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Esercizio 57  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia data una puleggia che può ruotare senza attrito intorno al suo asse di simmetria mantenuto orizzontale. Intorno alla puleggia è avvolta una fune inestensibile, ai cui estremi sono appesi due corpi di masse m_1=20 kg e m_2 > m_1 rispettivamente. La fune non slitta sulla puleggia e ha una tensione di rottura pari a T_{\max} = 300 N. Calcolare il valore massimo della massa m_2 affinché la fune non si spezzi.

 

 

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Svolgimento.

Si consideri un sistema di riferimento inerziale fisso Oy con l’asse y parallela alla fune puntante verso l’alto. La scelta dell’origine è arbitraria non essendo rilevante rispetto allo scopo del problema. In figura 2 sono schematizzati il sistema di riferimento Oy e le forze agenti sui corpi di masse m_1 e m_2. Sul corpo di massa m_1 agisce la forza peso \vec{P}_1 e la tensione della fune \vec{T}_1 orientate come in figura 1. Sul corpo di massa m_2 agisce la forza peso \vec{P}_2 e la tensione della fune \vec{T}_2. Ora, poiché tra la puleggia e la fune non è presente attrito, la puleggia trasmette la tensione lungo la fune cambiandone direzione e verso ma preservandone il modulo. Ciò significa che |\vec{T}_1|=|\vec{T}_2|=T.

 

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  Per il secondo principio della dinamica applicato sui corpi di massa m_1 e m_2 vale il seguente sistema

(1)   \begin{equation*}  	\begin{cases} 	m_1\vec{a}_1 =  \vec{T}_1 + \vec{P}_1 \\ 	m_2\vec{a}_2 =  \vec{T}_2 + \vec{P}_2 , 	\end{cases} 	\end{equation*}

dove \vec{a}_1 e \vec{a}_2 sono le accelerazioni rispettivamente dei corpi di massa m_1 e m_2. Proiettando i vettori presenti nelle due precedenti equazioni lungo l’asse delle y si ottiene il seguente sistema

(2)   \begin{equation*}  	\begin{cases} 	m_1a_1 =  T - P_1\\ 	m_2a_2 =  T - P_2, 	\end{cases} 	\end{equation*}

dove a_1, a_2, T, P_1 e P_2 sono le rispettive componenti dei vettori precedentemente introdotti lungo l’asse y. Dato che la fune è inestensibile, l’accelerazione subita dalla massa m_1 è uguale in modulo e direzione ma di verso opposto rispetto a quella subita dalla massa m_2; vale quindi che a_1 = -a_2 = a. Quindi, per ogni istante t\geq0, per il secondo principio della dinamica lungo l’asse y vale il seguente sistema di equazioni

(3)   \begin{equation*} 	\begin{cases} 	m_1a = T-P_1 \\ 	-m_2a = T - P_2 . 	\end{cases} 	\end{equation*}

Sapendo che la forza peso \vec{P} esercitata su un generico corpo di massa m è data in modulo da

(4)   \begin{equation*} 	P = mg, 	\end{equation*}

è possibile riscrivere il sistema (3) come segue

(5)   \begin{equation*} 	\begin{cases} 	T = m_1(g+a)\\ 	T = m_2(g-a). 	\end{cases} 	\end{equation*}

Con riferimento al sistema sopra riportato, sostituiamo la seconda equazione nella prima, ottenendo

(6)   \begin{equation*} 	\begin{cases} 	m_2(g-a) = m_1(g+a)\\ 	T = m_2(g-a), 	\end{cases} 	\end{equation*}

da cui possiamo isolare a nella prima equazione per poi sostituirla nella seconda

(7)   \begin{equation*} 	\begin{cases} 	a = g  \dfrac{m_2-m_1}{m_2+m_1}\\ 	\\ 	T = m_2\left(g -  g\dfrac{m_2-m_1}{m_2+m_1}\right). 	\end{cases} 	\end{equation*}

Manipolando ulteriormente la seconda equazione di quest’ultimo sistema si ottiene infine

(8)   \begin{equation*}  	\begin{cases} 	a = g  \dfrac{m_2-m_1}{m_2+m_1}\\ 	\\ 	T = m_1g  \left( 1 + \dfrac{m_2-m_1}{m_2+m_1} \right). 	\end{cases} 	\end{equation*}

Sostituendo il valore della tensione massima sopportabile dalla fune T_{max} nella seconda equazione del sistema (8), si ottiene l’equazione

(9)   \begin{equation*} 	T_{\max} = m_1g  \left( 1 + \dfrac{m_2-m_1}{m_2+m_1} \right). 	\end{equation*}

Risolvendo la precedente equazione rispetto a m_2, si ottiene il valore massimo che m_2 può assumere affinché la fune non si spezzi data la massa m_1. Moltiplicando ambo i lati dell’equazione (9) per (m_2 + m_1), si ottiene

(10)   \begin{equation*} 	(m_2+m_1) T_{\max} = (m_2+m_1)m_1g + m_1g(m_2-m_1). 	\end{equation*}

Portiamo tutti i termini contenenti m_2 a sinistra dell’equazione e raccogliamo m_2, ottenendo

(11)   \begin{equation*} 	m_2(T_{\max} - 2m_1g) = m_1^2g - m_1^2g - m_1T_{\max} = -m_1T_{\max}. 	\end{equation*}

Infine, dividendo ambo i membri di quest’ultima equazione per (T_{\max} - 2m_1g), tenendo conto del fatto che T_{\max} - 2m_1g\neq 0, si ottiene

(12)   \begin{equation*} 	m_2 = m_1\left(\dfrac{T_{\max}}{2m_1g - T_{\max}}\right), 	\end{equation*}

che può essere riscritto come

    \[\boxcolorato{fisica}{	m_2 = m_1\left({\dfrac{2m_1g}{T_{\max}}-1}\right)^{-1}.}\]

Inserendo i valori numerici dati dal problema si ottiene che m_2 = 65 kg è il valore massimo della massa m_2 affinché la fune non si spezzi.

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