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Esercizio 54  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo di massa m è collegato a due molle di costanti elastica k_1 e k_2, come illustrato in figura 1. Il corpo può muoversi lungo un piano orizzontale privo di attrito, sotto l’azione delle due molle. La configurazione di equilibrio è realizzata quando le due molle sono nelle rispettive condizioni di riposo. Calcolare il periodo di oscillazione.

 

 

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Svolgimento.

Definiamo un sistema di riferimento cartesiano fisso Oxy con l’origine O in corrispondenza della posizione del corpo nella configurazione di equilibrio, come illustrato in figura 2. Supponiamo che il corpo m si trovi in una posizione generica x, in modo tale da allungare la molla 1 di una quantità pari a x, e di comprimere la molla 2 della stessa quantità x. Costruiamo il diagramma di corpo libero: sul corpo m agiscono la forza peso m\vec{g}, la reazione vincolare \vec{N}, la forza elastica \vec{F}_{\text{el,1}} della molla 1 e la forza elastica \vec{F}_{\text{el,2}} della molla 2, orientate come in figura 2.

 

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Poiché il corpo m è vincolato a muoversi lungo il piano orizzontale e non sono presenti attriti[1] , trascuriamo la dinamica lungo l’asse delle y. Pertanto per il secondo principio della dinamica, per il corpo di massa m, si ha

(1)   \begin{equation*} -F_{\text{el,2}}-F_{\text{el,1}}=m\ddot{x}\quad\Leftrightarrow\quad -k_2x-k_1x=m\ddot{x}\quad\Leftrightarrow\quad m\ddot{x}+(k_1+k_2)x=0, \end{equation*}

ossia

(2)   \begin{equation*} \ddot{x}+\dfrac{k_1+k_2}{m}x=0. \end{equation*}

Definita la pulsazione \omega come

(3)   \begin{equation*} \omega\coloneqq\dfrac{k_1+k_2}{m}, \end{equation*}

l’equazione (2) diventa

(4)   \begin{equation*} \ddot{x}+\omega^2x=0, \end{equation*}

che è l’equazione di un oscillatore armonico semplice con periodo T dato da

(5)   \begin{equation*} T=\dfrac{2\pi}{\omega}. \end{equation*}

Sostituendo l’espressione di \omega ottenuta nell’equazione (3) nell’equazione (5) si ottiene il periodo di oscillazione del sistema è pari a

    \[\boxcolorato{fisica}{ T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k_1+k_2}}.}\]

 

1. Se fosse stato presente l’attrito si sarebbe dovuto determinare il modulo della reazione vincolare \vec{N}. Si ricordi che il modulo della forza di attrito statico \vec{f}_s deve rispettare la seguente condizione \vert \vec{f}_s\vert \leq \vert N\vert\mu_s, mentre il modulo della forza di attrito dinamico \vec{f}_d è legato alla reazione vincolare dalla seguente relazione \vert f_d\vert =\vert N\vert \mu_d, dove \mu_s e \mu_d sono rispettivamente il coefficiente di attrito statico e il coefficiente di attrito dinamico.