Esercizio leggi della dinamica 14

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio 14 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m poggia su un piano inclinato formante un angolo \theta con l’orizzontale. Il coefficiente d’attrito statico tra corpo e piano è pari a \mu_s. Determinare il valore minimo e massimo della forza orizzontale che occorre applicare al corpo per mantenerlo in equilibrio statico. Supporre \cos \theta > \mu_s \sin \theta.

 

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Svolgimento. Il corpo m è sottoposto alla forza di attrito statico \vec{f}_s diretta tangenzialmente la piano inclinato, la reazione vincolare \vec{N} perpendicolare al piano inclinato, la forza peso m\vec{g} e la forza \vec{F}. L’orientazione delle forza di attrito statico \vec{f}_s varia a seconda del modulo della proiezione di F lungo il piano inclinato. Osserviamo che nell’ipotesi che il piano inclinato fosse liscio varrebbe

(1)   \begin{equation*} F\cos \theta =mg \sin \theta, \end{equation*}

cioè la condizione per mantenere m in equilibrio. Dunque, deduciamo che nell’ipotesi che il piano sia scabro è utile distinguere due casi:

    \[\begin{aligned} &1)F\cos \theta <mg \sin \theta;\\ &2)F\cos \theta >mg \sin \theta. \end{aligned}\]

Studiamo il primo caso. Supponiamo che

(2)   \begin{equation*} 0 < F \cos \theta <mg \sin \theta , \end{equation*}

e scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, orientato come in figura 2. In questa situazione la forza di attrito \vec{f}_s contribuirà ad aiutare la componente tangenziale della forza \vec{F} contro la componente tangenziale della forza peso m\vec{g}, ovvero la forza di attrito \vec{f}_s è diretta nel verso positivo dell’asse delle x, come in figura 2. Tale situazione è deducibile dalla fisica del problema: se la forza F\cos \theta è più piccola di mg\sin \theta la forza di attrito f_s deve necessariamente essere orientata nel verso positivo dell’asse delle x per mantenere l’equilibrio.

 

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Per la seconda legge della dinamica all’equilibrio, si ha:

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} f_s = -F \cos \theta + mg \sin \theta\\ N = mg \cos \theta + F \sin \theta , \end{cases} \end{equation*}

da cui sapendo che

(4)   \begin{equation*} f_s \le N \mu_s, \end{equation*}

si ottiene

    \[\begin{aligned} & -F \cos \theta + mg \sin \theta\le (mg \cos \theta + F \sin \theta) \mu_s\quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad - F \cos \theta - F \mu_s \sin \theta \le - mg \sin \theta + mg \mu_s \cos \theta \, \quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad F(\cos \theta + \mu_s \, \sin \theta) \ge mg (\sin \theta - \mu_s \cos \theta), \end{aligned}\]

o anche

(5)   \begin{equation*} \boxed{F \ge \dfrac{mg (\sin \theta - \mu_s \cos \theta)}{\cos \theta + \mu_s \sin \theta}.} \end{equation*}

Ora supponiamo che

(6)   \begin{equation*} F \cos \theta > mg \sin \theta > 0. \end{equation*}

Con considerazioni analoghe al caso precedente, deduciamo che la forza di attrito \vec{f}_s è orientata come in figura 3, ovvero nel verso negativo dell’asse delle x.

 

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Dalla seconda legge della dinamica all’equilibrio, si ha

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} N = mg \cos \theta + F \sin \theta\\ f_s = F \cos \theta - mg \sin \theta . \end{cases} \end{equation*}

Sostituiamo N e f_s (definite nel sistema (7)) nella relazione (4) e otteniamo

    \[\begin{aligned} & F \cos \theta - mg \sin \theta \le (mg \cos \theta + F \sin \theta) \mu_s\quad \Leftrightarrow\quad \\ & \Leftrightarrow\quad F \cos \theta - mg \sin \theta \le mg \mu_s \cos \theta + F \mu_s \sin\theta\quad \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow\quad F (\cos \theta - \mu_s \sin \theta) \le mg (\sin \theta + \mu_s \cos \theta), \end{aligned}\]

ovvero

(8)   \begin{equation*} \boxed{F \le \dfrac{mg (\sin\theta + \mu_s \cos \theta)}{\cos\theta - \mu_s \sin \theta}.} \end{equation*}

Mettendo a sistema la relazione (8) e la relazione (5), si ottiene

(9)   \begin{equation*} \underbrace{\dfrac{mg(\sin \theta - \mu_s \cos \theta)}{\cos \theta + \mu_s \sin \theta}}_{F_{\min}} \le F \le \underbrace{\dfrac{mg(\sin \theta + \mu_s \cos \theta)}{\cos\theta - \mu_s \sin \theta}}_{F_{\max}}. \end{equation*}

Si conclude che il valore minimo e massimo della forza sono rispettivamente

    \[\boxcolorato{fisica}{ F_{\min}= \dfrac{mg(\sin \theta - \mu_s \cos \theta)}{\cos \theta + \mu_s \sin \theta}\qquad \text{e} \qquad F_{\max}=\dfrac{mg(\sin \theta + \mu_s \cos \theta)}{\cos\theta - \mu_s \sin \theta}.}\]