Home » Esercizio leggi della dinamica 15
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page


 

Esercizio 15  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Due corpi A e B entrambi di massa m sono legati tra loro mediante un filo ideale (massa trascurabile ed inestensibile) al quale è agganciato un corpo C di massa m_C, come illustrato in figura. Il corpo C è vincolato in una posizione tale per cui la direzione individuata dalla congiungente tra A e B formi un angolo \theta_A con la direzione della congiungente tra C ed A; analogamente la direzione della congiungente tra A e B formi un angolo \theta_B con la direzione della congiungente tra C e B . I piani orizzontali su cui giacciono i corpi A e B sono entrambi scabri con coefficiente di attrito statico \mu_{s}^A e \mu_{s}^B rispettivamente. Supporre che entrambi i piani orizzontali si trovino allo stesso livello rispetto al suolo. Calcolare il massimo valore m_{C,max} per la massa del corpo C per cui il sistema rimaga in equilibrio.

Durante lo svolgimento del problema supporre che \cot(\theta_A)>\mu_{s}^A e \cot(\theta_{B})>\mu_{s}^B.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Svolgimento.  Fissiamo un sistema di riferimento fisso Oxy, come in figura 1, rispetto al quale costruiamo il diagramma di corpo libero per ciascuno dei tre corpi del problema.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Il sistema composto dalle tre masse deve essere in quiete, per cui la somma di tutte le forze agenti su ciascuno di essi deve essere nulla.
Sul corpo A agisce la forza peso m\vec{g} diretta nel verso negativo dell’asse y, la reazione vincolare \vec{N}_A diretta nel verso positivo dell’asse y, la forza di attrito statico \vec{f}_{a,A} diretta nel verso negativo dell’asse x e la tensione della corda \vec{T}_1 che forma un angolo \theta_A con la congiungente tra il corpo A ed il corpo B e pertanto avrà una componente sia lungo l’asse positivo delle x che l’asse negativo delle y.
Dal secondo principio della dinamica, proiettando lungo gli assi x ed y le forze che agiscono sul corpo A e richiedendone l’equilibrio, si ha che

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} -mg-T_1\sin\theta_A+N_A=0\\ -f_{a,A}+T_1\cos\theta_{A}=0\\ \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} N_A=mg+T_1\sin\theta_A\\ f_{a,A}=T_1\cos\theta_{A}\\ \end{cases} . \end{equation*}

Sul corpo B agiscono la forza peso m\vec{g} diretta nel verso negativo dell’asse y, la reazione vincolare \vec{N}_B diretta nel verso positivo dell’asse y, la forza di attrito statico \vec{f}_{a,B} diretta nel verso positivo dell’asse x e la tensione della corda \vec{T}_2 che forma un angolo \theta_B con la congiungente tra il corpo B ed il corpo A e pertanto avrà una componente sia lungo l’asse negativo delle x che l’asse negativo delle y.
Dal secondo principio della dinamica, proiettando lungo gli assi x ed y le forze che agiscono sul corpo B e richiedendone l’equilibrio, si ha che

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} -mg-T_2\sin\theta_B+N_B=0\\ f_{a,B}-T_2\cos\theta_{B}=0\\ \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} N_B=mg+T_2\sin\theta_B\\ f_{a,B}=T_2\cos\theta_{B}. \end{cases} . \end{equation*}

Infine sul corpo C agisce la forza peso m_C\vec{g} diretta nel verso negativo dell’asse y e le due tensioni -\vec{T}_1 e -\vec{T}_2.
Dal secondo principio della dinamica, proiettando lungo gli assi x ed y le forze che agiscono sul corpo C e richiedendone l’equilibrio, si ha che

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} -m_{C}g+T_1\sin\theta_A+T_2\sin\theta_{B}=0\\ -T_1\cos\theta_{A}+T_2\cos\theta_{B}=0\\ \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} m_{C}g=T_1\sin\theta_A+T_2\sin\theta_{B}\\ T_1\cos\theta_{A}=T_2\cos\theta_{B}, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} \boxed{m_{C}=\dfrac{T_1\sin\theta_{A}+T_2\sin\theta_{B}}{g}.} \end{equation*}

Dall’equazione (4) osserviamo che il valore critico della massa m_C dipende dalle tensioni T_1 e T_2 che a loro volta (vedi sistema (1) e (2) dipendono dai valori delle forze di attrito statico f_{a,A} e f_{a,B}, rispettivamente.
In generale la forza di attrito statico f_s che si esplica su di un corpo a contatto con una superficie scabra con coefficiente \mu che esercita su di esso una forza \vec{N} (reazione vincolare) è tale per cui f_s\leq \mu N. In virtù di ciò nel nostro caso si ha

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} f_{a,A}\leq \mu^A_{s}N_A \\ f_{a,B}\leq \mu^B_{s}N_B . \end{cases} \end{equation*}

Quindi sfruttando (1)_2 e (2)_2 si ha che

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} T_1\cos\theta_{A}\leq \left(mg+T_1\sin\theta_A\right) \mu^A_{s}\\ T_2\cos\theta_{B}\leq \left(mg+T_2\sin\theta_B\right) \mu^B_{s}, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} T_1\cos\theta_{A}-T_1\mu^A_{s}\sin\theta_A \leq mg \mu^A_{s}\\ T_2\cos\theta_{B}- \mu^B_{s}T_2\sin\theta_B\leq mg \mu^B_{s}, \end{cases} \end{equation*}

o anche

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} T_1\left(\cos\theta_{A}-\mu^A_{s}\sin\theta_A\right) \leq mg \mu^A_{s}\\ T_2\left(\cos\theta_{B}- \mu^B_{s}\sin\theta_B\right)\leq mg \mu^B_{s}. \end{cases} \end{equation*}

Poiché per ipotesi abbiamo che \cos\theta_{A}-\mu^A_{s}\sin\theta_A >0 e \cos\theta_{B}- \mu^B_{s}\sin\theta_B>0, si ottiene

(9)   \begin{equation*} \begin{cases} T_1 \leq \dfrac{mg \mu^A_{s}}{\left(\cos\theta_{A}-\mu^A_{s}\sin\theta_A\right)}\\\\ T_2\leq \dfrac{mg \mu^B_{s}}{\left(\cos\theta_{B}- \mu^B_{s}\sin\theta_B\right)}. \end{cases} \end{equation*}

Riscriviamo il sistema (3) in maniera tale da esplicitare le tensioni T_1 e T_2 in funzione degli angoli \theta_{A},\theta_{B} e della massa m_C, ossia

(10)   \begin{equation*} \begin{aligned}[b] &\begin{cases} m_{C}g=T_1\sin\theta_A+T_2\sin\theta_{B}\\\\ T_1=\dfrac{T_2\cos\theta_{B}}{\cos\theta_{A}} \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} m_{C}g=\dfrac{T_2\cos\theta_{B}\sin\theta_A}{\cos\theta_{A}}+T_2\sin\theta_{B}\\\\ T_1=\dfrac{T_2\cos\theta_{B}}{\cos\theta_{A}} \end{cases}\Leftrightarrow \quad \\ &\Leftrightarrow \quad\begin{cases} m_{C}g=T_2\left(\dfrac{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}}{\cos\theta_{A}}\right)\\\\ T_1=\dfrac{T_2\cos\theta_{B}}{\cos\theta_{A}} \end{cases}\Leftrightarrow \quad\begin{cases} T_2=\dfrac{\cos\theta_{A}m_{C}g}{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}}\\\\ T_1=\dfrac{T_2\cos\theta_{B}}{\cos\theta_{A}} \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow\begin{cases} T_2=\dfrac{\cos\theta_{A}m_{C}g}{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}}\\\\ T_1=\dfrac{\cos\theta_{B}}{\cos\theta_{A}}\left(\dfrac{\cos\theta_{A}m_{C}g}{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}}\right) \end{cases} \Leftrightarrow\quad \boxed{\begin{cases} T_2=\dfrac{\cos\theta_{A}m_{C}g}{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}}\\\\ T_1=\dfrac{\cos\theta_{B}m_{C}g}{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}}. \end{cases}} \end{aligned} \end{equation*}

In virtù del risultato ottenuto nel sistema (10), il sistema di disequazioni (9) diventa

(11)   \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\cos\theta_{B}m_{C}g}{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}} \leq \dfrac{mg \mu^A_{s}}{\left(\cos\theta_{A}-\mu^A_{s}\sin\theta_A\right)}\\\\ \dfrac{\cos\theta_{A}m_{C}g}{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}}\leq \dfrac{mg \mu^B_{s}}{\left(\cos\theta_{B}- \mu^B_{s}\sin\theta_B\right)}, \end{cases} \end{equation*}

ovvero

(12)   \begin{equation*} \begin{cases} m_{C} \leq \dfrac{m \mu^A_{s}\left(\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}\right)}{\cos\theta_{B}\left(\cos\theta_{A}-\mu^A_{s}\sin\theta_A\right)}\\\\ m_{C}\leq \dfrac{m \mu^B_{s}\left(\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}\right)}{\cos\theta_{A}\left(\cos\theta_{B}- \mu^B_{s}\sin\theta_B\right)}, \end{cases} \end{equation*}

per cui

(13)   \begin{equation*} \begin{cases} m_{C} \leq \dfrac{m \mu^A_{s}\left(\tan\theta_A+\tan\theta_{B}\right)}{\left(1-\mu^A_{s}\tan\theta_A\right)}\\\\ m_{C}\leq \dfrac{m \mu^B_{s}\left(\tan\theta_A+\tan\theta_{B}\right)}{\left(1- \mu^B_{s}\tan\theta_B\right)}. \end{cases} \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ m_{C,max}=\max\left\{ \dfrac{m \mu^A_{s}\left(\tan\theta_A+\tan\theta_{B}\right)}{\left(1-\mu^A_{s}\tan\theta_A\right)},\, \dfrac{m \mu^B_{s}\left(\tan\theta_A+\tan\theta_{B}\right)}{\left(1- \mu^B_{s}\tan\theta_B\right)}\right\}.}\]