Home » Esercizio leggi della dinamica 48

 

 

Esercizio 48  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). In un sistema di riferimento fisso Oxy è presente un filo inestensibile e di massa trascurabile di lunghezza \ell, con un estremo nel punto (0,\ell) e un estremo libero di muoversi al quale è attaccata una massa m. Alla massa m è a sua volta attaccata una bacchetta di massa trascurabile e di lunghezza d. L’estremo A della bacchetta si trova sull’asse delle y, libero di muoversi. Si richiede di determinare la legge oraria dell’estremo A nell’ipotesi che la massa m compia delle piccole oscillazioni rispetto al punto di equilibrio stabile \theta=0\,\text{rad}, dove \theta è l’angolo che il filo di lunghezza \ell forma con l’asse delle y, come rappresentato in figura 1. Supporre che il sistema sia inizialmente fermo e che il filo formi un angolo \theta_0 molto piccolo con l’asse delle y.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Svolgimento.

Si consideri la figura 2.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

La figura 2 rappresenta il moto di m in un generico istante mentre oscilla rispetto alla posizione di equilibrio stabile. Dalla geometria del problema, si osserva che, l’ordinata di di A è data da

(1)   \begin{equation*} y_A=-\left(\sqrt{d^2- \ell^2\sin^2\theta}-(\ell - \ell \cos\theta)\right). \end{equation*}

Nell’ipotesi che \theta sia piccolo, si ha[1]

(2)   \begin{equation*} \begin{aligned} -y_A&=d\sqrt{1-\dfrac{\ell^2\sin^2\theta}{d^2}}-(\ell-\ell\cos\theta) \sim d\left(1-\dfrac{\ell^2}{d^2}\theta^2\right)^\frac{1}{2}-\ell\left(1-\left(1-\dfrac{1}{2}\theta^2\right)\right)\sim\\ &\sim d \left(1-\dfrac{\ell^2}{2d^2}\theta^2\right)-\dfrac{\ell}{2}\theta^2=d-\dfrac{\ell^2}{2d}\theta^2-\dfrac{\ell}{2}\theta^2=d-\dfrac{\ell}{2}\theta^2\left(\dfrac{\ell}{d}+1\right). \end{aligned} \end{equation*}

Siccome m si muove di moto armonico semplice, la condizione necessaria e sufficiente affinché quanto detto valga è che \theta(t) sia soluzione della seguente equazione differenziale del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti

(3)   \begin{equation*} \ddot{\theta}+\omega^2\theta=0, \end{equation*}

che ha soluzione

(4)   \begin{equation*} \theta(t)=\theta_0\sin(\omega t+\phi), \end{equation*}

dove \omega=\sqrt{g/\ell}. Ponendo \theta(0)=\theta_0 dalla precedente equazione, si trova

(5)   \begin{equation*} \phi=\dfrac{\pi}{2}, \end{equation*}

da cui l’equazione (4) diventa

(6)   \begin{equation*} \theta(t)=\theta_0\sin\left(\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)=\theta_0\cos\left(\omega t\right). \end{equation*}

Dunque, avvalendoci dell’equazione (6) l’equazione (2) si riscrive come

    \[\boxcolorato{fisica}{ y_A(t)=-d+\dfrac{\ell}{2}\theta^2\left(\dfrac{\ell}{d}+1\right)=-d+\dfrac{\ell}{2}\theta_0^2\left(\dfrac{\ell}{d}+1\right)\cos^2\left(\omega t\right).}\]

Di seguito, nella figura 3, rappresentiamo il grafico del modulo della funzione y_A(t).

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

1. Si ricorda che se \theta è piccolo vale quanto segue

    \[\begin{aligned} &\sin\theta \sim \theta, \qquad \sqrt{1+\theta}\sim1+\dfrac{1}{2}\theta,\qquad \cos\theta \sim 1-\dfrac{1}{2}\theta^2. \end{aligned}\]