Leggi della dinamica: 58 Esercizi svolti
Le leggi della dinamica rappresentano uno degli argomenti fondamentali nei corsi di fisica 1, ed è essenziale esercitarsi per comprenderle appieno. In questo articolo troverete 58 esercizi svolti sulle leggi di Newton. Questa raccolta rappresenta una selezione accurata degli esercizi che riteniamo più significativi nei seguenti testi:
- Rosati, Luigi. Fisica Generale (Vol. 1-2). Zanichelli, 1997.
- Mencuccini, C., Silvestrini, G. Fisica (Vol. 1-2). Liguori Editore, 2000.
- Mazzoldi, P., Nigro, M., Voci, C. Elementi di Fisica (Vol. 1-3). Edises, 2004.
- Resnick, R., Halliday, D., Walker, J. Fundamentals of Physics (10th Edition). Wiley, 2013.
- Goldstein, H. Classical Mechanics (3rd Edition). Addison-Wesley, 2001.
- Griffiths, D.J. Introduction to Electrodynamics (4th Edition). Cambridge University Press, 2017.
- Landau, L.D., Lifshitz, E.M. Mechanics (Vol. 1 of Course of Theoretical Physics). Pergamon Press, 1976.
Oltre ai testi di riferimento tradizionali, abbiamo integrato la raccolta con esercizi selezionati da prove d’esame di vari docenti universitari, arricchendola ulteriormente con problemi originali elaborati dal nostro team di esperti.
Gli esercizi sono progettati per studenti di ingegneria, fisica e matematica che seguono il corso di Fisica 1, oltre che per appassionati della materia. La collezione include problemi di varia difficoltà: dai più semplici a quelli complessi, che richiedono una riflessione prolungata per giungere alla soluzione. È una risorsa preziosa che offre stimoli anche agli esperti del settore, grazie alla presenza di esercizi particolarmente sfidanti.
Il capitolo successivo, coerentemente con l’ordine didattico, è dedicato alla Dinamica del punto materiale: Lavoro ed energia in Meccanica classica, dove potrete trovare 82 esercizi svolti, selezionati con la medesima cura.
Potete accedere all’intero corso di meccanica classica, risultato del materiale prodotto dal nostro team negli ultimi 4 anni. Ulteriori dettagli sugli autori e i revisori sono disponibili nella sezione dedicata alla fisica.
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Ottieni il documento contenente 58 esercizi risolti, contenuti in 160 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione della Meccanica Newtoniana.
Autori e revisori
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Introduzione
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Testi degli esercizi
Leggi della dinamica: esercizio 1
Esercizio 1 . Il sistema in figura 1 è composto da due masse kg e kg in equilibrio. Se la forza di attrito statico tra il blocco di massa e il piano di appoggio è massima, quanto vale il coefficiente di attrito statico?
Figura 1: schema del problema leggi della dinamica 1.
Leggi della dinamica: esercizio 2
Esercizio 2 . Due corpi di masse e , collegati da un filo, scendono lungo un piano inclinato di un angolo . Tra e il piano non c’è attrito mentre tra e il piano c’è attrito. Calcolare che valore deve avere il coefficiente di attrito affinchè il moto sia rettilineo uniforme.
Figura 2: schema del problema leggi della dinamica 2.
Leggi della dinamica: esercizio 3
Esercizio 3 . Due masse e collegate da un filo possono scorrere su un piano inclinato liscio. Ad è applicata una forza variabile, diretta come in figura 3, di modulo N/s (con espresso in secondi). Sapendo che il filo sopporta una tensione massima di modulo , determinare l’istante di rottura del filo.
Nota. Supporre il filo inestensibile e di massa trascurabile e trascurare ogni tipo di attrito.
Figura 3: schema del problema leggi della dinamica 3.
Leggi della dinamica: esercizio 4
Esercizio 4 . Un punto materiale di massa è collegato da un filo , inestensibile e di massa trascurabile, ad un punto fisso , e ad un punto materiale di massa tramite un filo , inestensibile e di massa trascurabile. I fili e hanno lunghezza rispettivamente e . Il sistema, che sta in un piano orizzontale, ruota con velocità angolare costante attorno al punto fisso . Si trascuri ogni forma di attrito. Si richiede di trovare i moduli delle tensioni dei due fili.
Figura 4: schema del problema leggi della dinamica 4.
Leggi della dinamica: esercizio 5
Esercizio 5 Due masse e sono posizionate su un piano inclinato con angolo . I coefficienti di attrito dinamico tra i blocchi e e il piano sono rispettivamente e , con . Le masse sono collegate da un filo di lunghezza .
All’istante , la massa inizia a scivolare lungo il piano. All’istante , il filo si tende e la massa comincia a muoversi. Da quel momento, entrambe le masse si muovono con velocità costante.
Si richiede di calcolare:
- Valori dei coefficienti di attrito. Il coefficiente di attrito in funzione di , , e , mentre va espresso in funzione di , , , , e .
- La tensione del filo in funzione di , , , e .
Figura 5: schema del problema leggi della dinamica 5.
Leggi della dinamica: esercizio 6
Esercizio 6 . Sul doppio piano inclinato con e , sono posti due carrelli e , riempiti di sabbia in modo tale che valga . I due carrelli sono collegati tramite una fune inestensibile e di massa trascurabile che scorre su una carrucola, anch’essa di massa trascurabile, posta in cima al piano. Il lato sinistro del piano (a contatto con ) è liscio, mentre il lato destro (a contatto con ) è scabro. Inizialmente il sistema è fermo. Determinare il minimo coefficiente di attrito statico affinché ci sia equilibrio tra il piano e . Successivamente si sposta della sabbia da a e viene messo in moto il sistema. Calcolare, in funzione di , la quantità massima di sabbia che si può spostare affinché scenda con velocità costante, supponendo .
Figura 6: schema del problema leggi della dinamica 6.
Leggi della dinamica: esercizio 7
Esercizio 7 . Due masse puntiformi ed , collegate da un filo ideale di lunghezza e massa trascurabile, sono poggiate su una superficie sferica perfettamente liscia di raggio , come mostrato in figura 7. Gli angoli e sono quelli che la congiungente con la massa ed rispettivamente forma con l’orizzontale come rappresentato in figura. Se il sistema è in equilibrio dimostrare che vale la seguente relazione:
(1)
Figura 7: schema del problema leggi della dinamica 7.
Leggi della dinamica: esercizio 8
Esercizio 8 . Una molla di costante elastica ha un estremo fissato ad un supporto verticale mentre l’altro estremo è collegato ad un blocco di massa , a contatto con un blocco B di massa . La molla inizialmente è compressa di una quantità e il sistema si trova in quiete su un piano orizzontale liscio. Ad un certo istante, la molla viene lasciata libera di espandersi. Calcolare:
1) l’istante di tempo in cui i due blocchi si separano;
2) la velocità di in quell’istante;
3) la massima compressione della molla successivamente al distacco di ;
4) l’istante di tempo in cui si è verificato.
Figura 8: schema del problema leggi della dinamica 8.
Leggi della dinamica: esercizio 9
Esercizio 9 . Una forza costante in modulo, direzione e verso spinge un blocco di massa contro una parete verticale (si veda la figura 9). La parete ha un coefficiente di attrito statico e un coefficiente di attrito dinamico , con . Inizialmente, il blocco è fermo. Scrivere la condizione affinché il corpo rimanga fermo. Inoltre, scegliendo un opportuno sistema di riferimento inerziale, esprimere la forza esercitata sul blocco dalla parete in termini di versori. Successivamente, supporre che la forza non sia sufficiente a mantenere il blocco fermo. Determinare l’accelerazione di rispetto a un sistema di riferimento inerziale, supponendo che .
Figura 9: schema del problema leggi della dinamica 9.
Leggi della dinamica: esercizio 10
Esercizio 10 . Un blocco di massa è spinto contro una parete orizzontale da una forza costante in modulo, direzione e verso, come in figura 10. Si supponga che la parete sia scabra, con coefficiente di attrito dinamico e che la forza formi un angolo con un asse orizzontale, parallelo al piano, come in figura 10. Assumendo che il blocco strisci contro la parete, determinare l’accelerazione di rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.
Figura 10: schema del problema leggi della dinamica 10.
Leggi della dinamica: esercizio 11
Esercizio 11 . Un blocco di massa scende lungo un piano inclinato scabro con pendenza . Il blocco di massa per arrivare alla fine del piano inclinato impiega un tempo , mentre nell’ipotesi che il piano fosse liscio impiegherebbe un tempo . Si richiede di determinare il valore del coefficiente di attrito dinamico .
Figura 11: schema del problema leggi della dinamica 11.
Leggi della dinamica: esercizio 12
Esercizio 12 . I blocchi e in figura 12 hanno massa rispettivamente e . Determinare la massa minima del blocco da collocare su per impedirne lo slittamento, sapendo che fra e il piano di appoggio il coefficiente di attrito statico è . Successivamente si toglie il blocco , sapendo che il coefficiente di attrito dinamico è determinare l’accelerazione del sistema.
Per risolvere il problema, si ipotizzi che la corda sia di massa trascurabile e che tra la carrucola e la corda non ci sia attrito. Inoltre, si supponga e .
Figura 12: schema del problema leggi della dinamica 12.
Leggi della dinamica: esercizio 13
Esercizio 13 . Una massa è posta sopra una massa . Le due masse sono collegate da una fune inestensibile e di massa trascurabile tramite una carrucola. Una terza massa è collegata alla massa da una fune inestensibile e di massa trascurabile tramite una seconda carrucola, come illustrato in figura 13. Tutte le superfici di contatto sono scabre, con coefficiente di attrito dinamico . Calcolare:
- il valore del modulo dell’accelerazione di ciascuna delle tre masse;
- il modulo della tensione della fune che collega ad ;
- il modulo della tensione della fune che collega ad ;
- il vettore risultante che agisce sul terreno su cui giace .
Si trascuri l’attrito tra funi e carrucole.
Figura 13: schema del problema leggi della dinamica 13.
Leggi della dinamica: esercizio 14
Esercizio 14 . Un corpo di massa poggia su un piano inclinato formante un angolo con l’orizzontale. Il coefficiente d’attrito statico tra corpo e piano è pari a . Determinare il valore minimo e massimo della forza orizzontale che occorre applicare al corpo per mantenerlo in equilibrio statico. Supporre .
Figura 14: schema del problema leggi della dinamica 14.
Leggi della dinamica: esercizio 15
Esercizio 15 . Due corpi e entrambi di massa sono legati tra loro mediante un filo ideale (massa trascurabile ed inestensibile) al quale è agganciato un corpo di massa , come illustrato in figura 15. Il corpo è vincolato in una posizione tale per cui la direzione individuata dalla congiungente tra e formi un angolo con la direzione della congiungente tra ed ; analogamente la direzione della congiungente tra e formi un angolo con la direzione della congiungente tra e . I piani orizzontali su cui giacciono i corpi e sono entrambi scabri con coefficiente di attrito statico e rispettivamente. Supporre che entrambi i piani orizzontali si trovino allo stesso livello rispetto al suolo. Calcolare il massimo valore per la massa del corpo per cui il sistema rimaga in equilibrio.
Durante lo svolgimento del problema supporre che e .
Figura 15: schema del problema leggi della dinamica 15.
Leggi della dinamica: esercizio 16
Esercizio 16 . Due corpi di massa ed si trovano su un piano inclinato fisso formante un angolo con l’orizzontale, come mostrato nella figura 16. Il coefficiente di attrito statico relativo al contatto tra e il piano inclinato è pari a , mentre per non c’è attrito. Determinare il valore massimo di per cui il sistema rimane in quiete.
Figura 16: schema del problema leggi della dinamica 16.
Leggi della dinamica: esercizio 17
Esercizio 17 . Si abbiano due corpi e di massa rispettivamente kg e kg. Il corpo poggia su un piano orizzontale liscio ed è collegato tramite una molla, di costante elastica N/m e lunghezza a riposo cm, ad un vincolo fisso e tramite un filo inestensibile al corpo . Inizialmente (istante ) il corpo è mantenuto in quiete da un’opportuna forza esterna che comprime la molla di una quantità pari a . Ad un certo istante la forza esterna viene rimossa, si determini:
- la pulsazione del moto armonico compiuto dal sistema;
- lo spostamento massimo di rispetto al vincolo ;
- i valori massimo e minimo della tensione del filo.
Considerare la molla ideale, trascurare la massa della molla, della carrucola e del filo, assumere che il filo sia inestensibile e trascurare ogni tipo di attrito.
Figura 17: schema del problema leggi della dinamica 17.
Leggi della dinamica: esercizio 18
Esercizio 18 . Una massa è collegata tramite due molle ideali, di costanti elastiche e , e lunghezza a riposo , nei modi illustrati nella figura: in parallelo (fig. 18a) e in serie (fig. 18b). Dimostrare che la prima configurazione ha una frequenza di oscillazione non inferiore al doppio di quella della seconda configurazione.
Figura 18b: configurazione con le molle in serie.
Leggi della dinamica: esercizio 19
Esercizio 19 . Un corpo di massa è appoggiato su un piano orizzontale liscio è attaccato ad una molla di costante elastica . Sopra è poggiato un secondo corpo di massa ; il coefficiente di attrito statico tra i due è . Calcolare di quanto è possibile, con un’opportuna forza esterna, estendere la molla dalla posizione di riposo affinché il corpo non si muova rispetto a .
Figura 19: schema del problema leggi della dinamica 19.
Leggi della dinamica: esercizio 20
Esercizio 20 . Un blocco di massa kg è posto su di un piano inclinato e su di esso è applicata la forza orizzontale di intensità N, come in figura 20. Il piano inclinato è scabro, e il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e piano è . Il coefficiente di attrito statico non è dato (ma per risolvere questo problema non vi occorre averne una conoscenza troppo precisa). Se il piano è inclinato di un angolo rispetto all’orizzontale, rispondere ai seguenti punti:
- qual è l’accelerazione del blocco se scivola verso l’alto?
- Con la forza sempre applicata, quanto salirà lungo il piano partendo da una velocità iniziale di ?
- Che cosa avverrà dopo che il blocco avrà raggiunto il punto più alto?
Figura 20: schema del problema leggi della dinamica 20.
Leggi della dinamica: esercizio 21
Esercizio 21 . Due punti materiali e , ciascuno di massa , sono vincolati a scorrere senza attrito lungo due binari in un piano orizzontale che formano tra di loro un angolo fisso e che giacciono su un piano orizzontale. I due punti materiali sono connessi da una molla ideale, di lunghezza a riposo nulla, di costante elastica , e di massa trascurabile. Le due masse si muovono in modo da mantenere le rispettive distanze dal punto di giunzione dei due binari uguali tra loro. Calcolare:
- Il modulo della forza esercitata dalla molla su ciascuna massa quando le masse distano dal punto in comune dei due binari;
- il periodo del moto quando le masse vengono messe ad una distanza generica dal punto di intersezione delle due guide.
Si trascuri ogni forma di attrito e supporre che quando i due punti si urtino nel punto di intersezione delle due guide non ci sia dissipazione di energia. In altri termini, supporre che il moto sia periodico anche se sussiste un urto nella posizione di equilibrio , ovvero quando i due punti materiali si incontrano nel punto di intersezione tra le due guide.
Figura 21: schema del problema leggi della dinamica 21.
Leggi della dinamica: esercizio 22
Esercizio 22 . Due corpi e di piccole dimensioni, ciascuno di massa , si trovano su un piano orizzontale liscio e sono collegati da una molla di costante elastica e lunghezza a riposo trascurabile. Due molle, uguali alla precedente, collegano a un punto fisso e a un secondo punto fisso , con .
- Si determinino le posizioni di equilibrio di e .
Si sposta dalla posizione di equilibrio, avvicinandolo a di un tratto , e viene portato nella sua nuova posizione di equilibrio.
- Si determinino le leggi orarie di e se i due corpi vengono contemporaneamente lasciati liberi di muoversi, scegliendo opportunamente un sistema di riferimento inerziale.
Si consideri il sistema vincolato a muoversi solo lungo il segmento .
Figura 22: schema del problema leggi della dinamica 22.
Leggi della dinamica: esercizio 23
Esercizio 23 . Il blocco della figura 23 ha massa , sta fermo su un piano inclinato scabro formante un angolo con il piano orizzontale, e su di esso è applicata una forza diretta come in figura 23. Inoltre, siano e rispettivamente i coefficienti d’attrito statico e dinamico del piano inclinato.
- Qual è l’intensità minima che deve possedere la forza , parallela al piano, per impedire al blocco di scivolare giù?
- Qual è la minima intensità della forza richiesta per farlo partire verso l’alto?
- Qual è l’intensità minima che deve possedere la forza per far scivolare il blocco verso l’alto a velocità costante?
Figura 23: schema del problema leggi della dinamica 23.
Leggi della dinamica: esercizio 24
Esercizio 24 . Due blocchi sono a contatto su una superficie priva di attrito. A uno dei blocchi è applicata una forza orizzontale , come rappresentato in figura 24.
- Per kg, kg e N, si determini la forza di contatto fra i due blocchi.
- Dimostrate che, applicando la stessa forza (in verso contrario) a invece che a , la forza di contatto fra i blocchi diventerebbe N, diversa da quella ricavata nel punto precedente. Si cerchi di spiegarne il motivo.
Figura 24: schema del problema leggi della dinamica 24.
Leggi della dinamica: esercizio 25
Esercizio 25 . Un blocco di massa poggia su un piano inclinato scabro, con coefficiente di attrito dinamico , e formante un angolo con il piano orizzontale sui cui poggia. Il blocco è collegato tramite un filo, inestensibile e di massa trascurabile, ad una carrucola. La carrucola è collegata ad un blocco di massa . La situazione geometrica è rappresentata in figura 25. Si supponga che tra filo e carrucola non ci sia attrito e che il sistema sia inizialmente in quiete. Si richiede di determinare la massa affinché scenda giù per il piano inclinato a velocità di modulo costante.
Figura 25: schema del problema leggi della dinamica 25.
Leggi della dinamica: esercizio 26
Esercizio 26 . Un punto materiale di massa è situato sul piano di una slitta, assimilabile a un parallelepipedo di massa (si veda la figura 26) che si sta muovendo con una velocità su un piano orizzontale liscio e senza attrito. La velocità è parallela al piano orizzontale, come in figura 26. Fra punto materiale e piano della slitta c’è attrito, con coefficiente di attrito statico . Ad un certo istante la slitta colpisce una molla ideale orizzontale di costante elastica , fissata ad un muro verticale che fa decelerare il sistema fino a fermarlo. Determinare il massimo valore di affinché il punto materiale resti fermo rispetto alla slitta durante la decelerazione. Si ipotizzi che nell’urto con la molla sia elastico.
Figura 26: schema del problema leggi della dinamica 26.
Leggi della dinamica: esercizio 27
Esercizio 27 . Una massa su uno scivolo inclinato di rispetto all’orizzontale è collegata, tramite un filo inestensibile di massa trascurabile, a una massa appoggiata su una superficie orizzontale, secondo lo schema della figura 27; si assuma puleggia e superficie prive di attrito. Se la direzione, il verso e il modulo della forza è costante, qual è la tensione della corda di collegamento?
Figura 27: schema del problema leggi della dinamica 27.
Leggi della dinamica: esercizio 28
Esercizio 28 . Nella figura 28 vediamo una cassa di massa kg spinta a velocità costante su per una rampa inclinata di , priva di attrito.
- Qual è il modulo della forza orizzontale è richiesta?
- Che forza esercita la cassa sulla rampa?
Figura 28: schema del problema leggi della dinamica 28.
Leggi della dinamica: esercizio 29
Esercizio 29 . Una moneta di massa è ferma su un disco che ruota attorno ad un asse verticale passante per il suo centro con una velocità angolare costante, di modulo . La moneta si trova ad una distanza dal centro del disco. La superficie sul quale si trova la moneta è scabra e il coefficiente d’attrito statico è . Calcolare:
- la forza d’attrito agente sulla moneta ;
- il valore massimo di per cui la moneta continua a muoversi di moto circolare uniforme, senza “schizzare” via.
Figura 29: schema del problema leggi della dinamica 29.
Leggi della dinamica: esercizio 30
Esercizio 30 . I due blocchi della figura 30, di massa e , non sono saldati fra loro e sono spinti tra di loro tramite una forza , orientata come in figura 30. La superficie tra i blocchi è scabra e ha coefficiente di attrito statico pari a , mentre la superficie orizzontale su cui appoggia è priva di attrito. Qual è l’intensità minima della forza orizzontale necessaria per tenere contro , tale per cui non scivoli verso il basso, e il sistema sia libero di muoversi lungo il piano orizzontale? Si consideri ed come due punti materiali.
Figura 30: schema del problema leggi della dinamica 30.
Leggi della dinamica: esercizio 31
Esercizio 31 . La figura 31 mostra una massa , che percorre una circonferenza di raggio , su di un piano privo di attrito di un tavolo. La massa è collegata ad una seconda massa , tramite filo inestensibile e di massa trascurabile, che passa attraverso un foro al centro della circonferenza che percorre . Si trovi a quale velocità deve muoversi per impedire la caduta di .
Figura 31: schema del problema leggi della dinamica 31.
Leggi della dinamica: esercizio 32
Esercizio 32 . Siano date due molle ideali di massa trascurabile, con costanti elastiche e , lunghezze a riposo trascurabili, e collegate in serie in posizione verticale ad un soffitto. Una massa viene appesa all’estremità delle due molle in presenza di gravità.
Calcolare il periodo della massa intorno al punto di equilibrio. Si assuma il sistema vincolato a muoversi nella sola direzione verticale.
Figura 32: schema del problema leggi della dinamica 32.
Leggi della dinamica: esercizio 33
Figura 33: schema del problema leggi della dinamica 33.
Leggi della dinamica: esercizio 34
Esercizio 34 . Una cassa di massa a sezione quadrata scende per uno scivolo angolare come indicato nella figura 34. Il coefficiente di attrito dinamico è . Qual è l’accelerazione della cassa in funzione di , e ?
Figura 34: schema del problema leggi della dinamica 34.
Leggi della dinamica: esercizio 35
Esercizio 35 . Tre blocchi, di massa , e , sono collegati fra loro da fili inestensibili di massa trascurabile, come illustrato nella figura 35. I tre blocchi sono tirati verso destra su un piano orizzontale privo di attrito da una forza con direzione parallela al filo e diretta anch’essa verso destra. Si suppongano costanti il modulo, direzione e verso della forza . Inoltre, durante tutto il moto si suppongano i fili sempre tesi durante tutto il moto. Si richiede di calcolare
- il modulo dell’accelerazione di ogni corpo;
- i moduli delle tensioni generate dai fili sulle masse, e .
Si trascuri ogni forma di attrito.
Figura 35: schema del problema leggi della dinamica 35.
Leggi della dinamica: esercizio 36
Esercizio 36 . Siano tre blocchi di massa , e , tale per cui giacca su , ed sia collegato ad tramite un filo inestensibile, e di massa trascurabile, tramite una carrucola. Tutti gli attriti sono trascurabili e si consideri la massa della carrucola trascurabile. Grazie ad un’opportuna forza esterna di direzione, verso e modulo costante, il sistema composto dai tre blocchi entra in movimento. Si determini il valore di affinché la massa rimanga in quiete rispetto a . Il sistema fisico in esame è rappresentato nella figura che segue.
Figura 36: schema del problema leggi della dinamica 36.
Leggi della dinamica: esercizio 37
Esercizio 37 . Si calcoli il periodo di oscillazione di un corpo di massa collegato a due molle di costanti elastiche e , con lunghezze a riposo trascurabili, quando
-
- il sistema si trova nella configurazione illustrata in figura 37a;
- il sistema si trova nella configurazione illustrata in figura 37b.
Si consideri il piano liscio, le molle ideali, con lunghezze a riposo trascurabili, e masse trascurabile.
Figura 37: schema del problema leggi della dinamica 37.
Leggi della dinamica: esercizio 38
Esercizio 38 . Una molla ideale , di lunghezza a riposo trascurabile, e massa trascurabile, è fissata per l’estremo al soffitto, si allunga di quando all’estremo viene appesa una massa . La stessa massa provoca un allungamento di una seconda molla ideale , di lunghezza a riposo trascurabile, e massa trascurabile, fissata al soffitto per l’estremo . Si congiungono le due molle: l’estremo della prima è fissato al soffitto, mentre l’estremo della seconda è saldato all’estremo della prima. All’estremo libero viene agganciata una massa . Calcolare l’allungamento totale del sistema. La situazione descritta è rappresentata in figura 38.
Figura 38: schema del problema leggi della dinamica 38.
Leggi della dinamica: esercizio 39
Esercizio 39 . Una pallina scivola senza attrito dentro un tubicino di lunghezza , dove è una costante con dimensione in metri, partendo con velocità nulla dall’estremità del tubicino posta alla quota rispetto all’altra estremità, in tre configurazioni diverse: (a), (b) e (c).
Si calcoli in quali dei tre casi illustrati in figura 39 la pallina fuoriesce dal tubicino nel minore o maggiore intervallo di tempo. Si assuma che, nel caso (a), il tubicino sia fatto in modo tale di permettere alla pallina di muoversi liberamente all’interno di esso senza mai sbattere o dissipare energia. In altri termini, nel caso (a) il lettore si immagini che tra i due “pezzi” di tubo lunghi siano fatti in modo tale da raccordarsi perfettamente senza far rimbalzare la pallina e farla tornare indietro, cosicché possa proseguire nel tratto orizzontale.
Figura 39: schema del problema leggi della dinamica 39.
Leggi della dinamica: esercizio 40
Esercizio 40 . Un corpo di massa poggia su di un piano orizzontale ed è soggetto ad una forza parallela al piano orizzontale, modulo variabile e direzione costante. Si scelga un sistema di riferimento fisso , con l’asse delle coincidente con il piano orizzontale; rispetto a tale sistema di riferimento si assuma che, il corpo di massa si muova di moto rettilineo e che il modulo della sua quantità di moto sia , con costante avente unità di misura . Tale moto può essere prodotto:
- da una forza dipendente dal tempo;
- da una forza dipendente dalla posizione del corpo, con posizione generica del punto materiale nel sistema di riferimento scelto.
Si determini nei due casi il modulo della forza in funzione del tempo o della posizione. Inoltre, si assuma che, la massa non dipenda dal tempo.
Figura 40: schema del problema leggi della dinamica 40.
Leggi della dinamica: esercizio 41
Esercizio 41 . Un carrello scende lungo un piano inclinato di angolo con accelerazione costante in modulo, direzione parallela al piano inclinato, e verso indicato in figura 41. Sul carrello si trova un corpo di massa , fissato ad una parete del carrello da una molla ideale, di massa trascurabile, lunghezza a riposo non trascurabile e di costante elastica . Si assuma che non ci siano attriti e che il corpo di massa sia in equilibrio rispetto al carrello. Si richiede di calcolare di quanto è deformata la molla rispetto alla posizione di riposo e in che verso avviene la deformazione se oppure se .
Figura 41: schema del problema leggi della dinamica 41.
Leggi della dinamica: esercizio 42
Esercizio 42 . I corpi e hanno rispettivamente massa e mentre la corda che li collega al corpo ha massa trascurabile. Il coefficiente di attrito statico per è mentre per è .
In riferimento ai parametri dati e alla figura 42, supporre che sia verificato quanto segue
(2)
Si calcoli il massimo valore della massa del corpo per cui il sistema rimane in equilibrio.
Figura 42: schema del problema leggi della dinamica 42.
Leggi della dinamica: esercizio 43
Esercizio 43 . Una lastra di massa è appoggiata su un pavimento privo di attrito. Su di essa è collocato un blocco di massa (si veda la figura 43). Fra il blocco e la lastra abbiamo e rispettivamente coefficiente di attrito statico e dinamico. Il blocco di massa è tirato da una forza orizzontale . Determinare le accelerazioni per il blocco e la lastra rispetto ad un sistema di riferimento inerziale nelle seguenti due condizioni:
- il blocco sia fermo rispetto ad ;
- si muove rispetto ad .
Supporre che .
Figura 43: schema del problema leggi della dinamica 43.
Leggi della dinamica: esercizio 44
Esercizio 44 . Due molle di costante elastica e massa trascurabile sono fissate in un piano verticale rispettivamente nei punti e di un sistema di riferimento fisso . Le due molle successivamente vengono allungate e poste a contatto, avendo cosi un punto in comune, al quale viene attaccato un un punto materiale di massa .
Determinare il punto di equilibrio del punto materiale nel piano verticale; successivamente il punto materiale è posto in un punto generico e poi rilasciato con velocità nulla, trovare l’equazione del moto e la sua soluzione.
Figura 44: schema del problema leggi della dinamica 44.
Leggi della dinamica: esercizio 45
Esercizio 45 . Le coordinate polari di un punto che si muove in un piano variano nel tempo secondo la legge , con . Calcolare la velocità del punto nell’istante e dire se il moto avviene sotto l’azione di una forza centrale. La distanza è il segmento che congiunge il punto materiale e un punto fisso nel piano (cioè il centro della possibile forza centrale). Inoltre, è l’angolo che forma con l’asse delle di un sistema di riferimento fisso tale per cui sia il centro della possibile forza centrale.
Leggi della dinamica: esercizio 46
Esercizio 46 . Un corpo di massa è fissato ad una estremità di una molla di massa trascurabile e costante elastica , avente l’altra estremità fissata a una parete fissa; tra il corpo e la superficie d’appoggio c’è attrito. I coefficienti di attrito e sono rispettivamente il coefficiente di attrito statico e il coefficiente di attrito dinamico. All’istante la molla ha lunghezza di riposo, mentre il blocco ha velocità , come indicato in figura 46, di modulo . La velocità è rispetto al piano orizzontale ed è parallela ad esso.
Supponendo che
(3)
si richiede di calcolare
- che spazio percorre il corpo prima di fermarsi;
- che condizione deve valere per il corpo nel primo istante affinché rimanga fermo.
Figura 46: schema del problema leggi della dinamica 46.
Leggi della dinamica: esercizio 47
Esercizio 47 . Da un sistema di riferimento inerziale si osserva un punto materiale di massa soggetto ad una forza planare , dove e sono rispettivamente la posizione lungo l’asse delle del punto materiale e la posizione del punto materiale lungo l’asse delle . Le posizioni e sono nel generico istante . All’istante il punto si trova in e ha velocità pari a . Si richiede di determinare
- le leggi orarie lungo l’asse delle e delle ;
- la traiettoria;
- l’istante di tempo in cui la velocità è massima ed in quale punto del piano si trova il punto materiale .
I dati numerici del problema sono:
Leggi della dinamica: esercizio 48
Esercizio 48 . In un sistema di riferimento fisso è presente un filo inestensibile e di massa trascurabile di lunghezza , con un estremo nel punto e un estremo libero di muoversi al quale è attaccata una massa . Alla massa è a sua volta attaccata una bacchetta di massa trascurabile e di lunghezza . L’estremo della bacchetta si trova sull’asse delle , libero di muoversi. Si richiede di determinare la legge oraria dell’estremo nell’ipotesi che la massa compia delle piccole oscillazioni rispetto al punto di equilibrio stabile , dove è l’angolo che il filo di lunghezza forma con l’asse delle , come rappresentato in figura 48. Supporre che il sistema sia inizialmente fermo e che il filo formi un angolo molto piccolo con l’asse delle .
Figura 48: schema del problema leggi della dinamica 48.
Leggi della dinamica: esercizio 49
Esercizio 49 . In un sistema di riferimento fisso , due circonferenze di raggio , rigide e prive di attrito, sono posizionate in un piano verticale, con i loro centri posizionati rispettivamente in e in come in figura 49. Sulla prima circonferenza è vincolato a muoversi un punto materiale di massa , mentre sulla seconda circonferenza è vincolato a muoversi un punto materiale . I due punti sono collegati da una molla ideale di massa trascurabile, lunghezza a riposo trascurabile e costante . Supponendo i due punti materiali in equilibrio si richiede di trovare l’equazione che determina l’equilibrio del sistema in funzione di e per entrambe le masse, dove e sono gli angoli rappresentati in figura 49. Successivamente, supponendo che si determini e in funzione di , , e . Infine, studiare il caso in cui sia molto grande, molto piccolo e spiegare cosa accade. Inoltre, si supponga le circonferenze fisse.
Figura 49: schema del problema leggi della dinamica 49.
Leggi della dinamica: esercizio 50
Esercizio 50 . In un sistema di riferimento fisso , un punto materiale di massa si muove lungo un piano inclinato fisso di lunghezza e formante un angolo con l’asse delle , come rappresentato in figura 50. Al punto materiale viene attaccata un’asta di lunghezza avente massa trascurabile con estremo vincolato a muoversi lungo l’asse . Si determini e che sono rispettivamente la posizione lungo l’asse delle dell’estremo dell’asta vincolato a muoversi sull’asse delle e la componente lungo l’asse delle della velocità dell’estremo dell’asta vincolato a muoversi lungo l’asse delle . Inoltre, si calcoli esplicitamente il valore che assume quando giunge alla base del piano inclinato. I dati noti del problema sono , e .
Figura 50: schema del problema leggi della dinamica 50.
Leggi della dinamica: esercizio 51
Esercizio 51 . Si consideri un corpo di massa inizialmente fermo sulla sommità di un piano scabro inclinato di un angolo rispetto all’orizzontale di altezza m, come illustrato nella figura 51. All’istante , il corpo viene lasciato cadere. Il corpo arriva alla base del piano inclinato al tempo . A questo istante, la sua velocità ha modulo , direzione parallela al piano e verso che punta verso il suolo. Calcolare il coefficiente di attrito dinamico .
Figura 51: schema del problema leggi della dinamica 51.
Leggi della dinamica: esercizio 52
Esercizio 52 . Un corpo di massa è appoggiato su un piano orizzontale scabro ed è attaccato tramite una molla ideale di costante elastica e massa trascurabile ad una parte verticale, come rappresentato in figura 52. Il coefficiente di attrito statico tra il corpo e il piano vale . Si richiede di calcolare la massima compressione (o allungamento) che deve avere la molla affinché il corpo rimanga in equilibrio.
Figura 52: schema del problema leggi della dinamica 52.
Leggi della dinamica: esercizio 53
Esercizio 53 . Un corpo di massa è vincolato a muoversi lungo una retta ed è soggetto all’azione di una forza costante in modulo, direzione e verso, nell’intervallo di tempo da a . Successivamente la forza decresce linearmente nel tempo (come illustrato in figura 53), annullandosi all’istante . Si richiede di calcolare le velocità del corpo agli istanti e assumendo che al tempo la sua velocità sia nulla.
Figura 53: schema del problema leggi della dinamica 53.
Leggi della dinamica: esercizio 54
Esercizio 54 . Un corpo di massa è collegato a due molle di costanti elastica e , come illustrato in figura 54. Il corpo può muoversi lungo un piano orizzontale privo di attrito, sotto l’azione delle due molle. La configurazione di equilibrio è realizzata quando le due molle sono nelle rispettive condizioni di riposo. Calcolare il periodo di oscillazione.
Figura 54: schema del problema leggi della dinamica 54.
Leggi della dinamica: esercizio 55
Esercizio 55 . Si consideri un corpo di massa kg. Esso viene lasciato cadere, da inizialmente fermo, in acqua. Si osserva che, dopo un certo istante definito come , il corpo scende con velocità costante . Questo quindi accade per ogni istante . Calcolare la costante della forza di attrito viscoso agente sul corpo. Si trascuri la spinta di Archimede.
Leggi della dinamica: esercizio 56
Esercizio 56 . È dato un piano scabro, inclinato di un certo angolo rispetto all’orizzontale. Un corpo di massa è appoggiato sul piano inclinato. Il coefficiente di attrito statico tra il corpo e il piano è . Calcolare il valore massimo dell’angolo di inclinazione del piano affinché il corpo resti in equilibrio per ogni istante .
Figura 56: schema del problema leggi della dinamica 56.
Leggi della dinamica: esercizio 57
Esercizio 57 . Sia data una puleggia che può ruotare senza attrito intorno al suo asse di simmetria mantenuto orizzontale. Intorno alla puleggia è avvolta una fune inestensibile, ai cui estremi sono appesi due corpi di masse kg e rispettivamente. La fune non slitta sulla puleggia e ha una tensione di rottura pari a N. Calcolare il valore massimo della massa affinché la fune non si spezzi.
Figura 57: schema del problema leggi della dinamica 57.
Leggi della dinamica: esercizio 58
Esercizio 58 . Consideriamo una giostra rotante che possiamo modellare come un disco omogeneo. Essa compie una rotazione attorno al proprio asse fisso verticale, che passa per il centro come illustrato nella figura 58.
Vista dall’alto, la giostra ruota in senso antiorario e la sua velocità angolare aumenta nel tempo seguendo la relazione (valida per ),
dove è una costante positiva.
Sul disco è posizionato un baule, modellato come un corpo puntiforme di massa , situato a una distanza dall’asse di rotazione.
Data la condizione di attrito statico con coefficiente tra il baule e la giostra e considerando l’accelerazione gravitazionale , vogliamo determinare l’istante in cui il baule inizia a scivolare sulla giostra in funzione dei parametri , , , , e .
Figura 58: schema del problema leggi della dinamica 58.
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