Esercizio leggi della dinamica 4

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio 4 (\bigstar\bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale di massa m_1 è collegato da un filo \tau_1, inestensibile e di massa trascurabile, ad un punto fisso O, e ad un punto materiale di massa m_2 tramite un filo \tau_2, inestensibile e di massa trascurabile. I fili \tau_1 e \tau_2 hanno lunghezza rispettivamente d_1 e d_2. Il sistema, che sta in un piano orizzontale, ruota con velocità angolare costante \vec{\omega} attorno al punto fisso O. Si trascuri ogni forma di attrito. Si richiede di trovare i moduli delle tensioni dei due fili.

 

 

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Svolgimento.  Scegliamo un sistema di riferimento inerziale Oxy, centrato nel punto O, tale per cui i punti materiali m_1 e m_2 giacciono sull’asse delle x all’istante iniziale t=0, come in figura 2. Il filo è in rotazione rispetto al sistema di riferimento inerziale scelto, con velocità angolare costante \vec{\omega}.

 

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Partiamo dal considerare il corpo di massa m_2. Su questo agisce una tensione \overrightarrow{T_2} dovuta al filo \tau_2 che, per l’ipotesi che il filo sia inestensibile e di massa trascurabile, ha stesso modulo e direzione e verso opposto rispetto alla forza -\vec{T_2} agente sul corpo di massa m_1. La forza \vec{T}_2 all’istante iniziale è diretta nel verso negativo dell’asse delle x e in un generico istante t > 0 punta sempre verso l’origine O. Pertanto, deduciamo che tale forza è la forza centripeta agente sul corpo m_2.

Ricordiamo che, se un corpo di massa m ruota rispetto ad un punto fisso O, ad una distanza r da esso, risente di una forza centripeta in direzione radiale, diretta verso il centro di rotazione e di modulo pari a

(1)   \begin{equation*} F_c = m a_c = m\,\omega^2 r. \end{equation*}

Per la massa m_2, il raggio di rotazione r nella relazione (1) è r = (d_1 + d_2). Quindi:

(2)   \begin{equation*} T_2 = m_2 \,\omega^2 (d_1 + d_2). \end{equation*}

Sul corpo m_1 è agente la forza \vec{T}_1 dovuta al filo \tau_1 che lo collega con O e alla tensione -\vec{T}_2 dovuta al filo \tau_2 che lo collega ad m_2. Inoltre, istante per istante, la
forza \vec{T}_1-\vec{T}_2 punta sempre nella direzione radiale, ovvero verso il punto fisso O. Quindi \vec{T}_1-\vec{T}_2 fa da forza centripeta per m_1, e quindi, per la seconda legge della dinamica abbiamo

(3)   \begin{equation*} T_1 - T_2 = m_1 \omega^2 d_1. \end{equation*}

Mettendo a sistema le equazioni (2) e (3) si ottiene

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} T_2 = m_2 \,\omega^2 (d_1 + d_2)\\ T_1 - T_2= m_1 \,\omega^2 d_1, \end{cases} \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ T_1 = m_2 \,\omega^2 (d_1 + d_2) + m_1 \,\omega^2 d_1}\]

e

    \[\boxcolorato{fisica}{ T_2 = m_2 \,\omega^2 (d_1 + d_2).}\]

 

Fonte: P.Mazzodi, M.Nigro, C.Voci – Elementi di Fisica, Edises.