale uguaglia la derivata della quantità di moto rispetto al tempo:

(1)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k=\dfrac{d\vec{P}}{dt}, \end{equation*}

dove \vec{P}=m\vec{v}.

Rappresentiamo in figura 1 il moto del solo corpo A nel periodo di tempo 0\leq t \leq t_1 e le forze agenti su di esso

 

 

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dove \vec{N}_A è la reazione vincolare generata dal contatto di A con il piano inclinato, m_A \vec{g} è la forza peso del corpo A e infine \vec{f}_A è la forza di attrito dinamica generata sempre dal contatto di A con il piano inclinato. Applichiamo (1) al corpo A e abbiamo

    \[\vec{N}_A+m_A \vec{g}+\vec{f}_A=m_A\vec{a}_A.\]

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy come in figura 2.

 

 

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Scomponiamo le forze lungo l’asse x e y di tale sistema di riferimento

    \[\begin{cases} -f_A+m_Ag \sin \theta=m_Aa_A \\ N_A=m_Ag \cos \theta . \end{cases}\]

In generale, la forza di attrito dinamico può essere espressa come il prodotto tra il modulo della reazione vincolare perpendicolare al piano di appoggio del punto materiale e il coefficiente di attrito dinamico, quindi, nel nostro caso

    \[f_A=N_A\mu_A\]

quindi

    \[\begin{cases} N_A\mu_A-m_Ag \sin \theta=-m_Aa_A \\ N_A=m_Ag \cos \theta . \end{cases}\]

Dal sistema si ottiene

(2)   \begin{equation*} m_A \, g \, \sin \theta - \mu_A \, m_A \, g \, \cos \theta = m_Aa_A \quad\Leftrightarrow\quad a_A = g \sin \theta - \mu_A \, g \cos \theta. \end{equation*}

Osserviamo che il moto del corpo A è rettilineo uniformemente accelerato, perché l’accelerazione è costante, quindi possiamo scrivere la sua legge oraria tenendo conto che la sua velocità iniziale è nulla

    \[x_A(t)=\dfrac{1}{2}a_At^2.\]

Posto t=t_1, sappiamo per ipotesi che il corpo A percorre uno spazio pari alla lunghezza del filo, quindi

    \[x_A(t_1) =d=\dfrac{1}{2}a_1t^2 \quad\Leftrightarrow \quad\quada_1 = \dfrac{2d}{t_1^2},\]

allora, sostituendo in (4), abbiamo

    \[a_A = g \sin \theta - \mu_A \, g \cos \theta\quad \Leftrightarrow\quad \dfrac{2d}{t_1^2} = g \sin \theta - \mu_A \, g \cos \theta\quad \Leftrightarrow\quad \mu_A = \dfrac{1}{g \cos \theta}\left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right) .\]

Dunque il valore del coefficiente di attrito per il corpo A è quello che segue

(3)   \begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ \mu_A = \dfrac{1}{g \cos \theta}\left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right)=\tan \theta -\dfrac{2d}{gt_1^2\cos \theta}.} \end{equation*}

Nell’istante t=t_1 il filo rimane teso e il corpo B viene trascinato dal corpo A. I due corpi procedono lungo il piano inclinato di moto rettilineo uniforme ed in figura 3 rappresentiamo il moto dei due corpi e le forze applicate su di essi

 

 

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dove per il corpo A abbiamo la reazione vincolare \vec{N}_A generata dal contatto con il piano inclinato, la forza peso m_A\vec{g}, la forza di attrito dinamico \vec{f}_A e infine la tensione \vec{T} generata dal filo teso che lo collega a B.

Per il corpo B abbiamo la reazione vincolare \vec{N}_B generata dal contatto con il piano inclinato, la forza peso m_B\vec{g}, la forza di attrito dinamico \vec{f}_B e infine la tensione -\vec{T} generata dal filo che lo collega con A uguale ed opposto perchè il filo è supposto di massa trascurabile.

Applichiamo (1) ai due corpi

    \[\begin{cases} \vec{T}+\vec{f}_A+m_A\vec{g}+\vec{N}_A=m_A\vec{a}_A\\ -\vec{T}+\vec{f}_B+m_B\vec{g}+\vec{N}_B=m_B\vec{a}_B, \end{cases}\]

siccome i due corpi procedono di moto rettilineo uniforme abbiamo

    \[\vec{a}_A=\vec{a}_B=\vec{0}\]

e dunque il sistema diventa

    \[\begin{cases} \vec{T}+\vec{f}_A+m_A\vec{g}+\vec{N}_A=\vec{0}\\ -\vec{T}+\vec{f}_B+m_B\vec{g}+\vec{N}_B=\vec{0}. \end{cases}\]

Ora scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy orientato come in figura 4.

 

 

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Proiettiamo le forze lungo gli assi di tale sistema di riferimento

    \[\begin{cases} -f_A+m_Ag \sin \theta-T=0\\ N_A=m_Ag \cos \theta \\ -f_B+m_Bg\sin\theta +T=0\\ N_B=m_Bg \cos \theta \end{cases}\]

e sapendo che[1]

    \[f_A=N_A\mu_A \quad \text{e} \quad f_B=N_B\mu_B\]

allora

    \[\begin{cases} -N_A\mu_A+m_Ag \sin\theta-T=0\\ N_A=m_Ag \cos \theta \\ -N_B\mu_B+m_Bg\sin \theta +T=0\\ N_B=m_Bg \cos \theta. \end{cases}\]

Per la massa A abbiamo

(4)   \begin{equation*} -T + m_A g \sin \theta - \mu_A \, m_A g \cos \theta = 0 \end{equation*}

e per la massa B abbiamo

(5)   \begin{equation*} T + m_B g \sin \theta - \mu_B \; m_B \, g \cos \theta = 0. \end{equation*}

Sommando membro a membro (4) e (5), otteniamo

    \[m_A \, g \, \sin \theta + m_B \, g \sin \theta - \mu_A \, m_A \, g \cos \theta - \mu_B \, m_B \, g \, \cos \theta = 0,\]

da cui

    \[\mu_B = \dfrac{m_A \, g \, \sin \theta+ m_B \, g \sin \theta - \mu_A \, m_A \, g \cos \theta}{m_B \, g \, \cos\theta}\]

e sostituendo l’espressione trovata in (3), si ha

    \[\mu_B=\dfrac{m_A \, g \, \sin \theta+ m_B \, g \sin \theta - m_A \left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right)}{m_B \, g \, \cos\theta} .\]

Dunque il valore del coefficiente di attrito per il corpo A è

    \[\boxcolorato{fisica}{ \mu_B=\dfrac{m_A \, g \, \sin \theta+ m_B \, g \sin \theta - m_A \left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right)}{m_B \, g \, \cos\theta}. }\]

Non ci rimane che calcolare la tensione sostituendo ad esempio \mu_A in (4)

    \[\begin{aligned} & -T + m_A g \sin \theta - \mu_A \, m_A \cos \theta = 0\quad\Leftrightarrow\quad T = m_A \, g \sin \theta - \mu_A \; m_A \, g \cos \theta =\\ &= m_A \, g \sin \theta - m_A \, g \cos \theta \dfrac{1}{g \cos \theta}\left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right)=m_A \, g \sin \theta - m_A \left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right) \end{aligned}\]

si conclude che il valore della tensione cercato è

    \[\boxcolorato{fisica}{ T= m_A \, g \sin \theta - m_A \left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right).}\]

Riassumiamo tutti i valori cercati

    \[\boxcolorato{fisica}{ \begin{aligned} & \mu_A = \dfrac{1}{g \cos \theta}\left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right); \\\\ & \mu_B=\dfrac{m_A \, g \, \sin \theta+ m_B \, g \sin \theta - m_A \left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right)}{m_B \, g \, \cos\theta} ; \\\\ & T= m_A \, g \sin \theta - m_A \left(g \sin \theta-\dfrac{2d}{t_1^2} \right). \end{aligned} }\]

 

1. Come già detto in precedenza la forza di attrito dinamico può essere espressa come il prodotto tra il modulo della reazione vincolare perpendicolare al piano d’appoggio del punto materiale e il coefficiente di attrito dinamico. ↩

 

 

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Elementi di Fisica, Edises.