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Esercizio 25  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un blocco A di massa m_A poggia su un piano inclinato scabro, con coefficiente di attrito dinamico \mu_d, e formante un angolo \theta con il piano orizzontale sui cui poggia. Il blocco A è collegato tramite un filo, inestensibile e di massa trascurabile, ad una carrucola. La carrucola è collegata ad un blocco di massa m_B. La situazione geometrica è rappresentata in figura 1. Si supponga che tra filo e carrucola non ci sia attrito e che il sistema sia inizialmente in quiete. Si richiede di determinare la massa m_B affinché A scenda giù per il piano inclinato a velocità di modulo costante.

 

 

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Svolgimento

Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy, con l’asse x parallela all’ipotenusa del piano e con l’asse positivo delle x diretto come in figura 2, e determiniamo le forze agenti sul blocco A.

 

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Consideriamo le forze agenti sul blocco A. Siano \hat{x} e \hat{y} i versori rispettivamente dell’asse delle x e delle y. Le forze su di A sono la forza peso \vec{P}, della quale evidenziamo in figura 2 le componenti \vec{P}_x=-mg\sin\theta \,\hat{x} e \vec{P}_y=-mg\cos\theta \,\hat{y}, la reazione vincolare \vec{N}=mg\cos\theta\, \hat{y}, la forza d’attrito dinamico \vec{F}_{d}=-\mu_d N\, \hat{x}, e la tensione del filo \vec{T}_1. Osserviamo che il blocco A si muove lungo x, mentre rimane in equilibrio nella direzione y. Per il blocco A, per la seconda legge della dinamica, nella direzione x e y, si ha rispettivamente

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle -P_x + F_d + T_1=0 \\ \displaystyle P_y=N, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle -m_Ag\sin\theta + \mu_d m_Ag \cos \theta +T_1=0 \\ \displaystyle N=m_Ag\cos \theta. \end{cases} \end{equation*}

Si osservi che il membro destro della prima equazione del sistema è stato posto uguale a zero, poiché il corpo A si muove di velocità di modulo costante nella direzione dell’asse delle x. Per osservare il blocco B scegliamo un sistema di riferimento fisso O^\prime y, come nella figura 2. Sul blocco B sono applicate la tensione del filo \vec{T}_2 e la forza peso \vec{P}'=m_B\vec{g}. Per il blocco B, per la seconda legge della dinamica, abbiamo

(3)   \begin{equation*} T_2-m_Bg=0, \end{equation*}

dove abbiamo considerato che il blocco B, collegato come specificato precedentemente al blocco A, è anch’esso in moto rettilineo uniforme, per l’ipotesi che il filo è inestensibile, pertanto la sua accelerazione è nulla. Sulla puleggia sono applicate le forze -\vec{T}_1 e -\vec{T}_1, come conseguenza del fatto che il filo è inestensibile e di massa trascurabile. Siccome tra filo e carrucola non c’è attrito, si ha T_1=T_2=T. Poiché le due tensioni T_1 e T_2 sono uguali in modulo, dall’equazione (3) segue che

(4)   \begin{equation*} T_1=T_2=m_Bg, \end{equation*}

da cui, è possibile riscrivere la prima equazione del sistema (2), come segue

(5)   \begin{equation*} -m_Ag\sin\theta + \mu_d m_Ag \cos \theta +m_Bg=0, \end{equation*}

e quindi

    \[\boxcolorato{fisica}{ m_B=m_A\sin\theta - \mu_d m_A \cos \theta,}\]

ossia, la soluzione del problema.