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Esercizio 51  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si consideri un corpo di massa m inizialmente fermo sulla sommità di un piano scabro inclinato di un angolo \theta rispetto all’orizzontale di altezza h=4 m, come illustrato nella figura 1. All’istante t=0, il corpo viene lasciato cadere. Il corpo arriva alla base del piano inclinato al tempo t_f. A questo istante, la sua velocità \vec{v}(t_f) ha modulo v(t_f), direzione parallela al piano e verso che punta verso il suolo. Calcolare il coefficiente di attrito dinamico \mu_d.

 

 

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Svolgimento.

Si consideri il sistema di riferimento fisso Oxy solidale al piano inclinato con l’origine che coincide alla posizione iniziale del corpo, l’asse x coincidente con l’ipotenusa del piano inclinato e l’asse y diretta verso l’alto perpendicolarmente al piano inclinato. Di seguito, in figura 2, rappresentiamo le forze agenti su m e il sistema di riferimento adottato.

 

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Le forze agenti sul corpo sono la reazione vincolare \vec{N}, la forza di attrito dinamico \vec{f}_d e la forza peso \vec{P}=m\vec{g}. In ogni istante t \geq 0, per la seconda legge della dinamica nella direzione dell’asse delle x e delle y, si ha rispettivamente

(1)   \begin{equation*}  \begin{cases} mg \sin\theta - N\mu_d = ma\\ N - mg\cos \theta = 0, \end{cases} \end{equation*}

dove mg\sin\theta e mg\cos\theta sono, rispettivamente, le proiezioni della forza peso lungo l’asse delle x e y, N è il modulo della reazione vincolare esercitata dal piano inclinato sul corpo, \mu_d il coefficiente di attrito dinamico e a l’accelerazione del corpo. Si osservi che N\mu_d è il modulo della forza di attrito dinamico. Dalla seconda equazione del precedente sistema, si ottiene

(2)   \begin{equation*} N = mg\cos \theta, \end{equation*}

e quindi sostituendo nella prima equazione del sistema, si trova

(3)   \begin{equation*}  a = g \sin \theta - g \mu_d \cos \theta. \end{equation*}

Dato che il membro di destra della precedente equazione non dipende dal tempo, si conclude che il sistema si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato in quanto l’accelerazione \vec{a} ha direzione e verso concorde all’asse x e modulo costante per ogni istante t\geq 0.

Dallo studio della cinematica del punto materiale è nota la seguente equazione:

(4)   \begin{equation*}  v^2(x) = v^2(x_0) + 2(x-x_0)a, \end{equation*}

dove v(x) è la velocità del corpo in funzione della sua posizione x e x_0 è la posizione iniziale del corpo. Nel caso considerato si hanno come condizioni iniziali x_0=0 e v(0)=0, in quanto il corpo è inizialmente fermo dall’origine del sistema di riferimento scelto. La componente x della posizione finale del corpo, detta x_f = x(t_f), è pari alla lunghezza dell’ipotenusa del piano inclinato, ovvero

(5)   \begin{equation*}  x_f = \dfrac{h}{\sin \theta}, \end{equation*}

dove h è l’altezza del piano inclinato. Mettendo a sistema l’equazione (4) per x = x_f e l’equazione (5) e considerando che v(x_f) = v(t_f) in quanto al tempo t_f il sistema si trova alla base del piano, si ottiene il modulo dell’accelerazione a, cioè

(6)   \begin{equation*} v^2(t_f) = 2x_fa, \end{equation*}

da cui

(7)   \begin{equation*} a = \dfrac{v^2(t_f)}{2x_f} = \dfrac{v^2(t_f) \sin \theta}{2h}. \end{equation*}

Mettendo a sistema quest’ultimo risultato con l’equazione (3), si ottiene

(8)   \begin{equation*} g \sin \theta - g \mu_d \cos \theta=\dfrac{v^2(t_f) \sin \theta}{2h}, \end{equation*}

o anche

(9)   \begin{equation*} g \mu_d \cos \theta=g \sin \theta -\dfrac{v^2(t_f) \sin \theta}{2h}, \end{equation*}

infine

    \[\boxcolorato{fisica}{\mu_d =\tan \theta\left(1 - \dfrac{v^2(t_f)}{2hg}\right).}\]