Esercizio leggi della dinamica 13

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Esercizio 13 $(\bigstar \bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una massa $m_1$ è posta sopra una massa $m_2$ . Le due masse sono collegate da una fune inestensibile e di massa trascurabile tramite una carrucola. Una terza massa $m_3$ è collegata alla massa $m_2$ da una fune inestensibile e di massa trascurabile tramite una seconda carrucola, come illustrato in figura. Tutte le superfici di contatto sono scabre, con coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$ . Calcolare:

il valore del modulo dell’accelerazione di ciascuna delle tre masse;
il modulo della tensione della fune che collega $m_1$ ad $m_2$ ;
il modulo della tensione della fune che collega $m_2$ ad $m_3$ ;
il vettore risultante che agisce sul terreno su cui giace $m_2$ .

Si trascuri l’attrito tra funi e carrucole.

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Svolgimento punto 1. Definiamo un sistema di riferimento fisso $Oxy$ come illustrato in figura 1, rispetto al quale costruire il diagramma di corpo libero per ciascuno dei tre corpi del sistema fisico in esame.

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Siano $m_3g$ il modulo della forza peso del corpo $3$ e $F_{max}$ la forza di attrito statico massima della massa $m_2$ , dalle ipotesi del problema è chiaro che la forza peso $m_3g>F_{max}$ , sicché il sistema entri in movimento. Il corpo $m_3$ si muoverà nel verso negativo dell’asse delle $y$ , con accelerazione di modulo $a_3$ ; il corpo $m_2$ si muoverà nel verso positivo dell’asse delle $x$ , con accelerazione di modulo $a_2$ ; il corpo $m_1$ si muoverà nel verso negativo dell’asse delle $x$ , con accelerazione di modulo $a_1$ . Sul corpo $m_1$ lungo l’asse delle $x$ agiscono la forza di attrito dinamico $\vec{f}_{a,1}$ (il verso della forza di attrito dinamico $\vec{f}_{a,1}$ è diretto nel verso positivo dell’asse delle $x$ , in quanto il corpo $m_1$ si muove nel verso negativo dell’asse delle $x$ ) e la tensione della corda $\overrightarrow{T}_{1,2}$ (generata dalla fune che lo collega al corpo $m_2$ ). Lungo l’asse delle $y$ agiscono la forza peso $m_1\vec{g}$ e la reazione vincolare $\vec{N}_1$ . Tutte le forze sono rappresentate in figura 1.
Il corpo $m_1$ scorre sopra il corpo $m_2$ nel verso negativo dell’asse delle $x$ , per cui applicando il secondo principio della dinamica al corpo $m_1$ e proiettando le forze lungo gli assi $x$ e $y$ , si ha

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} x:\quad T_{1,2}-f_{a,1}=m_1a_1\\ \quad\\ y:\quad m_1g-N_1=0 \end{cases}. \end{equation*}$

Sul corpo $m_2$ lungo l’asse delle $x$ agiscono la tensione $\overrightarrow{T}_{2,1}$ (generata dalla fune che lo collega al corpo $m_2$ ) della corda che lo collega al corpo $m_1$ , la tensione $\overrightarrow{T}_{2,3}$ (generata dalla fune che lo collega al corpo $m_3$ ) e la forza di attrito dinamico $\vec{f}_{a,2}$ (il verso della forza di attrito dinamico $\vec{f}_{a,2}$ è diretto nel verso negativo dell’asse delle $x$ , in quanto il corpo $m_2$ si muove nel verso positivo dell’asse delle $x$ ). Inoltre, poiché quando il corpo $m_1$ si muove sul corpo $m_2$ si esplica una forza di attrito dinamico $\vec{f}_{a,1}$ agente su $m_1$ , allora per il terzo principio della dinamica esisterà una forza $-\vec{f}_{a,1}$ che agirà su $m_2$ , uguale in modulo e direzione, ma opposta in verso. Lungo l’asse delle $y$ agiscono la forza peso $m_2\vec{g}$ e le reazione vincolari $-\vec{N}_1$ e $\vec{N}_2$ , quest’ultima a causa del contatto con il terreno, orientate come in figura 1. Analogamente a quanto visto nel caso dell’asse delle $x$ , la presenza della forza $-\vec{N}_1$ è la conseguenza del terzo principio della dinamica in riferimento al contatto tra le superfici dei corpi $1$ e $2$ .
Il corpo $m_2$ si muove lungo l’asse positivo delle $x$ , per cui applicando il secondo principio della dinamica e proiettando le forze lungo gli assi $x$ e $y$ , si ha

(2) $\begin{equation*} \begin{cases} x:\quad T_{2,1}-T_{2,3}-f_{a,1}-f_{a,2}=m_2a_2\\ \quad\\ y:\quad m_2g+N_1-N_2=0 \end{cases}. \end{equation*}$

Il corpo $m_3$ è soggetto alla forza peso $m_3\vec{g}$ e alla tensione $\overrightarrow{T}_{3,2}$ (generata dalla fune che lo collega al corpo $m_2$ ), per cui applicando il secondo principio della dinamica e proiettando le forze lungo l’asse delle $y$ , si ha

(3) $\begin{equation*} m_3g-T_{3,2}=m_3a_3. \end{equation*}$

Abbiamo ottenuto 6 equazioni (definite nei sistemi (1, (2) e nell’equazione (3), ma con 11 incognite ( ${T}_{1,2}$ , ${T}_{2,1}$ , ${T}_{2,3}$ , ${T}_{3,2}$ , ${f}_{a,1}$ , ${f}_{a,2}$ , ${N}_{1}$ , ${N}_{2}$ , $a_1$ , $a_2$ e $a_3$ ). Se il numero delle incognite è inferiore al numero delle equazioni il sistema risulta essere indeterminato, per cui è necessario trovare ulteriori correlazioni tra le varie incognite.
Osserviamo che poiché le due corde sono inestensibili, tese e in movimento, tutti e tre i corpi a cui sono collegate si muoveranno con la medesima accelerazione, cioè

(4) $\begin{equation*} \vert a_1\vert= a_2 =a_3\equiv a. \nonumber \end{equation*}$

Inoltre, poiché l’attrito tra le corde e le carrucole è trascurabile significa che il ruolo svolto da quest’ultime è solamente quello di cambiare la direzione ed il verso delle tensioni preservandone il modulo. In virtù di ciò segue che

$\begin{aligned} T_{1,2}&=T_{2,1}\equiv T_1;\\ T_{2,3}&=T_{3,2}\equiv T_2. \end{aligned}$

Alla luce delle osservazioni fatte, il problema si è notevolmente semplificato. Riscriviamo solo le proiezioni $x$ delle equazioni nei sistemi (1), (2) e l’equazione (3), ossia

(5) $\begin{equation*} \begin{cases} T_1-f_{a,1}=m_1a\\ \quad\\ T_2-T_1-f_{a,1}-f_{a,2}=m_2a\\ \quad\\ m_3g-T_2=m_3a \end{cases}. \end{equation*}$

Il sistema ottenuto è stato costruito “ad hoc”: sommando membro a membro le tre equazioni, le tensioni dei fili si elidono. Dunque, sommando membro a membro delle tre equazioni del sistema, si ottiene

(6) $\begin{equation*} -2f_{a,1}-f_{a,2}+m_3g=(m_1+m_2+m_3)a\quad \Leftrightarrow\quad a=\dfrac{-2f_{a,1}-f_{a,2}+m_3g}{m_1+m_2+m_3}. \end{equation*}$

Dall’equazione (1) $_{2}$ si ha

(7) $\begin{equation*} N_1=m_1g, \end{equation*}$

mentre dall’equazione (2) $_2$ , sostituendo il valore di $N_1$ (ottenuto nell’eq.(7)), si ottiene

(8) $\begin{equation*} N_2=m_2g+N_1=(m_1+m_2)g. \end{equation*}$

Per ottenere l’accelerazione $a$ , è necessario calcolare le forze di attrito dinamico $f_{a,1}$ e $f_{a,2}$ , ossia

(9) $\begin{equation*} f_{a,1}=\mu_d N_1=\mu_d m_1 g, \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} \qquad \quad f_{a,2}=\mu_d N_2=\mu_d(m_1+m_2)g, \end{equation*}$

dove abbiamo usato i risultati ottenuti dalle equazioni (7) e (8).
Sostituendo i valori di $f_{a,1}$ e $f_{a,2}$ (appena ottenuti) nella equazione (6) si giunge ad

(11) $\begin{equation*} a=\dfrac{-2\mu_d m_1g-\mu_d(m_1+m_2)g+m_3g}{m_1+m_2+m_3}, \end{equation*}$

che riscritta opportunamente diventa

$\boxcolorato{fisica}{ a=\dfrac{g\left(m_3-\mu_d(m_2+3m_1)\right)}{m_1+m_2+m_3}.}$

Svolgimento punto 2. Nota l’accelerazione $a$ con la quale si muovono i tre corpi, possiamo calcolare il modulo delle due tensioni con una semplice sostituzione.
Da (5) $_1$ segue che

$\begin{aligned} &T_1=m_1a+f_{a,1}=\\ &=\dfrac{m_1g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3-\mu_d(m_2+3m_1)\right)+\mu_dN_1=\\ &=\dfrac{m_1g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3-\mu_d(m_2+3m_1)\right)+\mu_d m_1g =\\ &=m_1g\left(\dfrac{m_3-\mu_d(m_2+3m_1)}{m_1+m_2+m_3}+\mu_d\right)=\\ &=\dfrac{m_1g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3-\mu_dm_2-3\mu_dm_1+\mu_d\left(m_1+m_2+m_3\right)\right), \end{aligned}$

da cui

$\boxcolorato{fisica}{ T_1=\dfrac{m_1g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3+\mu_d\left(m_3-2m_1\right)\right).}$

Si osservi che per calcolare $T_1$ abbiamo usato il valore di $a$ trovato nel punto $1$ e $f_{a,1}$ definita nell’equazione (9).

Svolgimento punto 3. Da (5) $_3$ ricaviamo che

$\begin{aligned} T_2&=m_3(g-a)=\\ &=m_3\left(g-\dfrac{g}{m_1+m_2+m_3}\left(m_3-\mu_d\left(m_2+3m_1\right)\right)\right)=\\ &= \dfrac{m_3g}{m_1+m_2+m_3}(m_1+m_2+m_3-m_3+\mu_dm_2+3\mu_dm_1), \end{aligned}$

o anche

$\boxcolorato{fisica}{ T_2=\dfrac{m_3g}{m_1+m_2+m_3}(m_1+m_2+\mu_d(m_2+3m_1)).}$

Si osservi che per calcolare $T_2$ abbiamo usato il valore di $a$ trovato nel punto $1$ .

Svolgimento punto 4. Per calcolare il vettore risultante $\vec{R}$ , dato dalla somme delle forze che agiscono sul terreno su cui giace $m_2$ , consideriamo lo schema delle forze in figura 2. Poiché il terreno esplica sul corpo $m_2$ una reazione vincolare $\vec{N}_2$ (diretta nel verso positivo dell’asse $y$ ) e una forza di attrito dinamico $\vec{f}_{a,2}$ (diretta nel verso negativo dell’asse $x$ ), allora per il terzo principio della dinamica, il corpo $m_2$ a sua volta esplicherà sul terreno le forze $-\vec{N}_2$ e $-\vec{f}_{a,2}$ .

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La forza $\vec{R}$ che agisce sul terreno sarà dunque

(12) $\begin{equation*} \vec{R}=-\vec{f}_{a,2}-\vec{N}_2=f_{a,2}\hat{x}-N_{2}\hat{y}, \end{equation*}$

da cui, sostituendo i valori di $f_{a,2}$ ed $N_2$ (ottenuti nell’equazioni (10) e (8)), si ottiene

$\boxcolorato{fisica}{ \vec{R}=(m_1+m_2)g(\mu_d \hat{x}-\hat{y}),}$

dove $\hat{x}$ ed $\hat{y}$ sono i versori rispettivamente dell’asse $x$ e dell’asse $y$ .

L’angolo che il vettore $\vec{R}$ forma con il terrore è

$\boxcolorato{fisica}{\theta=\arctan\left(\dfrac{N_2}{f_{a,2}}\right)=\arctan\left(\dfrac{1}{\mu_d}\right);}$

inoltre, il modulo di $\vec{R}$ è

$\boxcolorato{fisica}{ R=(m_1+m_2)g\sqrt{\mu_d^2+1}.}$

Approfondimento 1.

Nello svolgimento del punto 1) abbiamo utilizzato le proprietà di un filo ideale privo di massa per poter dire che i tre corpi si muovono con la stessa accelerazione in modulo. Possiamo convincerci di questo fatto con una trattazione più rigorosa.
In figura 3 è riportato un sistema di tre corpi di massa $m_1,m_2$ ed $m_3$ collegati da un filo ideale e di massa trascurabile. Fissiamo un sistema di riferimento $Ox$ con origine $O$ in corrispondenza dell’estremità alla quale è legato il filo.
Indichiamo con $x_{i}(t)$ la posizione dell’i-esimo corpo all’istante $t$ rispetto all’origine $O$ .

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Poiché il filo è inestensibile e teso, le distanze tra i corpi sono costanti. In particolare, detta $\ell_{1,2}$ la distanza tra il corpo 1 e 2 ed $\ell_{2,3}$ la distanza tra il corpo 2 e 3, abbiamo che

(13) $\begin{equation*} \ell_{1,2}\equiv x_{2}(t)-x_{1}(t) \end{equation*}$

(14) $\begin{equation*} \,\ell_{2,3}\equiv x_{3}(t)-x_{2}(t). \end{equation*}$

Derivando due volte rispetto al tempo ambo i membri delle equazioni (13) e (14), si ottiene

(15) $\begin{equation*} \begin{cases} \ddot{\ell}_{12}\equiv\ddot{x}_{2}(t)-\ddot{x}_{1}(t)=0\\ \ddot{\ell}_{23}\equiv\ddot{x}_{3}(t)-\ddot{x}_{2}(t)=0 \end{cases} \quad\Rightarrow \quad \begin{cases} \ddot{x}_{2}(t)=\ddot{x}_{1}(t)\\ \ddot{x}_{3}(t)=\ddot{x}_{2}(t) \end{cases} \quad\Rightarrow \quad \ddot{x}_{3}(t)=\ddot{x}_{2}(t)=\ddot{x}_{1}(t). \end{equation*}$

L’equazione (15) in sintesi ci dice che: se consideriamo un filo di massa trascurabile e inestensibile, teso e in movimento, allora l’ipotesi che il filo sia inestensibile implica che tutti i punti del filo (compresi gli estremi) abbiano la stessa accelerazione. Di conseguenza tutti i corpi in esame: $1$ , $2$ e $3$ hanno la medesima accelerazione. Inoltre, il fatto che il filo abbia massa trascurabile implica che il prodotto $ma$ sia nullo per il filo (e per qualsiasi posizione di esso) e quindi la risultante delle forze sul filo è nulla; di conseguenza il valore della tensione del filo durante il moto è lo stesso in qualunque punto del filo, come nel caso statico.
In virtù di ciò, riprendendo l’esempio sopra, segue che

(16) $\begin{equation*} \ddot{x}_{3}(t)=\ddot{x}_{2}(t)=\ddot{x}_{1}(t) \equiv a. \nonumber \end{equation*}$

Approfondimento 2.

Riprendendo l’espressione dell’angolo $\theta$ che il vettore $\vec{R}$ forma con il terreno, studiamo i due casi che seguono.

Caso 1. Consideriamo il caso in cui la forza di attrito dinamico è praticamente trascurabile, per cui
(17) $\begin{equation*} \lim_{\mu_d\longrightarrow 0}\theta=\lim_{\mu_d\longrightarrow 0}\arctan\left(\dfrac{1}{\mu_d}\right)=\dfrac{\pi}{2}. \nonumber \end{equation*}$

Quindi se non ci fosse forza di attrito abbiamo che $\vec{R}=-\vec{N}_2$ (come è facilmente verificabile dall’eq.(12)).
Caso 2. Consideriamo il caso estremo in cui il coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$ tende al valore di 1 (è un caso limite, non realistico). In questo caso
(18) $\begin{equation*} \lim_{\mu_d\longrightarrow 1}\theta=\lim_{\mu_d\longrightarrow 1}\arctan\left(\dfrac{1}{\mu_d}\right)=\dfrac{\pi}{4}. \nonumber \end{equation*}$

Poiché il coefficiente di attrito dinamico $\mu_d\in\left(0,1\right)$ si ha $\dfrac{1}{\mu_d}\in\left(1,+\infty\right)$ e siccome l’arcotangente è una funzione strettamente crescente nel suo dominio di definizione, deduciamo che in generale
$\theta\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right).$
Si osservi che si poteva ragionare a retroso; ovvero, partire del fatto che $\theta \in \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)$ e ottenere $\mu_d \in(0,1)$ , sfruttando la relazione di $\theta$ trovata nel punto $d$ .

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22/08/2023

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