Home » Esercizio leggi della dinamica 50

 

 

Esercizio 50  (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). In un sistema di riferimento fisso Oxy, un punto materiale di massa m si muove lungo un piano inclinato fisso di lunghezza s_0 e formante un angolo \alpha con l’asse delle x, come rappresentato in figura 1. Al punto materiale viene attaccata un’asta di lunghezza L avente massa trascurabile con estremo x_A vincolato a muoversi lungo l’asse x. Si determini x_A(t) e \dot{x}_A(t) che sono rispettivamente la posizione lungo l’asse delle x dell’estremo dell’asta vincolato a muoversi sull’asse delle x e la componente lungo l’asse delle x della velocità dell’estremo dell’asta vincolato a muoversi lungo l’asse delle x. Inoltre, si calcoli esplicitamente il valore che assume \dot{x}_A(t) quando m giunge alla base del piano inclinato. I dati noti del problema sono s_0, \alpha e L.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Svolgimento.

Immaginiamo di avere tre punti materiali di massa m_1, m_2 e m_3 su di un piano inclinato, posti a contatto, scendono lungo un piano inclinato, come in figura 2. Inoltre, è stato definito un sistema di riferimento fisso Oxy, con l’asse delle x coincidente con il piano inclinato.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Supponendo che il blocco m_1 sia sottoposto ad una forza \vec{F} costante in direzione e verso, come rappresentato nella figura 1. Per via del contatto tra m_2 e m_1 su m_2 si genera la forza di contatto \vec{N}_{1,2} e di conseguenza per il terzo principio della dinamica su m_1 si ha -\vec{N}_{1,2}. Per via del contatto tra m_2 e m_3 su m_3 si genera la forza di contatto \vec{N}_{2,3} e di conseguenza per il terzo principio della dinamica su m_2 si ha -\vec{N}_{2,3}. Le forze m_1\vec{g}, m_2\vec{g} e m_3\vec{g} sono rispettivamente la forza peso di m_1, la forza peso di m_2 e la forza peso di m_3. Per la seconda legge della dinamica proiettando le forze nella direzione dell’asse delle x, abbiamo

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} F-m_1g\sin\alpha-N_{1,2}=m_1a\\ N_{1,2}-N_{2,3}-m_2g\sin\alpha=m_2a\\ N_{2,3}-m_3g\sin\alpha=m_3a, \end{cases} \end{equation*}

dove a è la componente dell’accelerazione lungo l’asse delle x. Si osservi che, si è supposto che l’accelerazione sia la stessa per m_1, m_2 e m_3 perché i tre blocchi sono vincolati a rimanere a contatto. Imponendo m_1=m_2=m_3=0 il precedente sistema diventa

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} F-N_{1,2}=0\\ N_{1,2}-N_{2,3}=0\\ N_{2,3}=0, \end{cases}. \end{equation*}

da cui

(3)   \begin{equation*} \boxed{N_{1,2}=N_{2,3}=F=0.} \end{equation*}

La precedente equazione ci dice che: dati n punti materiali con massa trascurabile posti a contatto (ad esempio su di un piano inclinato o su un piano orizzontale) tale per cui uno di essi è sottoposto ad una forza \vec{F} costante in direzione e verso, allora il modulo della forza \vec{F} e le forze di contatto tra di essi risultano nulle.

Torniamo al nostro problema e ragioniamo in modo analogo. La massa m spinge sull’asta ed in questo modo esercita una forza \vec{N}_1 sul primo elemento infinitesimo dm_1 sul quale poggia appartenente all’asta. Immaginiamo di prendere tre elementini infinitesimi dm_1, dm_2 e dm_3 adiacenti tra di loro (come nell’esempio precedente) appartenenti all’asta e procedendo in modo analogo all’esempio fatto inizialmente, raggiungeremo il medesimo risultato perché l’asta ha massa trascurabile; in altri termini la massa m non sente la presenza dell’asta e pertanto sarà soggetta alla sola forza peso m\vec{g} nel suo moto lungo il piano inclinato. Chiamiamo s lo spazio percorso da m sul piano inclinato nel generico istante t>0. Proiettando la forza peso lungo il piano inclinato, per la seconda legge della dinamica, troviamo che l’accelerazione del corpo di massa m è g\sin\alpha, da cui

(4)   \begin{equation*} s=\dfrac{1}{2} g t^2 \sin\alpha. \end{equation*}

Definiamo \gamma l’angolo che forma l’asta nel generico istante t>0 con l’asse delle x, come rappresentato nella figura 3. Inoltre, nella figura 3 rappresentiamo il moto del punto materiale m in un generico istante t>0.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Dalla geometria del problema si evince che nel generico istante t>0, si ha

(5)   \begin{equation*} x_A = s \; \cos\alpha + L \; \cos \gamma. \end{equation*}

Per esprimere \cos\gamma in funzione di \alpha ricorriamo al teorema del seno, ottenendo

(6)   \begin{equation*} \dfrac{(s_0-s)}{\sin\gamma}=\dfrac{L}{\sin(180-\alpha)}, \end{equation*}

ovvero

(7)   \begin{equation*} (s_0-s)\sin\alpha=L\sin\gamma , \end{equation*}

conseguentemente

(8)   \begin{equation*} \sin\gamma=\dfrac{(s_0-s)\sin\alpha}{L}. \end{equation*}

Per la regola fondamentale della goniometria, abbiamo

(9)   \begin{equation*} \cos\gamma=\sqrt{1-\sin^2\gamma} \quad \Leftrightarrow \quad \cos\gamma=\sqrt{1-\dfrac{(s_0-s)^2\sin^2 \alpha}{L^2}}, \end{equation*}

dove abbiamo usato il risultato pervenuto nell’equazione (7). Mettendo a sistema le equazioni (4), (5) e (9), si ottiene

(10)   \begin{equation*} x_A(t)=\dfrac{1}{2}gt^2\sin\alpha\cos \alpha +L\sqrt{1-\dfrac{\left( s_0-\dfrac{1}{2}gt^2\sin\alpha \right)^2\sin^2\alpha}{L^2}} . \end{equation*}

Derivando rispetto al tempo ambo i membri la precedente equazione, si ottiene

(11)   \begin{equation*} \begin{aligned} \dot{x}_A(t)&=g t\sin\alpha\, cos\alpha +\dfrac{L}{2}\left(\dfrac{-\dfrac{2}{L^2}\sin^2\alpha\left(s_0-\dfrac{1}{2}gt^2\sin \alpha\right)\left(-gt\sin \alpha\right)}{\sqrt{1-\dfrac{\left( s_0-\dfrac{1}{2}gt^2\sin\alpha \right)^2\sin^2\alpha}{L^2}}}\right)=\\[10pt] &=g t\sin\alpha \,cos\alpha +gt\sin^3\alpha\left(\dfrac{\left(s_0-\dfrac{1}{2}gt^2\sin \alpha\right) }{\sqrt{L^2-\left( s_0-\dfrac{1}{2}gt^2\sin\alpha \right)^2\sin^2\alpha}}\right), \end{aligned} \end{equation*}

che è la velocità del punto A. Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ \begin{aligned} &x_A(t)=\dfrac{1}{2}gt^2\sin\alpha\cos\,\alpha +L\sqrt{1-\dfrac{\left( s_0-\dfrac{1}{2}gt^2\sin\alpha \right)^2\sin^2\alpha}{L^2}} ;\\[10pt] &\dot{x}_A(t)=g t\sin\alpha \,\cos\alpha +gt\sin^3\alpha\left(\dfrac{\left(s_0-\dfrac{1}{2}gt^2\sin \alpha\right) }{\sqrt{L^2-\left( s_0-\dfrac{1}{2}gt^2\sin\alpha \right)^2\sin^2\alpha}}\right). \end{aligned} }\]

Per calcolare la velocità di x_A quando il punto materiale arriva alla fine dell’asta sul piano orizzontale è utile determinare il tempo che impiega m a percorrere s_0 (cioè la lunghezza del piano inclinato). In figura 4 rappresentiamo il punto materiale alla fine del piano inclinato. Si osservi che, come rappresentato in figura 4, l’asta è distesa sull’asse delle x, pertanto m e tutti i punti dell’asta hanno stessa velocità lungo l’asse delle x in tale istante essendo un sistema rigido.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Chiamiamo t^\star l’istante di tempo tale per cui s(t^\star)=s_0. Dall’equazione (4) abbiamo

(12)   \begin{equation*} s(t^\star)=\dfrac{1}{2}g\left(t^\star\right)^2\sin\alpha =s_0, \end{equation*}

da cui

(13)   \begin{equation*} t^*=\sqrt{\dfrac{2s_0}{g\sin\alpha}}. \end{equation*}

La velocità di m nell’istante t^\star è

(14)   \begin{equation*} v(t^\star)=gt^\star\sin \alpha =g\sin \alpha\sqrt{\dfrac{2s_0}{g\sin\alpha}}, \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato l’equazione (13). Avvalendoci del risultato pervenuto nell’equazione (14) si ha

(15)   \begin{equation*} \vec{v}(t^\star)=g\sin \alpha\sqrt{\dfrac{2s_0}{g\sin\alpha}}\cos \alpha \,\hat{x}+g\sin \alpha\sqrt{\dfrac{2s_0}{g\sin\alpha}}\sin \alpha\,\hat{y}, \end{equation*}

cioè abbiamo proiettato la velocità di m nell’istante t^\star lungo l’asse delle x e delle y, dove dove \hat{x} e \hat{y} sono rispettivamente i versori dell’asse delle x e delle y. Ogni punto dell’asta, nell’istante t^\star, ha la stessa velocità di m lungo l’asse delle x, pertanto

(16)   \begin{equation*} \boxed{\dot{x}_a(t^\star)=g\sin \alpha\cos \alpha\sqrt{\dfrac{2s_0}{g\sin\alpha}}=\dfrac{g}{2}\sin\left(2\alpha\right)\sqrt{\dfrac{2s_0}{g\sin\alpha}}.} \end{equation*}

Altrimenti, per calcolare \dot{x}_a(t^\star) si poteva procedere sostituendo t^\star (calcolata nell’equazione (13)) nell’equazione (11), ottenendo

(17)   \begin{equation*} \begin{aligned} \dot{x}_A(t^\star)&=g t^\star\sin\alpha \,\cos\alpha +gt^\star\sin^3\alpha\left(\dfrac{\left(s_0-\dfrac{1}{2}g(t^\star)^2\sin \alpha\right) }{\sqrt{L^2-\left( s_0-\dfrac{1}{2}g(t^\star)^2\sin\alpha \right)^2\sin^2\alpha}}\right)=\\ &=g \sin\alpha \,\cos\alpha\sqrt{\dfrac{2s_0}{g\sin\alpha}}+\\ &+g\sin^3\alpha \sqrt{\dfrac{2s_0}{g\sin\alpha}}\left(\dfrac{\underbrace{\left(s_0-\frac{1}{2}g(\sqrt{\dfrac{2s_0}{g\sin\alpha}})^2\sin \alpha\right)}_{=0} }{\sqrt{L^2-\left( s_0-\dfrac{1}{2}g\left(\sqrt{\frac{2s_0}{g\sin\alpha}}\right)^2\sin\alpha \right)^2\sin^2\alpha}}\right)=\\ &\boxed{=g \sin\alpha \,\cos\alpha\sqrt{\dfrac{2s_0}{g\sin\alpha}}=\dfrac{g}{2}\sin\left(2\alpha\right)\sqrt{\dfrac{2s_0}{g\sin\alpha}}.} \end{aligned} \end{equation*}

Si conclude che la velocità dell’estremo dell’asta quando m giunge alla fine del piano inclinato è

    \[\boxcolorato{fisica}{\dot{x}_A(t^\star)=\dfrac{g}{2}\sin\left(2\alpha\right)\sqrt{\dfrac{2s_0}{g\sin\alpha}.}}\]

 

Osservazione 1.

L’equazione (3) oltre a quanto scritto ci porta ad un’ulteriore riflessione. Il fatto che F=0 ci fa dedurre che non è possibile applicare una forza diversa da zero ad un punto materiale di massa nulla, cioè di massa trascurabile. Infatti, dalla seconda legge della dinamica, se applichiamo una forza F\neq 0 ad un corpo di massa m= 0 avremmo un’accelerazione infinita e questo è assurdo. In termini intuitivi si può immaginare che massa trascurabile stia per “molto leggero”, pertanto se si esplica una forza \vec{F} al corpo di massa trascurabile esso schizzerebbe via immediatamente con un accelerazione molto grande e se ne perderebbe il contatto; si immagini di applicare, ad esempio, una forza ad un oggetto leggerissimo come una piuma.

 

Osservazione 2.

Consideriamo un corpo di massa trascurabile e quanto detto nell’osservazione 1. Se la forza fosse impulsiva (cioè di durata molto breve) è accettabile il fatto che venga un’accelerazione molto grande, perché l’istante di tempo in cui schizza via coincide con la durata della forza; mentre quello che non è fisicamente realizzabile è applicare una forza non nulla ad un oggetto di massa trascurabile per un tempo finito, perché appunto schizzerebbe via e se ne perderebbe il contatto.