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Esercizio leggi della dinamica 8

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio leggi della dinamica 8

L’esercizio 8 sulle leggi della dinamica è l’ottavo della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Leggi di Newton in meccanica classica. Questo esercizio è il successivo di Esercizio leggi della dinamica 7 ed è il precedente di Esercizio leggi della dinamica 9. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

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Testo leggi della dinamica 8

Esercizio 8 (\bigstar \bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una molla di costante elastica k ha un estremo fissato ad un supporto verticale mentre l’altro estremo è collegato ad un blocco A di massa m_a, a contatto con un blocco B di massa m_b. La molla inizialmente è compressa di una quantità \Delta\ell e il sistema si trova in quiete su un piano orizzontale liscio. Ad un certo istante, la molla viene lasciata libera di espandersi. Calcolare:

1) l’istante di tempo in cui i due blocchi si separano;

2) la velocità di B in quell’istante;

3) la massima compressione della molla successivamente al distacco di B;

4) l’istante di tempo in cui si è verificato.

 

 

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Svolgimento Punto 1.

Fissiamo un sistema di riferimento fisso Ox e un punto O^\prime tale per cui O^\prime coincida con la base del supporto verticale, come illustrato in figura 1. Il punto O^\prime si trova in corrispondenza del supporto verticale e l’origine O si trova ad una distanza da O^\prime tale per cui \overline{O^\prime O}=x_0, ovvero l’origine del sistema di riferimento coincide con la posizione a riposo della molla rispetto ad O^\prime. Il sistema si muove lungo l’asse delle x, come illustrato in figura 1.

 

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Studiamo il moto dei blocchi singolarmente. Siccome il piano orizzontale è liscio, analizziamo le forze solo lungo la direzione orizzontale. Sul blocco A agisce la forza -\vec{N}, dovuta al contatto con il corpo B e la forza elastica \vec{F}_{el} dovuta alla molla, mentre sul blocco B agisce la forza \vec{N} per il terzo principio della dinamica; tutte le forze sono orientate come in figura 1. Nel momento in cui la molla viene lasciata libera, i due blocchi inizieranno a scorrere lungo il piano; si osservi che A e B si muovono all’unisono, quindi hanno hanno la stessa accelerazione. Per il secondo principio della dinamica abbiamo

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} N=m_b\ddot{x}\\ -N-kx=m_a\ddot{x}, \end{cases} \end{equation*}

da cui, sommando ambo i membri delle equazioni del sistema, si ottiene

(2)   \begin{equation*} -kx=(m_a+m_b)\ddot{x}\quad\Leftrightarrow\quad\ddot{x}=-\left(\dfrac{k}{m_a+m_b}\right)x. \end{equation*}

Si osservi che (2) è l’equazione di un oscillatore armonico semplice, pertanto la pulsazione è \omega=\sqrt{k/(m_a+m_b)}. La soluzione generale di (2) è

(3)   \begin{equation*} x(t)=A\sin(\omega t+\phi)\quad \Rightarrow \quad\dot{x}(t)=A\omega\cos(\omega t+\phi)\quad \Rightarrow \quad \ddot{x}(t)=-A\omega^2\sin(\omega t+\phi), \end{equation*}

dove A e \phi sono parametri da determinare imponendo le condizioni iniziali del sistema, ossia imponendo che la posizione iniziale del sistema sia x(0)=-\Delta\ell e che la sua velocità iniziale sia nulla rispetto al sistema di riferimento Ox. Avremo quindi:

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} x(0)=A\sin(\phi)=-\Delta\ell\\ \dot{x}(0)=0=A\omega\cos(\phi) \end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} A=-\Delta\ell\\ \phi=\dfrac{\pi}{2}. \end{cases} \end{equation*}

Dunque, si ha

(5)   \begin{equation*} x(t)=-\Delta\ell\cos(\omega t),\qquad\qquad\dot{x}(t)=\omega\Delta\ell\sin(\omega t),\qquad\qquad\ddot{x}(t)=-\omega^2\Delta\ell\cos(\omega t). \end{equation*}

Il distacco avviene quando tra i due corpi non c’è più contatto, ossia quando la forza di contatto tra i due è nulla, cioè \vec{N}=\vec{0}.

 

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Dunque, imponendo tale condizione, il sistema (1) diventa

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} m_b\ddot{x}=0\\ -kx=m_a\ddot{x}=0 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad\begin{cases} \ddot{x}=0\\ x=0. \end{cases} \end{equation*}

Imponendo la condizione x(t)=0 si ottiene

(7)   \begin{equation*} x(t)=\Delta\ell\cos(\omega t)=0, \end{equation*}

da cui

(8)   \begin{equation*} \omega t=\dfrac{\pi}{2}\quad\Leftrightarrow\quad t=\dfrac{\pi}{2\omega}. \end{equation*}

Utilizzando l’espressione di \omega ricavata in precedenza, possiamo trovare il tempo t^{*} in cui avviene il distacco, ovvero

    \[\boxcolorato{fisica}{t^*=\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m_a+m_b}{k}}.}\]

Svolgimento Punto 2.

Sostituendo t=t^\star nell’equazione (5), otteniamo

(9)   \begin{equation*} \dot{x}(t^*)=\omega\Delta\ell\sin\left(\dfrac{\omega\pi}{2\omega}\right)=\omega\Delta\ell\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\omega\Delta\ell. \end{equation*}

Si conclude che la velocità al tempo t^\star è

    \[\boxcolorato{fisica}{\dot{x}(t^*)=\Delta\ell\omega=\Delta\ell\sqrt{\dfrac{k}{m_a+m_b}}.}\]

 

Osservazione.

Si osservi che nell’istante t=t^*, ovvero nell’istante del distacco, la velocità del sistema è massima. Inoltre, per t>t^*, non è possibile utilizzare le equazioni trovate in precedenza. Infatti, i due blocchi A e B si muoveranno di moto differente. Il corpo A si muoverà di moto armonico e il corpo B si muoverà di moto rettilineo uniforme per il primo principio della dinamica.

Svolgimento Punto 3.

Come abbiamo già anticipato, in seguito al distacco, le leggi orarie dei due blocchi saranno tra di loro indipendenti; in particolare avremo che il blocco B, sul quale non agisce più alcuna forza, procederà di moto rettilineo uniforme con velocità \dot{x}(t^*), mentre A sarà ancora soggetto alla forza della molla e pertanto si muoverà di moto armonico.

 

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Nell’istante del distacco, la velocità di A è \dot{x}(t^*), dunque per studiare il moto di A dovremo imporre delle nuove condizioni iniziali. In particolare, avremo:

(10)   \begin{equation*} \begin{cases} -kx=m_a\ddot{x}\\ {x}_A(0)=0\\ {\dot{x}}_A(0)=\dot{x}(t^*)=\omega\Delta\ell. \end{cases} \end{equation*}

Dalla prima equazione del sistema abbiamo

(11)   \begin{equation*} \ddot{x}=-\dfrac{k}{m_a}x, \end{equation*}

ossia, riconosciamo nuovamente l’equazione che descrive un oscillatore armonico semplice; varranno dunque le stesse equazioni che avevamo trovato nel punto a), con la differenza che questa volta la pulsazione sarà \omega^{\prime}=\sqrt{k/m_a}. Di seguito, riportiamo le equazioni che descrivono la posizione, la velocità e l’accelerazione di A:

(12)   \begin{equation*} {x}_A(t)=A\sin(\omega^{\prime} t+\phi),\qquad\qquad\dot{x}_A(t)=A\omega^{\prime}\cos(\omega^{\prime} t+\phi),\qquad\qquad\ddot{x}_A(t)=-A\omega^{{\prime}2}\sin(\omega^{\prime} t+\phi). \end{equation*}

Andiamo dunque a imporre le condizioni iniziali descritte dal sistema (10), ovvero

(13)   \begin{equation*} \begin{cases} {x}_A(0)=A\sin\phi=0\\ \dot{x}_A(0)=A\omega^{\prime}\cos\phi=\omega\Delta\ell \end{cases}\Rightarrow\quad\begin{cases} \phi=0\\ A=\dfrac{\omega\Delta\ell}{\omega^{\prime}}, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(14)   \begin{equation*} {x}_A(t)=\dfrac{\omega\Delta\ell}{\omega^{\prime}}\sin(\omega^{\prime} t),\qquad\qquad \dot{x}_A(t)=\Delta\ell\omega\cos(\omega^{\prime} t),\qquad\qquad \ddot{x}_A(t)=- \Delta \ell \omega \omega^\prime\sin(\omega^{\prime} t). \end{equation*}

Il valore massimo assunto da {x}_A(t) è

    \[\boxcolorato{fisica}{{x}_{A,\text{max}}=\dfrac{\omega\Delta\ell}{\omega^{\prime}}=\Delta\ell\sqrt{\dfrac{m_ak}{(m_a+m_b)k}}=\Delta\ell\sqrt{\dfrac{m_a}{m_a+m_b}},}\]

che è proprio quello che stavamo cercando.

Svolgimento Punto 4.

Chiamiamo \tilde{t} l’istante di tempo in cui la compressione della molla sia massima, ovvero tale per cui \sin(\omega^{\prime}\tilde{t})=1. Affinché ciò accada, è necessario che l’argomento del seno sia \pi/2, cioè:

(15)   \begin{equation*} \omega^{\prime}\tilde{t}=\dfrac{\pi}{2}\quad\Leftrightarrow\quad\tilde{t}=\dfrac{\pi}{2\omega^{\prime}}. \end{equation*}

Concludiamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{\tilde{t}=\dfrac{\pi}{2}\sqrt{\dfrac{m_a}{k}}.}\]

 
 

Esercizi di Meccanica classica

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    Un po’ di storia sulle leggi della dinamica

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    Le leggi della dinamica rappresentano uno dei pilastri fondamentali della fisica classica. Formulate da Isaac Newton nel XVII secolo, queste leggi hanno rivoluzionato la nostra comprensione del movimento e delle forze, gettando le basi per la fisica moderna. La storia delle leggi della dinamica inizia con le prime intuizioni pre-scientifiche e arriva fino alle scoperte rivoluzionarie di Newton, estendendosi al loro impatto duraturo sulla scienza e sulla tecnologia contemporanea.

    Prima di Newton, la comprensione del movimento e delle forze era dominata dalle idee di Aristotele, un filosofo greco del IV secolo a.C. Aristotele credeva che tutti i corpi avessero un “luogo naturale” e che si muovessero solo quando una forza esterna agiva su di essi. Questa visione, conosciuta come “fisica aristotelica”, affermava che un oggetto in movimento si fermava automaticamente una volta cessata la forza che lo spingeva. Questa concezione aristotelica rimase predominante per secoli, influenzando profondamente la filosofia naturale. Tuttavia, presentava limitazioni significative, specialmente nella spiegazione di fenomeni come il moto dei pianeti o il comportamento dei proiettili. Nonostante i suoi limiti, la fisica aristotelica gettò le basi per lo sviluppo successivo delle leggi della dinamica.

    Un punto di svolta nella comprensione del movimento fu segnato da Galileo Galilei, un matematico e fisico italiano del XVI secolo. Galileo sfidò molte delle idee di Aristotele, introducendo concetti che sarebbero stati fondamentali per la formulazione delle leggi della dinamica. Galileo fu il primo a dimostrare che la velocità di caduta di un oggetto non dipende dalla sua massa, ma dal tempo trascorso. Egli introdusse il concetto di inerzia, l’idea che un corpo in movimento rimane in movimento a meno che una forza esterna non intervenga. Questo principio di inerzia costituì la base della Prima legge di Newton, una delle tre leggi della dinamica che avrebbero rivoluzionato la fisica. Oltre a queste scoperte, Galileo sviluppò la metodologia scientifica basata sull’osservazione e l’esperimento, ponendo le basi per la fisica moderna. Le sue idee furono cruciali per la successiva formulazione delle leggi della dinamica da parte di Newton.

    Isaac Newton, uno dei più grandi scienziati della storia, formulò le leggi della dinamica nel suo capolavoro “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica”, pubblicato nel 1687. Le tre leggi di Newton descrivono il comportamento del movimento e delle forze in modo preciso e matematico, fornendo una base solida per la meccanica classica. La Prima legge della dinamica, nota anche come legge dell’inerzia, afferma che un corpo in stato di quiete o di moto rettilineo uniforme rimane in tale stato finché non agisce su di esso una forza esterna. Questa legge formalizza il concetto introdotto da Galileo, stabilendo che il movimento non richiede una forza continua per essere mantenuto, ma solo per essere alterato. La legge dell’inerzia fu rivoluzionaria perché sfidava direttamente la fisica aristotelica, dimostrando che il moto non è il risultato di un’azione continua ma di una condizione naturale degli oggetti.

    La Seconda legge della dinamica, forse la più famosa delle tre, stabilisce che la forza che agisce su un corpo è direttamente proporzionale alla sua massa e alla sua accelerazione, secondo la formula F = ma. Questa legge descrive come le forze influenzano il movimento degli oggetti e fornisce una base per calcolare le forze necessarie per muovere o fermare un oggetto. Questa legge è stata fondamentale per lo sviluppo della meccanica classica, permettendo di comprendere e prevedere con precisione il comportamento degli oggetti sotto l’influenza di forze diverse. È grazie a questa legge che possiamo spiegare fenomeni quotidiani, come la caduta di un oggetto o il lancio di un proiettile, con una precisione matematica.

    La Terza legge della dinamica è forse la più intuitiva: afferma che per ogni azione esiste una reazione uguale e contraria. Questo significa che quando un oggetto esercita una forza su un altro, il secondo oggetto esercita una forza uguale e opposta sul primo. Questa legge è evidente in molti fenomeni quotidiani, come il rimbalzo di una palla o il funzionamento di un razzo. La comprensione di questa legge è essenziale per l’ingegneria e la tecnologia moderne, poiché spiega come le forze interagiscono in sistemi complessi.

    Le leggi della dinamica di Newton hanno avuto un impatto profondo e duraturo sulla fisica classica. Prima della loro formulazione, la comprensione del movimento e delle forze era frammentaria e spesso basata su osservazioni qualitative piuttosto che su principi matematici. Le leggi di Newton hanno fornito una struttura coerente e matematica per descrivere il comportamento degli oggetti in movimento, permettendo ai fisici di fare previsioni accurate e di sviluppare nuove tecnologie. Grazie alle leggi della dinamica, è stato possibile sviluppare la meccanica celeste, che spiega il movimento dei pianeti e delle stelle. Queste leggi hanno permesso di calcolare con precisione le orbite dei corpi celesti, confermando le teorie di Keplero e contribuendo alla comprensione dell’universo. Le leggi della dinamica hanno anche gettato le basi per l’ingegneria moderna, permettendo la progettazione di macchine, edifici e veicoli con una comprensione precisa delle forze in gioco. Senza le leggi di Newton, molte delle tecnologie che diamo per scontate oggi, come gli aerei, le automobili e i ponti, non sarebbero possibili.

    Con l’avvento della fisica moderna, alcune delle previsioni delle leggi della dinamica di Newton sono state riviste e ampliate. In particolare, la teoria della relatività di Einstein ha dimostrato che le leggi di Newton non sono sufficienti per descrivere il movimento a velocità prossime a quella della luce o in campi gravitazionali molto forti. Tuttavia, le leggi della dinamica rimangono valide e utili nella maggior parte delle situazioni quotidiane e continuano a essere insegnate come parte fondamentale della fisica.

     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.






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