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Esercizio 53  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m è vincolato a muoversi lungo una retta ed è soggetto all’azione di una forza \vec{F} costante in modulo, direzione e verso, nell’intervallo di tempo da t=0 a t=t_1. Successivamente la forza decresce linearmente nel tempo (come illustrato in figura 1), annullandosi all’istante t_2>t_1. Si richiede di calcolare le velocità del corpo agli istanti t_1 e t_2 assumendo che al tempo t=0 la sua velocità sia nulla.

 

 

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Svolgimento.

Nell’intervallo di tempo [0,t_1] il corpo di massa m subisce l’azione di una forza costante di modulo \vert\vec{F}\vert \coloneqq F. Pertanto esso si muoverà di moto uniformemente accelerato, con accelerazione a data dal secondo principio della dinamica, ossia

(1)   \begin{equation*} a=\dfrac{F}{m}. \end{equation*}

Quindi ad un generico istante 0\leq t\leq t_1, il corpo di massa m avrà una velocità data

(2)   \begin{equation*} v(t)=v(t=0)+at=at, \end{equation*}

dove abbiamo posto v(t=0)=0 essendo il corpo inizialmente in quiete. Mettendo a sistema l’equazione (1) con l’equazione (2) si ottiene

(3)   \begin{equation*} \boxed{ v(t)=\dfrac{F}{m}t,\quad\text{per $t\in[0,t_1]$}.} \end{equation*}

Dall’equazione (3) segue quindi che in corrispondenza dell’istante t_1 il corpo di massa m avrà velocità pari a

    \[\boxcolorato{fisica}{ v(t_1)=\dfrac{F}{m}t_1.}\]

A partire dall’istante t_1 la forza agente sul corpo m decresce linearmente fino ad annullarsi all’istante di tempo t_2>t_1. Per calcolare la velocità del punto m in corrispondenza di t_2 è necessario conoscere l’espressione di v(t) nell’intervallo (t_1,t_2]. Utilizzando il secondo principio della dinamica, sappiamo che

(4)   \begin{equation*} F(t)=m\dfrac{d}{dt}v(t)\quad\text{per $t\in(t_1,t_2]$}. \end{equation*}

Per risolvere l’equazione (4) è necessario esplicitare la scrittura analitica della forza F rispetto al tempo t, ossia F(t) nell’intervallo t\in(t_1,t_2]. Nell’intervallo (t_1,t_2] la forza F(t) è descritta da una retta con coefficiente angolare negativo, passante per i punti (t_1, F(t_1)) e (t_2,0), come illustrato in figura 1. Quindi l’espressione di F(t) è data da[1].

(5)   \begin{equation*} \dfrac{F(t)-F(t_1)}{0-F(t_1)}=\dfrac{t-t_1}{t_2-t_1}. \end{equation*}

Osservando che all’istante di tempo t_1 si ha F(t_1)=F (come si evince dalla figura 1), l’equazione (5) diventa

(6)   \begin{equation*} \begin{aligned} & \dfrac{F(t)-F}{-F}=\dfrac{t-t_1}{t_2-t_1}\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad F(t)-F=-F\dfrac{t-t_1}{t_2-t_1}\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad F(t)=F\left(1-\dfrac{t-t_1}{t_2-t_1}\right)\quad\Leftrightarrow\quad\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad F(t)=F\left(\dfrac{t_2-t_1-t+t_1}{t_2-t_1}\right), \end{aligned} \end{equation*}

da cui otteniamo che

(7)   \begin{equation*} \boxed{ F(t)=-\dfrac{F}{t_2-t_1}(t-t_2),\quad\text{per $t\in(t_1,t_2]$}.} \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di F(t) data dall’equazione (7) nell’equazione (4) si trova che

(8)   \begin{equation*} m\dfrac{d}{dt}v(t)=-\dfrac{F}{t_2-t_1}(t-t_2). \end{equation*}

L’equazione (8) può essere riscritta come

(9)   \begin{equation*} m\,dv=-\dfrac{F}{t_2-t_1}(t-t_2)\,dt, \end{equation*}

ed integrando ambo i membri, si ottiene

(10)   \begin{equation*} \int mdv=\int\left(-\dfrac{F}{t_2-t_1}(t-t_2)dt\right)\quad\Leftrightarrow\quad m\int dv=-\dfrac{F}{t_2-t_1}\int (t-t_2)dt, \end{equation*}

da cui

(11)   \begin{equation*} mv(t)=-\dfrac{F}{t_2-t_1}\dfrac{(t-t_2)^2}{2}+c', \end{equation*}

con c' una costante di integrazione. Dunque nell’intervallo di tempo t\in(t_1,t_2], il corpo m avrà una velocità pari a

(12)   \begin{equation*} v(t)=-\dfrac{F}{2m}\dfrac{(t-t_2)^2}{(t_2-t_1)}+c, \end{equation*}

dove abbiamo ridefinito la costante di integrazione come c\equiv c'/m. Dal grafico in figura 1 deduciamo che la funzione F è continua in t=t_1 e dato che v(t) dipende da F come si può dedurre dall’equazione (3) e dall’equazione (12) è continua anche v(t) per t=t_1. Imponiamo la condizione di continuità in t=t_1 per v(t), cioè

(13)   \begin{equation*} \lim_{t\to t^-_1 }v(t)=\lim_{t\to t^+_1 }v(t)=v(t_1), \end{equation*}

conseguentemente dall’equazione (3) e dall’equazione (12) si ha

(14)   \begin{equation*} \dfrac{F}{m}t_1=\dfrac{F}{2m}(t_1-t_2)+c\quad\Leftrightarrow\quad c=\dfrac{F}{m}\left(t_1-\dfrac{t_1-t_2}{2}\right)\quad\Leftrightarrow\quad c= \dfrac{F}{2m}(t_1+t_2). \end{equation*}

Nota la costante di integrazione, la velocità del corpo m nell’intervallo di tempo (t_1,t_2] è data da

(15)   \begin{equation*} \boxed{ v(t)=-\dfrac{F}{2m}\dfrac{(t-t_2)^2}{(t_2-t_1)}+\dfrac{F}{2m}(t_1+t_2),\quad\text{per $t\in(t_1,t_2]$}.} \end{equation*}

Quindi all’istante di tempo t=t_2 il corpo m avrà una velocità pari a

    \[\boxcolorato{fisica}{ v(t_2)=\dfrac{F}{2m}(t_1+t_2).}\]

 

 

1. Si ricordi che l’equazione di una retta passante per i punti (x_1,y_1) e (x_2,y_2) è data da \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}.

 

 

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