Esercizio leggi della dinamica 53

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Esercizio 53 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un corpo di massa $m$ è vincolato a muoversi lungo una retta ed è soggetto all’azione di una forza $\vec{F}$ costante in modulo, direzione e verso, nell’intervallo di tempo da $t=0$ a $t=t_1$ . Successivamente la forza decresce linearmente nel tempo (come illustrato in figura 1), annullandosi all’istante $t_2>t_1$ . Si richiede di calcolare le velocità del corpo agli istanti $t_1$ e $t_2$ assumendo che al tempo $t=0$ la sua velocità sia nulla.

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Svolgimento. Nell’intervallo di tempo $[0,t_1]$ il corpo di massa $m$ subisce l’azione di una forza costante di modulo $\vert\vec{F}\vert \coloneqq F$ . Pertanto esso si muoverà di moto uniformemente accelerato, con accelerazione $a$ data dal secondo principio della dinamica, ossia

(1) $\begin{equation*} a=\dfrac{F}{m}. \end{equation*}$

Quindi ad un generico istante $0\leq t\leq t_1$ , il corpo di massa $m$ avrà una velocità data

(2) $\begin{equation*} v(t)=v(t=0)+at=at, \end{equation*}$

dove abbiamo posto $v(t=0)=0$ essendo il corpo inizialmente in quiete.
Mettendo a sistema l’equazione (1) con l’equazione (2) si ottiene

(3) $\begin{equation*} \boxed{ v(t)=\dfrac{F}{m}t,\quad\text{per $t\in[0,t_1]$}.} \end{equation*}$

Dall’equazione (3) segue quindi che in corrispondenza dell’istante $t_1$ il corpo di massa $m$ avrà velocità pari a

$\boxcolorato{fisica}{ v(t_1)=\dfrac{F}{m}t_1.}$

A partire dall’istante $t_1$ la forza agente sul corpo $m$ decresce linearmente fino ad annullarsi all’istante di tempo $t_2>t_1$ .
Per calcolare la velocità del punto $m$ in corrispondenza di $t_2$ è necessario conoscere l’espressione di $v(t)$ nell’intervallo $(t_1,t_2]$ .
Utilizzando il secondo principio della dinamica, sappiamo che

(4) $\begin{equation*} F(t)=m\dfrac{d}{dt}v(t)\quad\text{per $t\in(t_1,t_2]$}. \end{equation*}$

Per risolvere l’equazione (4) è necessario esplicitare la scrittura analitica della forza $F$ rispetto al tempo $t$ , ossia $F(t)$ nell’intervallo $t\in(t_1,t_2]$ . Nell’intervallo $(t_1,t_2]$ la forza $F(t)$ è descritta da una retta con coefficiente angolare negativo, passante per i punti $(t_1, F(t_1))$ e $(t_2,0)$ , come illustrato in figura 1. Quindi l’espressione di $F(t)$ è data da[1].

(5) $\begin{equation*} \dfrac{F(t)-F(t_1)}{0-F(t_1)}=\dfrac{t-t_1}{t_2-t_1}. \end{equation*}$

Osservando che all’istante di tempo $t_1$ si ha $F(t_1)=F$ (come si evince dalla figura 1), l’equazione (5) diventa

(6) $\begin{equation*} \begin{aligned} & \dfrac{F(t)-F}{-F}=\dfrac{t-t_1}{t_2-t_1}\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad F(t)-F=-F\dfrac{t-t_1}{t_2-t_1}\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad F(t)=F\left(1-\dfrac{t-t_1}{t_2-t_1}\right)\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad F(t)=F\left(\dfrac{t_2-t_1-t+t_1}{t_2-t_1}\right), \end{aligned} \end{equation*}$

da cui otteniamo che

(7) $\begin{equation*} \boxed{ F(t)=-\dfrac{F}{t_2-t_1}(t-t_2),\quad\text{per $t\in(t_1,t_2]$}.} \end{equation*}$

Sostituendo l’espressione di $F(t)$ data dall’equazione (7) nell’equazione (4) si trova che

(8) $\begin{equation*} m\dfrac{d}{dt}v(t)=-\dfrac{F}{t_2-t_1}(t-t_2). \end{equation*}$

L’equazione (8) può essere riscritta come

(9) $\begin{equation*} m\,dv=-\dfrac{F}{t_2-t_1}(t-t_2)\,dt, \end{equation*}$

ed integrando ambo i membri, si ottiene

(10) $\begin{equation*} \int mdv=\int\left(-\dfrac{F}{t_2-t_1}(t-t_2)dt\right)\quad\Leftrightarrow\quad m\int dv=-\dfrac{F}{t_2-t_1}\int (t-t_2)dt, \end{equation*}$

da cui

(11) $\begin{equation*} mv(t)=-\dfrac{F}{t_2-t_1}\dfrac{(t-t_2)^2}{2}+c', \end{equation*}$

con $c'$ una costante di integrazione.
Dunque nell’intervallo di tempo $t\in(t_1,t_2]$ , il corpo $m$ avrà una velocità pari a

(12) $\begin{equation*} v(t)=-\dfrac{F}{2m}\dfrac{(t-t_2)^2}{(t_2-t_1)}+c, \end{equation*}$

dove abbiamo ridefinito la costante di integrazione come $c\equiv c'/m$ .
Dal grafico in figura 1 deduciamo che la funzione $F$ è continua in $t=t_1$ e dato che $v(t)$ dipende da $F$ come si può dedurre dall’equazione (3) e dall’equazione (12) è continua anche $v(t)$ per $t=t_1$ . Imponiamo la condizione di continuità in $t=t_1$ per $v(t)$ , cioè

(13) $\begin{equation*} \lim_{t\to t^-_1 }v(t)=\lim_{t\to t^+_1 }v(t)=v(t_1), \end{equation*}$

conseguentemente dall’equazione (3) e dall’equazione (12) si ha

(14) $\begin{equation*} \dfrac{F}{m}t_1=\dfrac{F}{2m}(t_1-t_2)+c\quad\Leftrightarrow\quad c=\dfrac{F}{m}\left(t_1-\dfrac{t_1-t_2}{2}\right)\quad\Leftrightarrow\quad c= \dfrac{F}{2m}(t_1+t_2). \end{equation*}$

Nota la costante di integrazione, la velocità del corpo $m$ nell’intervallo di tempo $(t_1,t_2]$ è data da

(15) $\begin{equation*} \boxed{ v(t)=-\dfrac{F}{2m}\dfrac{(t-t_2)^2}{(t_2-t_1)}+\dfrac{F}{2m}(t_1+t_2),\quad\text{per $t\in(t_1,t_2]$}.} \end{equation*}$

Quindi all’istante di tempo $t=t_2$ il corpo $m$ avrà una velocità pari a

$\boxcolorato{fisica}{ v(t_2)=\dfrac{F}{2m}(t_1+t_2).}$

1. Si ricordi che l’equazione di una retta passante per i punti $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ è data da $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$ . ↩