Esercizio 53 . Un corpo di massa
è vincolato a muoversi lungo una retta ed è soggetto all’azione di una forza
costante in modulo, direzione e verso, nell’intervallo di tempo da
a
. Successivamente la forza decresce linearmente nel tempo (come illustrato in figura 1), annullandosi all’istante
. Si richiede di calcolare le velocità del corpo agli istanti
e
assumendo che al tempo
la sua velocità sia nulla.
Svolgimento. Nell’intervallo di tempo il corpo di massa
subisce l’azione di una forza costante di modulo
. Pertanto esso si muoverà di moto uniformemente accelerato, con accelerazione
data dal secondo principio della dinamica, ossia
(1)
Quindi ad un generico istante , il corpo di massa
avrà una velocità data
(2)
dove abbiamo posto essendo il corpo inizialmente in quiete.
Mettendo a sistema l’equazione (1) con l’equazione (2) si ottiene
(3)
Dall’equazione (3) segue quindi che in corrispondenza dell’istante il corpo di massa
avrà velocità pari a
A partire dall’istante la forza agente sul corpo
decresce linearmente fino ad annullarsi all’istante di tempo
.
Per calcolare la velocità del punto in corrispondenza di
è necessario conoscere l’espressione di
nell’intervallo
.
Utilizzando il secondo principio della dinamica, sappiamo che
(4)
Per risolvere l’equazione (4) è necessario esplicitare la scrittura analitica della forza rispetto al tempo
, ossia
nell’intervallo
. Nell’intervallo
la forza
è descritta da una retta con coefficiente angolare negativo, passante per i punti
e
, come illustrato in figura 1. Quindi l’espressione di
è data da[1].
(5)
Osservando che all’istante di tempo si ha
(come si evince dalla figura 1), l’equazione (5) diventa
(6)
(7)
Sostituendo l’espressione di data dall’equazione (7) nell’equazione (4) si trova che
(8)
L’equazione (8) può essere riscritta come
(9)
ed integrando ambo i membri, si ottiene
(10)
da cui
(11)
con una costante di integrazione.
Dunque nell’intervallo di tempo , il corpo
avrà una velocità pari a
(12)
dove abbiamo ridefinito la costante di integrazione come .
Dal grafico in figura 1 deduciamo che la funzione è continua in
e dato che
dipende da
come si può dedurre dall’equazione (3) e dall’equazione (12) è continua anche
per
. Imponiamo la condizione di continuità in
per
, cioè
(13)
conseguentemente dall’equazione (3) e dall’equazione (12) si ha
(14)
Nota la costante di integrazione, la velocità del corpo nell’intervallo di tempo
è data da
(15)
Quindi all’istante di tempo il corpo
avrà una velocità pari a
1. Si ricordi che l’equazione di una retta passante per i punti e
è data da
. ↩