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Esercizio 52  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m=17\,\text{kg} è appoggiato su un piano orizzontale scabro ed è attaccato tramite una molla ideale di costante elastica k = 530 \text{ N}\cdot\text{m}^{-1} e massa trascurabile ad una parte verticale, come rappresentato in figura 1. Il coefficiente di attrito statico tra il corpo e il piano vale \mu_s=\text{0,38}. Si richiede di calcolare la massima compressione (o allungamento) che deve avere la molla affinché il corpo rimanga in equilibrio.

 

 

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Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, come rappresentato in figura 2. L’origine O è in corrispondenza della molla a riposo, l’asse x è diretta parallelamente al piano orizzontale e punta verso la parete, mentre l’asse y punta verso l’alto perpendicolarmente al terreno. Inoltre, nella figura vengono riportare la forza peso m\vec{g} e la reazione vincolare \vec{N} dirette rispettivamente nel semiasse negativo delle y e nel semiasse positivo delle y. Si osservi che nella figura 2 non è presente la forza della molla perché a riposo.

 

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Lungo l’asse y la somma delle forze è nulla, cioè m\vec{g} + \vec{N} = \vec{0}, da cui N=mg. Spostiamo il corpo in una generica posizione x. Nella generica posizione x la molla è allungata o compressa; pertanto oltre alle forze descritte in precedenza, nella direzione dell’asse delle x agisce la forza \vec{F}_{\text{M}} generata dalla molla su m la quale tende a riportare il corpo verso la posizione a riposo della molla, e la forza di attrito statico \vec{f}_s. Per la seconda legge della dinamica, nella direzione dell’asse delle x, si ha

(1)   \begin{equation*} f_s=kx. \end{equation*}

Affinché il corpo rimanga fermo deve valere

(2)   \begin{equation*} \left \vert f_s\right \vert \leq N\mu_s, \end{equation*}

dove N\mu_s è la forza di attrito statico massima. Sostituendo nella precedente equazione f_s=kx e N=mg, si ottiene

(3)   \begin{equation*} k\left \vert x\right \vert \leq mg\mu_s, \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} -\dfrac{ mg\mu_s}{k} \leq x\leq \dfrac{ mg\mu_s}{k}. \end{equation*}

Dalla precedente disuguaglianza si deduce che l’allungamento massimo della molla è

(5)   \begin{equation*} x_{\max} = \dfrac{mg\mu_s}{k}. \end{equation*}

Sostituendo i valori numerici riportati dal problema si ottiene che x_{\max} = \text{0,12 m}.

 

 

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