Home » Esercizio leggi della dinamica 23


 

Esercizio 23  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Il blocco della figura 1 ha massa m, sta fermo su un piano inclinato scabro formante un angolo \alpha con il piano orizzontale, e su di esso è applicata una forza \vec{F} diretta come in figura 1. Inoltre, siano \mu_s e \mu_k rispettivamente i coefficienti d’attrito statico e dinamico del piano inclinato.

  1. Qual è l’intensità minima che deve possedere la forza \vec{F}, parallela al piano, per impedire al blocco di scivolare giù?
  2. Qual è la minima intensità della forza richiesta per farlo partire verso l’alto?
  3. Qual è l’intensità minima che deve possedere la forza F per far scivolare il blocco verso l’alto a velocità costante?

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Svolgimento Punto 1.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy come in figura 2, con l’asse x parallela all’ipotenusa del piano e con l’asse positivo della stessa orientato come in figura 2, e determiniamo le forze agenti sul blocco.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Oltre alla forza \vec{F}, sono presenti la forza peso \vec{P}, della quale evidenziamo in figura 2 le componenti \vec{P}_x e \vec{P}_y lungo le direzioni x e y rispettivamente, la forza d’attrito statico \vec{F}_{s} e la reazione vincolare \vec{N}. Le forze \vec{F}_{s} e \vec{N} sono generate dal contatto tra il blocco e il piano inclinato. Lungo l’asse delle y vale

(1)   \begin{equation*} N=mg\cos \alpha, \end{equation*}

da cui si ottiene che la forza di attrito statico massimo è

(2)   \begin{equation*} F_{s,\max}=N\mu_s=mg\mu_s\cos \alpha. \end{equation*}

Mettiamoci nella ipotesi in cui la forza di attrito statica sia massima e valutiamo l’intensità delle forze agenti lungo la direzione dell’asse delle x. Il modulo della componente lungo l’asse delle x della forza peso è |P_x|=mg\sin\alpha e il modulo della forza d’attrito statico massima è F_{s,max}= mg\mu_s\cos \alpha. Nel caso in cui la forza \vec{F} è assente, la componente lungo l’asse delle x della forza peso è pertanto maggiore della forza d’attrito statico massima e porta il blocco a scivolare lungo il piano, pertanto è necessaria la forza \vec{F} affinché ci sia equilibrio lungo l’asse delle x. La forza \vec{F} diretta chiaramente nello stesso verso della forza di attrito statico, ovvero l’asse positivo delle x. Per la seconda legge della dinamica nella direzione dell’asse delle x abbiamo

(3)   \begin{equation*} F_{\min}+ mg\mu_s\cos \alpha - mg \sin \theta = 0, \end{equation*}

dove si è identificata con F_{\min} la minima forza esterna F da applicare al blocco affinché non scenda lungo il piano inclinato. Concludiamo che la forza minima affinché il corpo rimanga fermo è

    \[\boxcolorato{fisica}{ F_{\min}=-\mu_s mg\cos\theta + mg\sin\theta.}\]

 

Svolgimento Punto 2.

Il secondo caso, invece, corrispondente al punto 2 del problema, considera il caso in cui il blocco si sposta verso l’alto: ritroviamo applicate la forza peso \vec{P}, la forza \vec{F} della quale dobbiamo determinare il modulo, la reazione vincolare \vec{N} e la forza d’attrito statico \vec{F}_s, che adesso, opponendosi al verso del movimento del blocco, sarà rivolta verso la base del piano inclinato, ovvero nella direzione negativa dell’asse delle x. Siamo interessati al minimo valore di \vec{F} affinché il corpo possa spostarsi verso l’alto, chiameremo quest’ultima F'_{\min}. Consideriamo nelle figure 3 e 4 le situazioni corrispondenti a F_{\min} e F'_{\min}.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Osserviamo in particolare che nel primo caso la forza d’attrito statico è concorde con la forza \vec{F}, mentre nel secondo caso è concorde con \vec{P}_x. Nel primo caso, la forza d’attrito statico \vec{F}_{S} e la forza \vec{F} sono orientate nella stessa direzione, in verso opposto alla componente \vec{P}_x della forza peso, determinando la situazione d’equilibrio precedentemente discussa; nel secondo caso, la minima forza \vec{F}'_{\min} deve contrastare la somma della componente \vec{P}_x della forza peso e la forza d’attrito statico \vec{F}_s, entrambe rivolte verso la base del piano inclinato. In riferimento alla situazione illustrata in figura 4, dunque, osserviamo che, perché il corpo si muova verso l’alto, deve accadere

(4)   \begin{equation*} F-P_x-F_s \geq 0, \end{equation*}

ossia, la risultante delle forze agenti lungo la direzione x deve essere positiva. È chiaro che, in tale situazione la forza di attrito statico deve essere massima, come nel primo caso, ovvero che valga F_S=F_{S,\max}=mg\cos \theta. Il minimo valore F'_{\min} sarà pertanto dato da

(5)   \begin{equation*} F-P_x-F_{S,\max} = 0, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ F'_{\min}=mg\sin\alpha + \mu_s mg \cos \alpha ,}\]

che rappresenta la soluzione al punto 2 del problema.

 

Svolgimento Punto 3.

Consideriamo adesso il terzo punto del problema, visualizzando ancora una volta lo schema delle forze agenti sul blocco, in figura 4.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Rispetto ai punti precedenti è evidente che l’unico cambiamento è rappresentato dalla forza d’attrito, che adesso è dinamica, indicata con \vec{F}_d=-\mu_d N \hat{x}, dove \hat{x} è il versore dell’asse delle x. Si osservi che la forza di attrito dinamico, come ovvio che sia, è diretta nel verso negativo delle x perché opposta al moto di m, che è nel verso positivo delle x. Poiché vogliamo che il corpo si muova a velocità costante, il suo moto lungo l’asse x dovrà essere caratterizzato dall’avere accelerazione nulla. Scriviamo dunque la seconda legge della dinamica per le due direzioni, x e ym che sono rispettivamente

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle F-F_d - mg\sin\alpha=0 \\ \displaystyle N=mg\cos \alpha. \end{cases} \end{equation*}

Ricordando che F_d=N\mu_d, il sistema (6) diventa

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle F-N\mu_d - mg\sin\alpha=0 \\ \displaystyle N=mg\cos \alpha, \end{cases} \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ F=mg\sin\alpha + mg \mu_d \cos \alpha ,}\]

dunque, la soluzione del punto 3 del problema.

 

Fonte.

D.Halliday, R.Resnick, J.Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Zanichelli.  
error: Il contenuto è protetto!!