Esercizio leggi della dinamica 7

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio 7 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due masse puntiformi m ed M, collegate da un filo ideale di lunghezza L e massa trascurabile, sono poggiate su una superficie sferica perfettamente liscia di raggio R, come mostrato in figura. Gli angoli \alpha e \beta sono quelli che la congiungente con la massa m ed M rispettivamente forma con l’orizzontale come rappresentato in figura. Se il sistema è in equilibrio dimostrare che vale la seguente relazione:

(1)   \begin{equation*} \tan\alpha=\dfrac{\dfrac{m}{M}+\cos\left(\dfrac{L}{R}\right)}{\sin\left(\dfrac{L}{R}\right)}. \end{equation*}

 

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Svolgimento. Innanzitutto schematizziamo il sistema fisico in esame come in figura 1.

 

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Sul corpo di massa m agisce la forza peso m\vec{g} diretta verso il basso, la reazione vincolare \vec{N}_{m} diretta ortogonalmente alla superficie sferica e la tensione \overrightarrow{T}_1 del filo tangente alla superficie. Analogamente sul corpo di massa M agisce la forza peso M\vec{g} diretta verso il basso, la reazione vincolare \vec{N}_{M} e la tensione \overrightarrow{T}_2. Poiché il filo è ideale e la guida è liscia, trasmette la tensione senza variarne il modulo ma solo la direzione ed il verso, ossia T_{1}=T_{2}\equiv T.
Fissiamo su ciascun corpo un sistema di riferimento cartesiano come rappresentato in figura 1, O^{\prime}x^{\prime}y^{\prime} ed O^{\prime\prime}x^{\prime\prime}y^{\prime\prime} rispettivamente orientati in maniera tale che gli assi x^{\prime} ed x^{\prime\prime} siano tangenti alla guida mentre gli assi y^{\prime} ed y^{\prime\prime} siano ad essa ortogonali.
Applicando il secondo principio della dinamica per entrambi i corpi m ed M ed imponendo la condizione di equilibrio lungo la direzione tangente alla superficie (ossia i due corpi non si muovono lungo la superficie sferica), si ha che

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} T-mg\sin({90^{\circ}-\alpha})=0\\ Mg\sin({90^{\circ}-\beta})-T=0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} T-mg\cos{\alpha}=0\\ Mg\cos{\beta}-T=0, \end{cases} \end{equation*}

da cui sommando membro a membro delle due equazioni e dividendo per g si ottiene

(3)   \begin{equation*} M\cos{\beta}-m\cos{\alpha}=0. \end{equation*}

È necessario trovare una relazione goniometrica tra \alpha e \beta così da poter esprimere la condizione di equilibrio (3) in funzione di uno dei due angoli.
In figura 1 possiamo osservare che il filo che collega i due corpi è l’arco di circonferenza che sottende un angolo al centro pari a \pi-(\alpha+\beta) con \alpha e \beta in radianti. Quindi segue che

(4)   \begin{equation*} L=R(\pi-(\alpha+\beta)) \quad \Leftrightarrow \quad \beta=\left(\pi-\dfrac{L}{R}\right)-\alpha. \end{equation*}

Sostituendo \beta, definito nell’eq.(4), nell’eq.(3) si ha

(5)   \begin{equation*} M\cos\left(\left(\pi-\dfrac{L}{R}\right)-\alpha\right)-m\cos\alpha=0. \end{equation*}

Ricordando la regola di sottrazione del coseno

(6)   \begin{equation*} \cos(x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y \nonumber \end{equation*}

l’eq.(5) diventa

(7)   \begin{equation*} M\cos\left(\pi-\dfrac{L}{R}\right)\cos\alpha+M\sin\left(\pi-\dfrac{L}{R}\right)\sin\alpha-m\cos\alpha=0, \end{equation*}

da cui, utilizzando le formule degli archi associati, si ha che

(8)   \begin{equation*} - M\cos\left(\dfrac{L}{R}\right)\cos\alpha+M\sin\left(\dfrac{L}{R}\right)\sin\alpha-m\cos\alpha=0, \end{equation*}

dividendo per \cos\alpha\neq 0 si ha

(9)   \begin{equation*} -M\cos\left(\dfrac{L}{R}\right)+M\sin\left(\dfrac{L}{R}\right)\tan\alpha-m=0, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ \tan\alpha=\dfrac{\dfrac{m}{M}+\cos\left(\dfrac{L}{R}\right)}{\sin\left(\dfrac{L}{R}\right)},}\]

che è proprio l’eq.(1) che volevamo dimostrare.