Esercizio leggi della dinamica 15

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Esercizio 15 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Due corpi A e B entrambi di massa m sono legati tra loro mediante un filo ideale (massa trascurabile ed inestensibile) al quale è agganciato un corpo C di massa m_C, come illustrato in figura. Il corpo C è vincolato in una posizione tale per cui la direzione individuata dalla congiungente tra A e B formi un angolo \theta_A con la direzione della congiungente tra C ed A; analogamente la direzione della congiungente tra A e B formi un angolo \theta_B con la direzione della congiungente tra C e B . I piani orizzontali su cui giacciono i corpi A e B sono entrambi scabri con coefficiente di attrito statico \mu_{s}^A e \mu_{s}^B rispettivamente. Supporre che entrambi i piani orizzontali si trovino allo stesso livello rispetto al suolo. Calcolare il massimo valore m_{C,max} per la massa del corpo C per cui il sistema rimaga in equilibrio.

Durante lo svolgimento del problema supporre che \cot(\theta_A)>\mu_{s}^A e \cot(\theta_{B})>\mu_{s}^B.

 

 

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Svolgimento.  Fissiamo un sistema di riferimento fisso Oxy, come in figura 1, rispetto al quale costruiamo il diagramma di corpo libero per ciascuno dei tre corpi del problema.

 

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Il sistema composto dalle tre masse deve essere in quiete, per cui la somma di tutte le forze agenti su ciascuno di essi deve essere nulla.
Sul corpo A agisce la forza peso m\vec{g} diretta nel verso negativo dell’asse y, la reazione vincolare \vec{N}_A diretta nel verso positivo dell’asse y, la forza di attrito statico \vec{f}_{a,A} diretta nel verso negativo dell’asse x e la tensione della corda \vec{T}_1 che forma un angolo \theta_A con la congiungente tra il corpo A ed il corpo B e pertanto avrà una componente sia lungo l’asse positivo delle x che l’asse negativo delle y.
Dal secondo principio della dinamica, proiettando lungo gli assi x ed y le forze che agiscono sul corpo A e richiedendone l’equilibrio, si ha che

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} -mg-T_1\sin\theta_A+N_A=0\\ -f_{a,A}+T_1\cos\theta_{A}=0\\ \end{cases} \Leftrightarrow \quad \begin{cases} N_A=mg+T_1\sin\theta_A\\ f_{a,A}=T_1\cos\theta_{A}\\ \end{cases} . \end{equation*}

Sul corpo B agiscono la forza peso m\vec{g} diretta nel verso negativo dell’asse y, la reazione vincolare \vec{N}_B diretta nel verso positivo dell’asse y, la forza di attrito statico \vec{f}_{a,B} diretta nel verso positivo dell’asse x e la tensione della corda \vec{T}_2 che forma un angolo \theta_B con la congiungente tra il corpo B ed il corpo A e pertanto avrà una componente sia lungo l’asse negativo delle x che l’asse negativo delle y.
Dal secondo principio della dinamica, proiettando lungo gli assi x ed y le forze che agiscono sul corpo B e richiedendone l’equilibrio, si ha che

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} -mg-T_2\sin\theta_B+N_B=0\\ f_{a,B}-T_2\cos\theta_{B}=0\\ \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} N_B=mg+T_2\sin\theta_B\\ f_{a,B}=T_2\cos\theta_{B}. \end{cases} . \end{equation*}

Infine sul corpo C agisce la forza peso m_C\vec{g} diretta nel verso negativo dell’asse y e le due tensioni -\vec{T}_1 e -\vec{T}_2.
Dal secondo principio della dinamica, proiettando lungo gli assi x ed y le forze che agiscono sul corpo C e richiedendone l’equilibrio, si ha che

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} -m_{C}g+T_1\sin\theta_A+T_2\sin\theta_{B}=0\\ -T_1\cos\theta_{A}+T_2\cos\theta_{B}=0\\ \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} m_{C}g=T_1\sin\theta_A+T_2\sin\theta_{B}\\ T_1\cos\theta_{A}=T_2\cos\theta_{B}, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} \boxed{m_{C}=\dfrac{T_1\sin\theta_{A}+T_2\sin\theta_{B}}{g}.} \end{equation*}

Dall’equazione (4) osserviamo che il valore critico della massa m_C dipende dalle tensioni T_1 e T_2 che a loro volta (vedi sistema (1) e (2) dipendono dai valori delle forze di attrito statico f_{a,A} e f_{a,B}, rispettivamente.
In generale la forza di attrito statico f_s che si esplica su di un corpo a contatto con una superficie scabra con coefficiente \mu che esercita su di esso una forza \vec{N} (reazione vincolare) è tale per cui f_s\leq \mu N. In virtù di ciò nel nostro caso si ha

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} f_{a,A}\leq \mu^A_{s}N_A \\ f_{a,B}\leq \mu^B_{s}N_B . \end{cases} \end{equation*}

Quindi sfruttando (1)_2 e (2)_2 si ha che

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} T_1\cos\theta_{A}\leq \left(mg+T_1\sin\theta_A\right) \mu^A_{s}\\ T_2\cos\theta_{B}\leq \left(mg+T_2\sin\theta_B\right) \mu^B_{s}, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} T_1\cos\theta_{A}-T_1\mu^A_{s}\sin\theta_A \leq mg \mu^A_{s}\\ T_2\cos\theta_{B}- \mu^B_{s}T_2\sin\theta_B\leq mg \mu^B_{s}, \end{cases} \end{equation*}

o anche

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} T_1\left(\cos\theta_{A}-\mu^A_{s}\sin\theta_A\right) \leq mg \mu^A_{s}\\ T_2\left(\cos\theta_{B}- \mu^B_{s}\sin\theta_B\right)\leq mg \mu^B_{s}. \end{cases} \end{equation*}

Poiché per ipotesi abbiamo che \cos\theta_{A}-\mu^A_{s}\sin\theta_A >0 e \cos\theta_{B}- \mu^B_{s}\sin\theta_B>0, si ottiene

(9)   \begin{equation*} \begin{cases} T_1 \leq \dfrac{mg \mu^A_{s}}{\left(\cos\theta_{A}-\mu^A_{s}\sin\theta_A\right)}\\\\ T_2\leq \dfrac{mg \mu^B_{s}}{\left(\cos\theta_{B}- \mu^B_{s}\sin\theta_B\right)}. \end{cases} \end{equation*}

Riscriviamo il sistema (3) in maniera tale da esplicitare le tensioni T_1 e T_2 in funzione degli angoli \theta_{A},\theta_{B} e della massa m_C, ossia

(10)   \begin{equation*} \begin{aligned}[b] &\begin{cases} m_{C}g=T_1\sin\theta_A+T_2\sin\theta_{B}\\\\ T_1=\dfrac{T_2\cos\theta_{B}}{\cos\theta_{A}} \end{cases}\Leftrightarrow \quad \begin{cases} m_{C}g=\dfrac{T_2\cos\theta_{B}\sin\theta_A}{\cos\theta_{A}}+T_2\sin\theta_{B}\\\\ T_1=\dfrac{T_2\cos\theta_{B}}{\cos\theta_{A}} \end{cases}\Leftrightarrow \quad \\ &\Leftrightarrow \quad\begin{cases} m_{C}g=T_2\left(\dfrac{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}}{\cos\theta_{A}}\right)\\\\ T_1=\dfrac{T_2\cos\theta_{B}}{\cos\theta_{A}} \end{cases}\Leftrightarrow \quad\begin{cases} T_2=\dfrac{\cos\theta_{A}m_{C}g}{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}}\\\\ T_1=\dfrac{T_2\cos\theta_{B}}{\cos\theta_{A}} \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow\begin{cases} T_2=\dfrac{\cos\theta_{A}m_{C}g}{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}}\\\\ T_1=\dfrac{\cos\theta_{B}}{\cos\theta_{A}}\left(\dfrac{\cos\theta_{A}m_{C}g}{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}}\right) \end{cases} \Leftrightarrow\quad \boxed{\begin{cases} T_2=\dfrac{\cos\theta_{A}m_{C}g}{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}}\\\\ T_1=\dfrac{\cos\theta_{B}m_{C}g}{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}}. \end{cases}} \end{aligned} \end{equation*}

In virtù del risultato ottenuto nel sistema (10), il sistema di disequazioni (9) diventa

(11)   \begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{\cos\theta_{B}m_{C}g}{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}} \leq \dfrac{mg \mu^A_{s}}{\left(\cos\theta_{A}-\mu^A_{s}\sin\theta_A\right)}\\\\ \dfrac{\cos\theta_{A}m_{C}g}{\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}}\leq \dfrac{mg \mu^B_{s}}{\left(\cos\theta_{B}- \mu^B_{s}\sin\theta_B\right)}, \end{cases} \end{equation*}

ovvero

(12)   \begin{equation*} \begin{cases} m_{C} \leq \dfrac{m \mu^A_{s}\left(\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}\right)}{\cos\theta_{B}\left(\cos\theta_{A}-\mu^A_{s}\sin\theta_A\right)}\\\\ m_{C}\leq \dfrac{m \mu^B_{s}\left(\cos\theta_{B}\sin\theta_A+\sin\theta_{B}\cos\theta_{A}\right)}{\cos\theta_{A}\left(\cos\theta_{B}- \mu^B_{s}\sin\theta_B\right)}, \end{cases} \end{equation*}

per cui

(13)   \begin{equation*} \begin{cases} m_{C} \leq \dfrac{m \mu^A_{s}\left(\tan\theta_A+\tan\theta_{B}\right)}{\left(1-\mu^A_{s}\tan\theta_A\right)}\\\\ m_{C}\leq \dfrac{m \mu^B_{s}\left(\tan\theta_A+\tan\theta_{B}\right)}{\left(1- \mu^B_{s}\tan\theta_B\right)}. \end{cases} \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ m_{C,max}=\max\left\{ \dfrac{m \mu^A_{s}\left(\tan\theta_A+\tan\theta_{B}\right)}{\left(1-\mu^A_{s}\tan\theta_A\right)},\, \dfrac{m \mu^B_{s}\left(\tan\theta_A+\tan\theta_{B}\right)}{\left(1- \mu^B_{s}\tan\theta_B\right)}\right\}.}\]