Esercizi svolti sulle frazioni algebriche

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Questa raccolta comprende 50 esercizi svolti sulle frazioni algebriche, risolti con rigore e senza tralasciare alcun passaggio, per guidare lo studente nella risoluzione di ogni singolo esercizio.

Gli esercizi sono strutturati per accompagnare lo studente nella sua preparazione gradualmente: si partirà, infatti, da esercizi più semplici fino ad arrivare a quelli più avanzati, permettendo allo stesso di consolidare le regole acquisite per la semplificazione delle frazioni algebriche.

Prima di iniziare a svolgere gli esercizi, si ricorda che per semplificare una frazione algebrica è necessario saper scomporre il suo numeratore e denominatore. Se dovessero esserci dubbi sulle regole da utilizzare durante le semplificazioni è possibile consultare la nostra guida completa sulla scomposizione dei polinomi attraverso il seguente link: Polinomi: Scomposizione.

Esercizi svolti sulle frazioni algebriche: autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Testi degli esercizi svolti sulle frazioni algebriche

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{(a+b)^2-(x+a)^2}{3(b^2-x^2)}.$

Svolgimento esercizio 1.

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{y^2-y-2}{-y^2+3y-2}.$

Svolgimento esercizio 2.

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{a^3-1}{a^4-a^3+3a^2-3}.$

Svolgimento esercizio 3.

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{x^2-y^2+2x+1}{ax+a+y+x+1+ay}.$

Svolgimento esercizio 4.

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{x^4+x^2-(y^4+y^2)}{x^3+xy^2+x-y(x^2+y^2+1)}.$

Svolgimento esercizio 5.

Esercizio 6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{a^3-1+ax-x}{a^2-1+ax-x}.$

Svolgimento esercizio 6.

Esercizio 7 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{a^2-2a+1+ay-y}{a^2+y^2+1+2ay-2a-2y}.$

Svolgimento esercizio 7.

Esercizio 8 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{(y+2)(b^2-1)+by-y+2b-2}{b^2+b-2}.$

Svolgimento esercizio 8.

Esercizio 9 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{x^8-2x^4+1}{x^3-x^2+x-1}.$

Svolgimento esercizio 9.

Esercizio 10 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{x^{2m}-x^m-6}{x^{2m}-9}.$

Svolgimento esercizio 10.

Esercizio 11 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{x^{3n+m}-6x^{2n+m}+12 x^{n+m}-8x^m}{x^{2n+1}-4x^{n+1}+4x}.$

Svolgimento esercizio 11.

Esercizio 12 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\left(\dfrac{y}{x^2+y^2}-\dfrac{y}{x^2-y^2}\right) \, \left(1-\dfrac{2x^2}{y^2}+\dfrac{x^4}{y^4}\right) \, \left(1+\dfrac{2y^2}{x^2-y^2}\right).$

Svolgimento esercizio 12.

Esercizio 13 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{x^2+3x+2-(a+1)(x+2)}{x^2-2ax+a^2}.$

Svolgimento esercizio 13.

Esercizio 14 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\left(\dfrac{x^2}{1-3x+3x^2-x^3}-\dfrac{x}{x^2-2x+1}+\dfrac{2}{x-1}\right) \cdot \dfrac{x^2-2x+1}{(3x-2)(x+1)}.$

Svolgimento esercizio 14.

Esercizio 15 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\left[ \dfrac{1}{2a+a^{n+1}} : \dfrac{(-2a^n)^2}{4-a^{2n}} - \dfrac{1}{2a^{2n+1}} \right]: \left(-\dfrac{1}{2a^n}\right)^3.$

Svolgimento esercizio 15.

Esercizio 16 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{ab+a+2b+2}{a^2-4}: \left(\dfrac{b^2x-x}{4a-8} : \dfrac{x}{ab-a+b-1}\right).$

Svolgimento esercizio 16.

Esercizio 17 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{4+2a}{a^2-4}+\dfrac{a}{a^2-5a+6}+\dfrac{3}{3-a}+\dfrac{2}{a-2}.$

Svolgimento esercizio 17.

Esercizio 18 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{a+1}{ax+ay-x-y}-\dfrac{a+1}{ax-ay-x+y}+\dfrac{2y}{x^2-y^2}.$

Svolgimento esercizio 18.

Esercizio 19 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\left[\dfrac{2+x}{2-x}-\dfrac{4a+2ax}{4a-4ax+ax^2}+\dfrac{2x^2}{(x-2)^2}\right] \cdot \left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}\right)^2.$

Svolgimento esercizio 19.

Esercizio 20 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{(a+b)^2-2(a+b)+1}{(a+b)^2-1} \cdot \left[a+b-1 + \dfrac{4(a+b)}{a+b-1}\right].$

Svolgimento esercizio 20.

Esercizio 21 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\left(\dfrac{a+b}{2a-2b}\right)^2 \cdot \dfrac{3a-3b}{a^2+2ab+b^2} \cdot \left(-\dfrac{2}{3}a\right)^2.$

Svolgimento esercizio 21.

Esercizio 22 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{a-2}{(a-1)^2+5-3a} - \dfrac{1}{a-2} - \dfrac{1}{a-3}.$

Svolgimento esercizio 22.

Esercizio 23 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{x^2+3x+xy}{x^2-6x+9} \cdot \dfrac{9-3x}{4xy+12y+4y^2} \cdot \dfrac{4y}{3x}.$

Svolgimento esercizio 23.

Esercizio 24 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\left(\dfrac{x+1}{x^2-3x}-\dfrac{x-1}{x^2+3x}\right) \left(1+\dfrac{3}{x}\right) \left(\dfrac{3}{x}-1\right).$

Svolgimento esercizio 24.

Esercizio 25 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\frac{a^{3}+a^{2}}{a^{2}+5 a}-\frac{a^{3}-5 a^{2}}{a^{3}-25 a}-\frac{a^{2}+1}{2 a+10}.$

Svolgimento esercizio 25.

Esercizio 26 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\frac{a-1}{a+1}-\frac{2 a^{2}}{a^{2}-1}-\frac{a+1}{1-a}.$

Svolgimento esercizio 26.

Esercizio 27 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\frac{2 x}{a^{2}+2 a+1-x^{2}}+\frac{1}{a+x+1}.$

Svolgimento esercizio 27.

Esercizio 28 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\frac{y+2 a}{2 a y-4 a^{2}}+\frac{1}{2 a-y}.$

Svolgimento esercizio 28.

Esercizio 29 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\frac{1}{y-x}+\frac{x}{x y-y^{2}}.$

Svolgimento esercizio 29.

Esercizio 30 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{y^2}{y^3+8}-\dfrac{y}{y^2-2y+4}+\dfrac{1}{y+2}.$

Svolgimento esercizio 30.

Esercizio 31 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{2a+b}{a-b}-\dfrac{b}{3a+3b}-\dfrac{4b(b+2a)}{3(a^2-b^2)}.$

Svolgimento esercizio 31.

Esercizio 32 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\left(\frac{2 x^{2}}{x+1}-x\right) \cdot\left(x-\frac{1+2 x-x^{3}}{1-x^{2}}\right).$

Svolgimento esercizio 32.

Esercizio 33 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2 \cdot \left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2 \cdot \dfrac{2a^2}{a^4-1}.$

Svolgimento esercizio 33.

Esercizio 34 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{\dfrac{x+a}{x-a}-\dfrac{x-a}{x+a}}{1-\dfrac{x-a}{x+a}}.$

Svolgimento esercizio 34.

Esercizio 35 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}}.$

Svolgimento esercizio 35.

Esercizio 36 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{\dfrac{ab+a^2-a}{3-a^2}}{\dfrac{a^2+b^2-1+2ab}{27-9a^2}}.$

Svolgimento esercizio 36.

Esercizio 37 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{\dfrac{(x+y)(a-1)}{4a-8}}{(a-1)\cdot \dfrac{x+y}{a^2-4}}.$

Svolgimento esercizio 37.

Esercizio 38 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{b^2+1}{1-3b+3b^2-b^3}+\dfrac{1}{b-1}.$

Svolgimento esercizio 38.

Esercizio 39 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\left[\left(\dfrac{x+1}{x^2-2x}-\dfrac{1}{x-2}\right)\cdot \left(\dfrac{x-1}{x^2+2x}-\dfrac{1}{x+2}\right) \cdot (x^2-4) + \dfrac{1}{x^2}\right]^{-2}.$

Svolgimento esercizio 39.

Esercizio 40 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{2ax-2bx-a+b}{a^2x-abx+b^2x} : \dfrac{ax+bx}{a^3+b^3}: \dfrac{2ax+2bx-a-b}{ax^2-bx^2}.$

Svolgimento esercizio 40.

Esercizio 41 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{4a^2-4b^2}{6a^2-12ab+6b^2} - \dfrac{a}{2a-2b} + \dfrac{b}{3a-3b}.$

Svolgimento esercizio 41.

Esercizio 42 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{x^4-y^4}{x^2-xy+y^2} : \left[\dfrac{x^2+y^2}{x^3+y^3} \cdot \left(\dfrac{x+y}{x-y}\right)^2\right].$

Svolgimento esercizio 42.

Esercizio 43 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\left[\left(\dfrac{x}{x^2y+1}+\dfrac{x}{x^2y-1}\right):\left(\dfrac{x}{x^2y+1}-\dfrac{x}{x^2y-1}\right)+y\right]:(x^2-1).$

Svolgimento esercizio 43.

Esercizio 44 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{4}{a^2+y^2}\right) \left(\dfrac{a+y}{a^2-ay}+\dfrac{a-y}{a^2+ay}\right):\left(\dfrac{a}{y}-\dfrac{y}{a}\right).$

Svolgimento esercizio 44.

Esercizio 45 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{\dfrac{1}{b-5}+\dfrac{1}{b-4}}{\dfrac{1}{b-5}-\dfrac{1}{b-4}}:\dfrac{2bx+2by-9x-9y}{x^2-y^2}.$

Svolgimento esercizio 45.

Esercizio 46 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\left[\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{a-1}}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{a-1}}\right]:\left(\dfrac{a^2-2a+1}{a}-\dfrac{a^2-2a+1}{a-2}\right).$

Svolgimento esercizio 46.

Esercizio 47 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\left[\left(\dfrac{y}{x}-\dfrac{x}{y}-\dfrac{x+y}{x-y}\right):\dfrac{y^3-xy^2+x^2y}{x^2-xy}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y^2}\right] \cdot \dfrac{y^2}{1-x^2}.$

Svolgimento esercizio 47.

Esercizio 48 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate tutte le condizioni di esistenza:

$\dfrac{\dfrac{2a}{b}+\dfrac{b}{2a}}{\dfrac{2a}{b}-\dfrac{b}{2a}}-a \left(\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2a-b}+\dfrac{2b}{4a^2-b^2}\right).$

Svolgimento esercizio 48.

Esercizio 49 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\left\{ \left[\left(1-\dfrac{1}{x}\right):\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\right]^2-\dfrac{x^2}{x^2+2x+1}\right\}:\dfrac{1}{x^2-1}.$

Svolgimento esercizio 49.

Esercizio 50 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

$\dfrac{\dfrac{4}{a^{2n}-a^n-2} : \left(\dfrac{1}{a^{2n}-3a^n+2}+\dfrac{1}{a^{2n}-a^n-2} - \dfrac{2a^m}{a^m-a^{2n+m}}\right)}{\dfrac{a^n+1}{2a^n-2}: \left(\dfrac{2a^{2n}-3a^n+1}{a^{3n}-3a^{2n}+3a^n-1}-\dfrac{a^n}{a^{2n}-2a^n+1}-\dfrac{a^{n+m}}{a^m-a^{n+m}}\right)}.$

Svolgimento esercizio 50.

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.

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