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Esercizio 56  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). È dato un piano scabro, inclinato di un certo angolo \theta rispetto all’orizzontale. Un corpo di massa m è appoggiato sul piano inclinato. Il coefficiente di attrito statico tra il corpo e il piano è \mu = \text{0,72}. Calcolare il valore massimo dell’angolo di inclinazione del piano affinché il corpo resti in equilibrio per ogni istante t\geq0.

 

 

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Svolgimento.

Si definisca un sistema di coordinate Oxy. L’origine O è situata in cima a piano, l’asse x punta verso il suolo ed è parallela al piano e l’asse y punta verso l’alto perpendicolarmente all’asse x. Sul corpo di massa m sono agenti le seguenti forze: la forza peso \vec{P} = m\vec{g}, la forza di attrito statico \vec{f_s} e la reazione vincolare \vec{N} esercitate dal piano. Nella figura 2 sono illustrati il sistema di coordinate considerato e le forze agenti sul corpo.  

 

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  Per il secondo principio della dinamica, affinché il corpo rimanga fermo la risultante delle forze agenti sul corpo lungo le direzioni degli assi x e y deve essere nulla. Vale quindi il seguente sistema per ogni istante t\geq0

(1)   \begin{equation*} \begin{cases}mg\sin{\theta} - f_s = 0 \\ mg\cos{\theta} - N = 0,\end{cases}\end{equation*}

dove mg\sin{\theta} e mg\cos{\theta} sono rispettivamente le proiezioni della forza peso lungo gli assi x e y, f_s è il modulo della forza di attrito statico e N il modulo della reazione vincolare.

Dalla seconda equazione del precedete sistema si ricava che

(2)   \begin{equation*} N = mg\cos{\theta}.\end{equation*}

Il corpo rimanere in equilibrio se vale

(3)   \begin{equation*}f_s\leq N\mu_s. \end{equation*}

Avvalendoci del sistema (1) la precedente disequazione diventa

(4)   \begin{equation*}mg\sin{\theta} \leq mg\mu_s\cos \theta .\end{equation*}

da cui

(5)   \begin{equation*}\tan \theta \leq \mu_s\end{equation*}

o anche

    \[\boxcolorato{fisica}{ \theta \leq \arctan\mu_s.}\]

Inserendo i valori numerici dati dal problema si ottiene quindi che \theta \leq \text{35,8}^{\circ}.