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Esercizio leggi della dinamica 23

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio leggi della dinamica 23

L’esercizio 23 sulle leggi della dinamica è il ventitreesimo della raccolta inclusa nella cartella Dinamica del punto materiale: Leggi di Newton in meccanica classica. Questo esercizio è il successivo di Esercizio leggi della dinamica 22 ed è il precedente di Esercizio leggi della dinamica 24. Questo esercizio è progettato per studenti che frequentano un corso di Fisica 1, indirizzato a chi studia ingegneria, fisica o matematica.

 

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Testo leggi della dinamica 23

Esercizio 23 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Il blocco della figura 1 ha massa m, sta fermo su un piano inclinato scabro formante un angolo \alpha con il piano orizzontale, e su di esso è applicata una forza \vec{F} diretta come in figura 1. Inoltre, siano \mu_s e \mu_k rispettivamente i coefficienti d’attrito statico e dinamico del piano inclinato.

  1. Qual è l’intensità minima che deve possedere la forza \vec{F}, parallela al piano, per impedire al blocco di scivolare giù?
  2. Qual è la minima intensità della forza richiesta per farlo partire verso l’alto?
  3. Qual è l’intensità minima che deve possedere la forza F per far scivolare il blocco verso l’alto a velocità costante?

 

 

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Svolgimento Punto 1.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy come in figura 2, con l’asse x parallela all’ipotenusa del piano e con l’asse positivo della stessa orientato come in figura 2, e determiniamo le forze agenti sul blocco.

 

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Oltre alla forza \vec{F}, sono presenti la forza peso \vec{P}, della quale evidenziamo in figura 2 le componenti \vec{P}_x e \vec{P}_y lungo le direzioni x e y rispettivamente, la forza d’attrito statico \vec{F}_{s} e la reazione vincolare \vec{N}. Le forze \vec{F}_{s} e \vec{N} sono generate dal contatto tra il blocco e il piano inclinato. Lungo l’asse delle y vale

(1)   \begin{equation*} N=mg\cos \alpha, \end{equation*}

da cui si ottiene che la forza di attrito statico massimo è

(2)   \begin{equation*} F_{s,\max}=N\mu_s=mg\mu_s\cos \alpha. \end{equation*}

Mettiamoci nella ipotesi in cui la forza di attrito statica sia massima e valutiamo l’intensità delle forze agenti lungo la direzione dell’asse delle x. Il modulo della componente lungo l’asse delle x della forza peso è |P_x|=mg\sin\alpha e il modulo della forza d’attrito statico massima è F_{s,max}= mg\mu_s\cos \alpha. Nel caso in cui la forza \vec{F} è assente, la componente lungo l’asse delle x della forza peso è pertanto maggiore della forza d’attrito statico massima e porta il blocco a scivolare lungo il piano, pertanto è necessaria la forza \vec{F} affinché ci sia equilibrio lungo l’asse delle x. La forza \vec{F} diretta chiaramente nello stesso verso della forza di attrito statico, ovvero l’asse positivo delle x. Per la seconda legge della dinamica nella direzione dell’asse delle x abbiamo

(3)   \begin{equation*} F_{\min}+ mg\mu_s\cos \alpha - mg \sin \theta = 0, \end{equation*}

dove si è identificata con F_{\min} la minima forza esterna F da applicare al blocco affinché non scenda lungo il piano inclinato. Concludiamo che la forza minima affinché il corpo rimanga fermo è

    \[\boxcolorato{fisica}{ F_{\min}=-\mu_s mg\cos\theta + mg\sin\theta.}\]

 

Svolgimento Punto 2.

Il secondo caso, invece, corrispondente al punto 2 del problema, considera il caso in cui il blocco si sposta verso l’alto: ritroviamo applicate la forza peso \vec{P}, la forza \vec{F} della quale dobbiamo determinare il modulo, la reazione vincolare \vec{N} e la forza d’attrito statico \vec{F}_s, che adesso, opponendosi al verso del movimento del blocco, sarà rivolta verso la base del piano inclinato, ovvero nella direzione negativa dell’asse delle x. Siamo interessati al minimo valore di \vec{F} affinché il corpo possa spostarsi verso l’alto, chiameremo quest’ultima F'_{\min}. Consideriamo nelle figure 3 e 4 le situazioni corrispondenti a F_{\min} e F'_{\min}.

 

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Osserviamo in particolare che nel primo caso la forza d’attrito statico è concorde con la forza \vec{F}, mentre nel secondo caso è concorde con \vec{P}_x. Nel primo caso, la forza d’attrito statico \vec{F}_{S} e la forza \vec{F} sono orientate nella stessa direzione, in verso opposto alla componente \vec{P}_x della forza peso, determinando la situazione d’equilibrio precedentemente discussa; nel secondo caso, la minima forza \vec{F}'_{\min} deve contrastare la somma della componente \vec{P}_x della forza peso e la forza d’attrito statico \vec{F}_s, entrambe rivolte verso la base del piano inclinato. In riferimento alla situazione illustrata in figura 4, dunque, osserviamo che, perché il corpo si muova verso l’alto, deve accadere

(4)   \begin{equation*} F-P_x-F_s \geq 0, \end{equation*}

ossia, la risultante delle forze agenti lungo la direzione x deve essere positiva. È chiaro che, in tale situazione la forza di attrito statico deve essere massima, come nel primo caso, ovvero che valga F_S=F_{S,\max}=mg\cos \theta. Il minimo valore F'_{\min} sarà pertanto dato da

(5)   \begin{equation*} F-P_x-F_{S,\max} = 0, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ F'_{\min}=mg\sin\alpha + \mu_s mg \cos \alpha ,}\]

che rappresenta la soluzione al punto 2 del problema.

 

Svolgimento Punto 3.

Consideriamo adesso il terzo punto del problema, visualizzando ancora una volta lo schema delle forze agenti sul blocco, in figura 4.

 

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Rispetto ai punti precedenti è evidente che l’unico cambiamento è rappresentato dalla forza d’attrito, che adesso è dinamica, indicata con \vec{F}_d=-\mu_d N \hat{x}, dove \hat{x} è il versore dell’asse delle x. Si osservi che la forza di attrito dinamico, come ovvio che sia, è diretta nel verso negativo delle x perché opposta al moto di m, che è nel verso positivo delle x. Poiché vogliamo che il corpo si muova a velocità costante, il suo moto lungo l’asse x dovrà essere caratterizzato dall’avere accelerazione nulla. Scriviamo dunque la seconda legge della dinamica per le due direzioni, x e ym che sono rispettivamente

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle F-F_d - mg\sin\alpha=0 \\ \displaystyle N=mg\cos \alpha. \end{cases} \end{equation*}

Ricordando che F_d=N\mu_d, il sistema (6) diventa

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle F-N\mu_d - mg\sin\alpha=0 \\ \displaystyle N=mg\cos \alpha, \end{cases} \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ F=mg\sin\alpha + mg \mu_d \cos \alpha ,}\]

dunque, la soluzione del punto 3 del problema.

 

Fonte.

D.Halliday, R.Resnick, J.Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Zanichelli.  

 
 

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    Un po’ di storia sulle leggi della dinamica

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    Le leggi della dinamica rappresentano uno dei pilastri fondamentali della fisica classica. Formulate da Isaac Newton nel XVII secolo, queste leggi hanno rivoluzionato la nostra comprensione del movimento e delle forze, gettando le basi per la fisica moderna. La storia delle leggi della dinamica inizia con le prime intuizioni pre-scientifiche e arriva fino alle scoperte rivoluzionarie di Newton, estendendosi al loro impatto duraturo sulla scienza e sulla tecnologia contemporanea.

    Prima di Newton, la comprensione del movimento e delle forze era dominata dalle idee di Aristotele, un filosofo greco del IV secolo a.C. Aristotele credeva che tutti i corpi avessero un “luogo naturale” e che si muovessero solo quando una forza esterna agiva su di essi. Questa visione, conosciuta come “fisica aristotelica”, affermava che un oggetto in movimento si fermava automaticamente una volta cessata la forza che lo spingeva. Questa concezione aristotelica rimase predominante per secoli, influenzando profondamente la filosofia naturale. Tuttavia, presentava limitazioni significative, specialmente nella spiegazione di fenomeni come il moto dei pianeti o il comportamento dei proiettili. Nonostante i suoi limiti, la fisica aristotelica gettò le basi per lo sviluppo successivo delle leggi della dinamica.

    Un punto di svolta nella comprensione del movimento fu segnato da Galileo Galilei, un matematico e fisico italiano del XVI secolo. Galileo sfidò molte delle idee di Aristotele, introducendo concetti che sarebbero stati fondamentali per la formulazione delle leggi della dinamica. Galileo fu il primo a dimostrare che la velocità di caduta di un oggetto non dipende dalla sua massa, ma dal tempo trascorso. Egli introdusse il concetto di inerzia, l’idea che un corpo in movimento rimane in movimento a meno che una forza esterna non intervenga. Questo principio di inerzia costituì la base della Prima legge di Newton, una delle tre leggi della dinamica che avrebbero rivoluzionato la fisica. Oltre a queste scoperte, Galileo sviluppò la metodologia scientifica basata sull’osservazione e l’esperimento, ponendo le basi per la fisica moderna. Le sue idee furono cruciali per la successiva formulazione delle leggi della dinamica da parte di Newton.

    Isaac Newton, uno dei più grandi scienziati della storia, formulò le leggi della dinamica nel suo capolavoro “Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica”, pubblicato nel 1687. Le tre leggi di Newton descrivono il comportamento del movimento e delle forze in modo preciso e matematico, fornendo una base solida per la meccanica classica. La Prima legge della dinamica, nota anche come legge dell’inerzia, afferma che un corpo in stato di quiete o di moto rettilineo uniforme rimane in tale stato finché non agisce su di esso una forza esterna. Questa legge formalizza il concetto introdotto da Galileo, stabilendo che il movimento non richiede una forza continua per essere mantenuto, ma solo per essere alterato. La legge dell’inerzia fu rivoluzionaria perché sfidava direttamente la fisica aristotelica, dimostrando che il moto non è il risultato di un’azione continua ma di una condizione naturale degli oggetti.

    La Seconda legge della dinamica, forse la più famosa delle tre, stabilisce che la forza che agisce su un corpo è direttamente proporzionale alla sua massa e alla sua accelerazione, secondo la formula F = ma. Questa legge descrive come le forze influenzano il movimento degli oggetti e fornisce una base per calcolare le forze necessarie per muovere o fermare un oggetto. Questa legge è stata fondamentale per lo sviluppo della meccanica classica, permettendo di comprendere e prevedere con precisione il comportamento degli oggetti sotto l’influenza di forze diverse. È grazie a questa legge che possiamo spiegare fenomeni quotidiani, come la caduta di un oggetto o il lancio di un proiettile, con una precisione matematica.

    La Terza legge della dinamica è forse la più intuitiva: afferma che per ogni azione esiste una reazione uguale e contraria. Questo significa che quando un oggetto esercita una forza su un altro, il secondo oggetto esercita una forza uguale e opposta sul primo. Questa legge è evidente in molti fenomeni quotidiani, come il rimbalzo di una palla o il funzionamento di un razzo. La comprensione di questa legge è essenziale per l’ingegneria e la tecnologia moderne, poiché spiega come le forze interagiscono in sistemi complessi.

    Le leggi della dinamica di Newton hanno avuto un impatto profondo e duraturo sulla fisica classica. Prima della loro formulazione, la comprensione del movimento e delle forze era frammentaria e spesso basata su osservazioni qualitative piuttosto che su principi matematici. Le leggi di Newton hanno fornito una struttura coerente e matematica per descrivere il comportamento degli oggetti in movimento, permettendo ai fisici di fare previsioni accurate e di sviluppare nuove tecnologie. Grazie alle leggi della dinamica, è stato possibile sviluppare la meccanica celeste, che spiega il movimento dei pianeti e delle stelle. Queste leggi hanno permesso di calcolare con precisione le orbite dei corpi celesti, confermando le teorie di Keplero e contribuendo alla comprensione dell’universo. Le leggi della dinamica hanno anche gettato le basi per l’ingegneria moderna, permettendo la progettazione di macchine, edifici e veicoli con una comprensione precisa delle forze in gioco. Senza le leggi di Newton, molte delle tecnologie che diamo per scontate oggi, come gli aerei, le automobili e i ponti, non sarebbero possibili.

    Con l’avvento della fisica moderna, alcune delle previsioni delle leggi della dinamica di Newton sono state riviste e ampliate. In particolare, la teoria della relatività di Einstein ha dimostrato che le leggi di Newton non sono sufficienti per descrivere il movimento a velocità prossime a quella della luce o in campi gravitazionali molto forti. Tuttavia, le leggi della dinamica rimangono valide e utili nella maggior parte delle situazioni quotidiane e continuano a essere insegnate come parte fondamentale della fisica.

     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.






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