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Esercizio 21  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Due punti materiali 1 e 2, ciascuno di massa m, sono vincolati a scorrere senza attrito lungo due binari in un piano orizzontale che formano tra di loro un angolo fisso 2\theta e che giacciono su un piano orizzontale. I due punti materiali sono connessi da una molla ideale, di lunghezza a riposo nulla, di costante elastica k, e di massa trascurabile. Le due masse si muovono in modo da mantenere le rispettive distanze dal punto di giunzione dei due binari uguali tra loro. Calcolare:

  1. Il modulo della forza esercitata dalla molla su ciascuna massa quando le masse distano \ell dal punto in comune dei due binari;
  2. il periodo del moto quando le masse vengono messe ad una distanza generica x^\prime dal punto di intersezione delle due guide.

Si trascuri ogni forma di attrito e supporre che quando i due punti si urtino nel punto di intersezione delle due guide non ci sia dissipazione di energia. In altri termini, supporre che il moto sia periodico anche se sussiste un urto nella posizione di equilibrio x^\prime=0, ovvero quando i due punti materiali si incontrano nel punto di intersezione tra le due guide.

 

 

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Svolgimento. Punto 1.  Per risolvere il problema scegliamo due sistemi di riferimento fissi O^{\prime}x^{\prime}y^{\prime} e O^{\prime\prime} x^{\prime\prime} y^{\prime\prime}, tali che gli assi x^{\prime} e x^{\prime\prime} giacciano lungo i due binari, e con O^{\prime} e O^{\prime\prime} coincidenti con i punti materiali di massa m nell’istante iniziale, come mostra la figura 2.

 

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Chiamiamo x la lunghezza della molla, come mostra la figura 2. Sul punto materiale 1 agisce la reazione vincolare \vec{N}_1 e la forza della molla \vec{F}_{\text{el}}. Sul punto materiale 2 agisce la reazione vincolare \vec{N}_2 e la forza della molla -\vec{F}_{\text{el}}. Si osservi che abbiamo considerato solo le forze presenti sul piano orizzontale; la forze peso e la reazioni vincolari di entrambi i corpi sono perpendicolari al piano sul quale giacciono i punti materiali, ma non è necessario considerale ai fini della risoluzione del problema. Facendo riferimento alla figura 1, è possibile esprimere la lunghezza della molla x in funzione dell’angolo \theta; dalla geometria del problema risulta infatti

(1)   \begin{equation*} \dfrac{x}{2}=\ell\sin \theta \quad\Rightarrow\quad x=2\ell \sin \theta, \end{equation*}

da cui, sfruttando la legge di Hooke, concludiamo

    \[\boxcolorato{fisica}{{F}_{\text{el}}=kx =2k\ell \sin \theta.}\]

Siccome la molla è ideale e di massa trascurabile entrambi i corpi sono soggetti a una forza di modulo F_{\text{el}}, stessa direzione, ma verso opposto, come si può dedurre dalla figura 2.

 

Punto 2.  Vista la natura simmetrica del problema, è possibile risolvere il problema analizzando il moto di uno solo dei due punti materiali lungo il binario su cui scorre e asserire che il punto materiale non considerato sia sottoposto simmetricamente alle stessi leggi fisiche.
Analizziamo solo il punto materiale 1 e chiamiamo la sua posizione lungo il binario x^{\prime }, nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime. Per la seconda legge della dinamica, si ha

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} N_2-F_{\text{el}}\cos \theta=0\\ -F_{\text{el}}=m\ddot{x^{\,\prime}}, \end{cases} \end{equation*}

o anche

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} N_2-kx\cos \theta=0\\ -kx\sin\theta=m\ddot{x^{\,\prime}}, \end{cases} \end{equation*}

conseguentemente

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} N_2-kx\cos \theta=0\\[10pt] \ddot{x^{\,\prime}}+\dfrac{k}{m}x\sin\theta=0, \end{cases} \end{equation*}

dove x è la lunghezza della molla definita nel punto precedente e \ddot{x^{\,\prime}} è l’accelerazione del punto materiale 1 nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime. Consideriamo la figura 3.

 

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Dalla figura 3, si deduce che

(5)   \begin{equation*} \dfrac{x}{2}=x^\prime \sin \theta , \end{equation*}

da cui, derivando ambo i membri, si ottiene

(6)   \begin{equation*} \dfrac{ \dot{x}}{2}=\dot{x^\prime} \sin \theta , \end{equation*}

di nuovo, derivando ambo i membri, otteniamo

(7)   \begin{equation*} \dfrac{ \ddot{x}}{2}=\ddot{x^\prime} \sin \theta , \end{equation*}

e quindi abbiamo

(8)   \begin{equation*} \ddot{x^\prime}=\dfrac{\ddot{x}}{ 2\sin \theta}. \end{equation*}

Mettendo a sistema le equazioni (4)_2 e (8), otteniamo

(9)   \begin{equation*} \dfrac{\ddot{x}}{ 2\sin \theta}+\dfrac{k}{m}x\sin\theta=0, \end{equation*}

oppure

(10)   \begin{equation*} {\ddot{x}}+\dfrac{2k}{m}x\sin^2\theta=0. \end{equation*}

L’equazione (10) è la condizione necessaria e sufficiente affinché un moto sia armonico semplice, pertanto deduciamo che la pulsazione è

(11)   \begin{equation*} \omega^2=\dfrac{2k}{m}\sin^2\theta. \end{equation*}

Per il calcolo del periodo dobbiamo prestare molta attenzione alla fisica del problema. Consideriamo, ad esempio, il caso massa-molla che in x=0 (posizione di equilibrio) presenta una parete verticale con cui la massa urta elasticamente. Poiché non è libera di andare nelle x negative, il periodo si dimezza, nell’ipotesi che l’urto sia elastico chiaramente. Qui il caso è analogo, dato che i due punti materiali una volta che si urtano nel punto in comune delle due guide tornano indietro e non proseguono oltre il punto in comune delle guide. Pertanto abbiamo

    \[\boxcolorato{fisica}{T=\dfrac{2\pi}{2\sin \theta} \sqrt{\dfrac{m}{2k}}=\dfrac{\pi}{\sin \theta} \sqrt{\dfrac{m}{2k}}.}\]