Esercizio leggi della dinamica 3

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio 3 (\bigstar\bigstar \largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Due masse m_A e m_B collegate da un filo possono scorrere su un piano inclinato liscio. Ad A è applicata una forza variabile, diretta come in figura, di modulo F=2t N/s (con t espresso in secondi). Sapendo che il filo sopporta una tensione massima di modulo T_{max} , determinare l’istante di rottura del filo.
Nota. Supporre il filo inestensibile e di massa trascurabile e trascurare ogni tipo di attrito.

 

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Svolgimento. Il secondo principio della dinamica afferma che in un sistema di riferimento inerziale la somma di tutte le forze agenti su un punto materiale uguaglia la derivata della quantità di moto rispetto al tempo:

(1)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k=\dfrac{d\vec{P}}{dt}, \end{equation*}

dove \vec{P}=m\vec{v} è la quantità di moto e \vec{v} è la velocità del punto materiale.
Dal momento che la massa non dipende dal tempo, (1) diventa

    \[\sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k=m\dfrac{d\vec{v}}{dt}=m\vec{a}.\]

Le forze agenti su A sono \vec{F}, N_A, che è la reazione vincolare generata dal contatto tra A e il piano inclinato, \vec{T} che è la tensione generata dalla fune che collega A a B ed infine la forza peso m_A \vec{g}; invece su B agisce -\vec{T}, che viene generata per il terzo principio della dinamica ed è uguale ed opposta alla tensione applicata su A, \vec{N}_B, che è la reazione vincolare generata dal contatto tra B e il piano inclinato, ed infine la forza peso m_B\vec{g}. Scegliamo un sistema di riferimento inerziale fisso con l’origine coincidente con l’inizio del piano inclinato, l’asse x coincidente con l’ipotenusa del piano inclinato ed infine l’asse y perpendicolare all’ipotenusa del piano inclinato (vedi figura).

 

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Dalla seconda legge della dinamica per il corpo m_1 e m_2 in un generico istante t possiamo scrivere il seguente sistema:

    \[\begin{cases} T - m_B \, g \, \sin \theta = m_B \; a_B \\ F-T - m_A \, g \, \sin \theta = m_A \; a_A \end{cases}.\]

Poiché i due punti materiali sono collegati da un filo inestensibile e di massa trascurabile, abbiamo a_A=a_B=a, da cui

    \[\begin{cases} T - m_B \, g \, \sin \theta = m_B \; a \\ F-T - m_A \, g \, \sin \theta = m_A \; a. \end{cases}\]

Ora poniamoci nell’istante in cui la tensione è massima e scriviamo T=T_{max}, ottenendo

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} T_{max} - m_B \, g \, \sin \theta = m_B \; a \\ F-T_{max} - m_A \, g \, \sin \theta = m_A \; a \end{cases} \end{equation*}

Da (2)_1 ricaviamo

    \[\dfrac{T_{max}-m_B \; a}{m_B} = g \sin \theta\]

e sostituendo in (2)_1 abbiamo

    \[F-T_{max} - \dfrac{m_A}{m_B} \, T_{max} + m_A \; a = m_A \; a,\]

da cui

    \[F = T_{max} + \dfrac{m_A}{m_B} \; T_{max}.\]

Dal momento che F=2t N/s, possiamo concludere che il tempo in cui avviene la rottura è:

    \[\boxcolorato{fisica}{ t = \dfrac{T_{max}}{2} \left(1+\dfrac{m_A}{m_B}\right) .}\]

 

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Elementi di Fisica, Edises.