Esercizio leggi della dinamica 54

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio 54 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un corpo di massa $m$ è collegato a due molle di costanti elastica $k_1$ e $k_2$ , come illustrato in figura 1. Il corpo può muoversi lungo un piano orizzontale privo di attrito, sotto l’azione delle due molle. La configurazione di equilibrio è realizzata quando le due molle sono nelle rispettive condizioni di riposo. Calcolare il periodo di oscillazione.

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Svolgimento. Definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso $Oxy$ con l’origine $O$ in corrispondenza della posizione del corpo nella configurazione di equilibrio, come illustrato in figura 2. Supponiamo che il corpo $m$ si trovi in una posizione generica $x$ , in modo tale da allungare la molla 1 di una quantità pari a $x$ , e di comprimere la molla 2 della stessa quantità $x$ . Costruiamo il diagramma di corpo libero: sul corpo $m$ agiscono la forza peso $m\vec{g}$ , la reazione vincolare $\vec{N}$ , la forza elastica $\vec{F}_{\text{el,1}}$ della molla 1 e la forza elastica $\vec{F}_{\text{el,2}}$ della molla 2, orientate come in figura 2.

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Poiché il corpo $m$ è vincolato a muoversi lungo il piano orizzontale e non sono presenti attriti[1] , trascuriamo la dinamica lungo l’asse delle $y$ . Pertanto per il secondo principio della dinamica, per il corpo di massa $m$ , si ha

(1) $\begin{equation*} -F_{\text{el,2}}-F_{\text{el,1}}=m\ddot{x}\quad\Leftrightarrow\quad -k_2x-k_1x=m\ddot{x}\quad\Leftrightarrow\quad m\ddot{x}+(k_1+k_2)x=0, \end{equation*}$

ossia

(2) $\begin{equation*} \ddot{x}+\dfrac{k_1+k_2}{m}x=0. \end{equation*}$

Definita la pulsazione $\omega$ come

(3) $\begin{equation*} \omega\coloneqq\dfrac{k_1+k_2}{m}, \end{equation*}$

l’equazione (2) diventa

(4) $\begin{equation*} \ddot{x}+\omega^2x=0, \end{equation*}$

che è l’equazione di un oscillatore armonico semplice con periodo $T$ dato da

(5) $\begin{equation*} T=\dfrac{2\pi}{\omega}. \end{equation*}$

Sostituendo l’espressione di $\omega$ ottenuta nell’equazione (3) nell’equazione (5) si ottiene il periodo di oscillazione del sistema è pari a

$\boxcolorato{fisica}{ T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k_1+k_2}}.}$

1. Se fosse stato presente l’attrito si sarebbe dovuto determinare il modulo della reazione vincolare $\vec{N}$ . Si ricordi che il modulo della forza di attrito statico $\vec{f}_s$ deve rispettare la seguente condizione $\vert \vec{f}_s\vert \leq \vert N\vert\mu_s$ , mentre il modulo della forza di attrito dinamico $\vec{f}_d$ è legato alla reazione vincolare dalla seguente relazione $\vert f_d\vert =\vert N\vert \mu_d$ , dove $\mu_s$ e $\mu_d$ sono rispettivamente il coefficiente di attrito statico e il coefficiente di attrito dinamico. ↩