Home » Esercizio leggi della dinamica 13
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Esercizio 13  (\bigstar \bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una massa m_1 è posta sopra una massa m_2. Le due masse sono collegate da una fune inestensibile e di massa trascurabile tramite una carrucola. Una terza massa m_3 è collegata alla massa m_2 da una fune inestensibile e di massa trascurabile tramite una seconda carrucola, come illustrato in figura. Tutte le superfici di contatto sono scabre, con coefficiente di attrito dinamico \mu_d. Calcolare:

  1. il valore del modulo dell’accelerazione di ciascuna delle tre masse;
  2. il modulo della tensione della fune che collega m_1 ad m_2;
  3. il modulo della tensione della fune che collega m_2 ad m_3;
  4. il vettore risultante che agisce sul terreno su cui giace m_2.

Si trascuri l’attrito tra funi e carrucole.

 

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Svolgimento punto 1. Definiamo un sistema di riferimento fisso Oxy come illustrato in figura 1, rispetto al quale costruire il diagramma di corpo libero per ciascuno dei tre corpi del sistema fisico in esame.

 

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Siano m_3g il modulo della forza peso del corpo 3 e F_{max} la forza di attrito statico massima della massa m_2, dalle ipotesi del problema è chiaro che la forza peso m_3g>F_{max}, sicché il sistema entri in movimento. Il corpo m_3 si muoverà nel verso negativo dell’asse delle y, con accelerazione di modulo a_3; il corpo m_2 si muoverà nel verso positivo dell’asse delle x, con accelerazione di modulo a_2; il corpo m_1 si muoverà nel verso negativo dell’asse delle x, con accelerazione di modulo a_1. Sul corpo m_1 lungo l’asse delle x agiscono la forza di attrito dinamico \vec{f}_{a,1} (il verso della forza di attrito dinamico \vec{f}_{a,1} è diretto nel verso positivo dell’asse delle x, in quanto il corpo m_1 si muove nel verso negativo dell’asse delle x) e la tensione della corda \overrightarrow{T}_{1,2} (generata dalla fune che lo collega al corpo m_2). Lungo l’asse delle y agiscono la forza peso m_1\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N}_1. Tutte le forze sono rappresentate in figura 1.
Il corpo m_1 scorre sopra il corpo m_2 nel verso negativo dell’asse delle x, per cui applicando il secondo principio della dinamica al corpo m_1 e proiettando le forze lungo gli assi x e y, si ha

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x:\quad T_{1,2}-f_{a,1}=m_1a_1\\ \quad\\ y:\quad m_1g-N_1=0 \end{cases}. \end{equation*}

Sul corpo m_2 lungo l’asse delle x agiscono la tensione \overrightarrow{T}_{2,1} (generata dalla fune che lo collega al corpo m_2) della corda che lo collega al corpo m_1, la tensione \overrightarrow{T}_{2,3} (generata dalla fune che lo collega al corpo m_3) e la forza di attrito dinamico \vec{f}_{a,2} (il verso della forza di attrito dinamico \vec{f}_{a,2} è diretto nel verso negativo dell’asse delle x, in quanto il corpo m_2 si muove nel verso positivo dell’asse delle x). Inoltre, poiché quando il corpo m_1 si muove sul corpo m_2 si esplica una forza di attrito dinamico \vec{f}_{a,1} agente su m_1, allora per il terzo principio della dinamica esisterà una forza -\vec{f}_{a,1} che agirà su m_2, uguale in modulo e direzione, ma opposta in verso. Lungo l’asse delle y agiscono la forza peso m_2\vec{g} e le reazione vincolari -\vec{N}_1 e \vec{N}_2, quest’ultima a causa del contatto con il terreno, orientate come in figura 1. Analogamente a quanto visto nel caso dell’asse delle x, la presenza della forza -\vec{N}_1 è la conseguenza del terzo principio della dinamica in riferimento al contatto tra le superfici dei corpi 1 e 2.
Il corpo m_2 si muove lungo l’asse positivo delle x, per cui applicando il secondo principio della dinamica e proiettando le forze lungo gli assi x e y, si ha

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} x:\quad T_{2,1}-T_{2,3}-f_{a,1}-f_{a,2}=m_2a_2\\ \quad\\ y:\quad m_2g+N_1-N_2=0 \end{cases}. \end{equation*}

Il corpo m_3 è soggetto alla forza peso m_3\vec{g} e alla tensione \overrightarrow{T}_{3,2} (generata dalla fune che lo collega al corpo m_2), per cui applicando il secondo principio della dinamica e proiettando le forze lungo l’asse delle y, si ha

(3)   \begin{equation*} m_3g-T_{3,2}=m_3a_3. \end{equation*}

Abbiamo ottenuto 6 equazioni (definite nei sistemi (1, (2) e nell’equazione (3), ma con 11 incognite ({T}_{1,2}, {T}_{2,1}, {T}_{2,3}, {T}_{3,2}, {f}_{a,1}, {f}_{a,2}, {N}_{1}, {N}_{2}, a_1, a_2 e a_3). Se il numero delle incognite è inferiore al numero delle equazioni il sistema risulta essere indeterminato, per cui è necessario trovare ulteriori correlazioni tra le varie incognite.
Osserviamo che poiché le due corde sono inestensibili, tese e in movimento, tutti e tre i corpi a cui sono collegate si muoveranno con la medesima accelerazione, cioè

(4)   \begin{equation*} \vert a_1\vert= a_2 =a_3\equiv a. \nonumber \end{equation*}

Inoltre, poiché l’attrito tra le corde e le carrucole è trascurabile significa che il ruolo svolto da quest’ultime è solamente quello di cambiare la direzione ed il verso delle tensioni preservandone il modulo. In virtù di ciò segue che

    \[\begin{aligned} T_{1,2}&=T_{2,1}\equiv T_1;\\ T_{2,3}&=T_{3,2}\equiv T_2. \end{aligned}\]

Alla luce delle osservazioni fatte, il problema si è notevolmente semplificato. Riscriviamo solo le proiezioni x delle equazioni nei sistemi (1), (2) e l’equazione (3), ossia

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} T_1-f_{a,1}=m_1a\\ \quad\\ T_2-T_1-f_{a,1}-f_{a,2}=m_2a\\ \quad\\ m_3g-T_2=m_3a \end{cases}. \end{equation*}

Il sistema ottenuto è stato costruito “ad hoc”: in maniera tale che sommando membro a membro delle tre equazioni le tensioni dei fili si elidessero. Dunque, sommando membro a membro delle tre equazioni del sistema, si ottiene

(6)   \begin{equation*} -2f_{a,1}-f_{a,2}+m_3g=(m_1+m_2+m_3)a\quad \Leftrightarrow\quad a=\dfrac{-2f_{a,1}-f_{a,2}+m_3g}{m_1+m_2+m_3}. \end{equation*}

Dall’equazione (1)_{2} si ha

(7)   \begin{equation*} N_1=m_1g, \end{equation*}

mentre dall’equazione (2)_2, sostituendo il valore di N_1 (ottenuto nell’eq.(7)), si ottiene

(8)   \begin{equation*} N_2=m_2g+N_1=(m_1+m_2)g. \end{equation*}

Per ottenere l’accelerazione a, è necessario calcolare le forze di attrito dinamico f_{a,1} e f_{a,2}, ossia

(9)   \begin{equation*} f_{a,1}=\mu_d N_1=\mu_d m_1 g, \end{equation*}

e

(10)   \begin{equation*} \qquad \quad f_{a,2}=\mu_d N_2=\mu_d(m_1+m_2)g, \end{equation*}

dove abbiamo usato i risultati ottenuti dalle equazioni (7) e (8).
Sostituendo i valori di f_{a,1} e f_{a,2} (appena ottenuti) nella equazione (6) si giunge ad

(11)   \begin{equation*} a=\dfrac{-2\mu_d m_1g-\mu_d(m_1+m_2)g+m_3g}{m_1+m_2+m_3}, \end{equation*}

che riscritta opportunamente diventa

    \[\boxcolorato{fisica}{ a=\dfrac{g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3-\mu_d(m_2+3m_1)\right).}\]

 

Svolgimento punto 2. Nota l’accelerazione a con la quale si muovono i tre corpi, possiamo calcolare il modulo delle due tensioni con una semplice sostituzione.
Da (5)_1 segue che

    \[\begin{aligned} &T_1=m_1a+f_{a,1}=\\ &=\dfrac{m_1g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3-\mu_d(m_2+3m_1)\right)+\mu_dN_1=\\ &=\dfrac{m_1g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3-\mu_d(m_2+3m_1)\right)+\mu_d m_1g =\\ &=m_1g\left(\dfrac{m_3-\mu_d(m_2+3m_1)}{m_1+m_2+m_3}+\mu_d\right)=\\ &=\dfrac{m_1g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3-\mu_dm_2-3\mu_dm_1+\mu_d\left(m_1+m_2+m_3\right)\right), \end{aligned}\]

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ T_1=\dfrac{m_1g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3+\mu_d\left(m_3-2m_1\right)\right).}\]

Si osservi che per calcolare T_1 abbiamo usato il valore di a trovato nel punto 1 e f_{a,1} definita nell’equazione (9).

 

Svolgimento punto 3. Da (5)_3 ricaviamo che

    \[\begin{aligned} T_2&=m_3(g-a)=\\ &=m_3\left(g-\dfrac{g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3-\mu_d\left(m_2+3m_1\right)\right)\right)=\\ &= \dfrac{m_3g}{m_1+m_2+m_3}(m_1+m_2+m_3-m_3+\mu_dm_2+3\mu_dm_1), \end{aligned}\]

o anche

    \[\boxcolorato{fisica}{ T_2=\dfrac{m_3g}{m_1+m_2+m_3}(m_1+m_2+\mu_d(m_2+3m_1)).}\]

Si osservi che per calcolare T_2 abbiamo usato il valore di a trovato nel punto 1.

 

Svolgimento punto 4. Per calcolare il vettore risultante \vec{R}, dato dalla somme delle forze che agiscono sul terreno su cui giace m_2, consideriamo lo schema delle forze in figura 2. Poiché il terreno esplica sul corpo m_2 una reazione vincolare \vec{N}_2 (diretta nel verso positivo dell’asse y) e una forza di attrito dinamico \vec{f}_{a,2} (diretta nel verso negativo dell’asse x), allora per il terzo principio della dinamica, il corpo m_2 a sua volta esplicherà sul terreno le forze -\vec{N}_2 e -\vec{f}_{a,2}.

 

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La forza \vec{R} che agisce sul terreno sarà dunque

(12)   \begin{equation*} \vec{R}=-\vec{f}_{a,2}-\vec{N}_2=f_{a,2}\hat{x}-N_{2}\hat{y}, \end{equation*}

da cui, sostituendo i valori di f_{a,2} ed N_2 (ottenuti nell’equazioni (10) e (8)), si ottiene

    \[\boxcolorato{fisica}{ \vec{R}=(m_1+m_2)g(\mu_d \hat{x}-\hat{y}),}\]

dove \hat{x} ed \hat{y} sono i versori rispettivamente dell’asse x e dell’asse y.

L’angolo che il vettore \vec{R} forma con il terrore è

    \[\boxcolorato{fisica}{\theta=\arctan\left(\dfrac{N_2}{f_{a,2}}\right)=\arctan\left(\dfrac{1}{\mu_d}\right);}\]

inoltre, il modulo di \vec{R} è

    \[\boxcolorato{fisica}{ R=(m_1+m_2)g\sqrt{\mu_d^2+1}.}\]

 

Approfondimento 1.

Nello svolgimento del punto 1) abbiamo utilizzato le proprietà di un filo ideale privo di massa per poter dire che i tre corpi si muovono con la stessa accelerazione in modulo. Possiamo convincerci di questo fatto con una trattazione più rigorosa.
In figura 3 è riportato un sistema di tre corpi di massa m_1,m_2 ed m_3 collegati da un filo ideale e di massa trascurabile. Fissiamo un sistema di riferimento Ox con origine O in corrispondenza dell’estremità alla quale è legato il filo.
Indichiamo con x_{i}(t) la posizione dell’i-esimo corpo all’istante t rispetto all’origine O.

 

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Poiché il filo è inestensibile e teso, le distanze tra i corpi sono costanti. In particolare, detta \ell_{1,2} la distanza tra il corpo 1 e 2 ed \ell_{2,3} la distanza tra il corpo 2 e 3, abbiamo che

(13)   \begin{equation*} \ell_{1,2}\equiv x_{2}(t)-x_{1}(t) \end{equation*}

e

(14)   \begin{equation*} \,\ell_{2,3}\equiv x_{3}(t)-x_{2}(t). \end{equation*}

Derivando due volte rispetto al tempo ambo i membri delle equazioni (13) e (14), si ottiene

(15)   \begin{equation*} \begin{cases} \ddot{\ell}_{12}\equiv\ddot{x}_{2}(t)-\ddot{x}_{1}(t)=0\\ \ddot{\ell}_{23}\equiv\ddot{x}_{3}(t)-\ddot{x}_{2}(t)=0 \end{cases} \quad\Rightarrow \quad \begin{cases} \ddot{x}_{2}(t)=\ddot{x}_{1}(t)\\ \ddot{x}_{3}(t)=\ddot{x}_{2}(t) \end{cases} \quad\Rightarrow \quad \ddot{x}_{3}(t)=\ddot{x}_{2}(t)=\ddot{x}_{1}(t). \end{equation*}

L’equazione (15) in sintesi ci dice che: se consideriamo un filo di massa trascurabile e inestensibile, teso e in movimento. Allora l’ipotesi che il filo sia inestensibile implica che tutti i punti del filo (compresi gli estremi) abbiano la stessa accelerazione. Di conseguenza tutti i corpi in esame: 1, 2 e 3 hanno la medesima accelerazione. Inoltre, il fatto che il filo abbia massa trascurabile implica che il prodotto ma sia nullo per il filo (e per qualsiasi posizione di esso); di conseguenza il valore della tensione del filo durante il moto è lo stesso in qualunque punto del filo, come nel caso statico.
In virtù di ciò, riprendendo l’esempio sopra, segue che

(16)   \begin{equation*} \ddot{x}_{3}(t)=\ddot{x}_{2}(t)=\ddot{x}_{1}(t) \equiv a. \nonumber \end{equation*}

 

Approfondimento 2.

 

Riprendendo l’espressione dell’angolo \theta che il vettore \vec{R} forma con il terreno, studiamo i due casi che seguono.

  • Caso 1. Consideriamo il caso in cui la forza di attrito dinamico è praticamente trascurabile, per cui

    (17)   \begin{equation*} \lim_{\mu_d\longrightarrow 0}\theta=\lim_{\mu_d\longrightarrow 0}\arctan\left(\dfrac{1}{\mu_d}\right)=\dfrac{\pi}{2}. \nonumber \end{equation*}

    Quindi se non ci fosse forza di attrito abbiamo che \vec{R}=-\vec{N}_2 (come è facilmente verificabile dall’eq.(12)).

  • Caso 2. Consideriamo il caso estremo in cui il coefficiente di attrito dinamico \mu_d tende al valore di 1 (è un caso limite, non realistico). In questo caso

    (18)   \begin{equation*} \lim_{\mu_d\longrightarrow 1}\theta=\lim_{\mu_d\longrightarrow 1}\arctan\left(\dfrac{1}{\mu_d}\right)=\dfrac{\pi}{4}. \nonumber \end{equation*}

    Poiché il coefficiente di attrito dinamico \mu_d\in\left(0,1\right) si ha \dfrac{1}{\mu_d}\in\left(1,+\infty\right) e siccome l’arcotangente è una funzione strettamente crescente nel suo dominio di definizione, deduciamo che in generale
    \theta\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right).
    Si osservi che si poteva ragionare a retroso; ovvero, partire del fatto che \theta \in \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right) e ottenere \mu_d \in(0,1), sfruttando la relazione di \theta trovata nel punto d.