Esercizio leggi della dinamica 16

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Esercizio 16 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due corpi di massa m ed M si trovano su un piano inclinato fisso formante un angolo \alpha con l’orizzontale, come mostrato nella figura 1. Il coefficiente di attrito statico relativo al contatto tra m e il piano inclinato è pari a \mu_s, mentre per M non c’è attrito. Determinare il valore massimo di M per cui il sistema rimane in quiete.

 

 

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Svolgimento.  Le forze agenti su m sono la reazione vincolare \vec{N}_m con il piano inclinato, la forza di attrito statico \vec{f}_s, la forza peso m\vec{g}, e infine la forza di contatto \vec{N} generata dal contatto tra m ed M. Le forze agenti su M sono la reazione vincolare \vec{N}_M con il piano inclinato, la forza peso M\vec{g}, ed infine la forza di contatto -\vec{N}. Si osservi che la forze di contatto su entrambi i corpi sono uguali ed opposte per il terzo principio della dinamica. Inoltre, si osservi che su M non c’è attrito per ipotesi. Tutte le forze descritte sono rappresentate in figura 2.

 

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Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, come in figura 3.

 

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Imponiamo che la somma delle forze su M sia uguale a zero. Lungo l’asse delle x abbiamo

(1)   \begin{equation*} N=Mg\sin\alpha, \end{equation*}

in cui si è considerata la proiezione della forza peso Mg lungo la direzione x, mentre per la direzione y sarà, ancora per la massa M,

(2)   \begin{equation*} N_M=Mg\cos\alpha. \end{equation*}

Per la massa m, le equazioni della statica per le direzioni x e y si scriveranno invece rispettivamente

(3)   \begin{equation*} f_s=N+mg\sin\alpha \end{equation*}

e

(4)   \begin{equation*} N_m=mg \cos \alpha. \end{equation*}

Sostituendo N (definita nell’equazione (1)) nell’equazione (3), si ottiene

(5)   \begin{equation*} f_s= (M+m) g\sin\alpha. \end{equation*}

Siccome il sistema è in quiete la forza di attrito statico deve essere minore o uguale della forza di attrito statico massimo, ovvero

(6)   \begin{equation*} f_s \leq \mu_s N_m=\text{Forza di attrito statico massimo.} \end{equation*}

Sostituendo f_s (definita nell’equazione (5)) e N_m (definita nell’equazione (4)) nella relazione (6), si trova

(7)   \begin{equation*} (M+m) g\sin\alpha \leq \mu_s mg \cos \alpha, \end{equation*}

da cui

(8)   \begin{equation*} M \sin\alpha \leq m (\mu_s\cos \alpha-\sin \alpha), \end{equation*}

o anche

(9)   \begin{equation*} M\leq m (\mu_s\cot \alpha-1). \end{equation*}

Dalla relazione (9) si deduce che la massa massima è

    \[\boxcolorato{fisica}{ M_{\max}= m (\mu_s\cot \alpha-1).}\]

 

Osservazione. Si osservi che (9) ha senso, se e solo se, vale

(10)   \begin{equation*} \mu_s\cos \alpha-\sin \alpha>0, \end{equation*}

cioè

(11)   \begin{equation*} \mu_s\geq \tan \alpha. \end{equation*}

Si consideri la figura 4.

 

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La figura 4 rappresenta il sistema tolta la massa M. Per la sola massa m, per la seconda legge della dinamica nella direzione dell’asse delle x e delle y, si ha rispettivamente

(12)   \begin{equation*} N=mg\cos \theta \\ f_s=mg\sin \theta. \end{equation*}

Sappiamo che

(13)   \begin{equation*} f_s\leq N\mu_s=mg\mu_s\cos \theta, \end{equation*}

da cui

(14)   \begin{equation*} \mu_s\geq \tan \theta. \end{equation*}

Da quanto ottenuto deduciamo che (9) è ben definita.