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Frazioni algebriche – Esercizio 48

Frazioni algebriche

Home » Frazioni algebriche – Esercizio 48

In questo quarantottesimo articolo sulle frazioni algebriche, presentiamo un espressione completamente risolta sull’argomento. Segnaliamo anche il precedente Frazioni algebriche – Esercizio 47 e il successivo Frazioni algebriche – Esercizio 49 per ulteriore materiale sulle frazioni algebriche.
Buona lettura!

 

Esercizio 48 (\bigstar\bigstar\bigstar). Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate tutte le condizioni di esistenza:

\[\dfrac{\dfrac{2a}{b}+\dfrac{b}{2a}}{\dfrac{2a}{b}-\dfrac{b}{2a}}-a \left(\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2a-b}+\dfrac{2b}{4a^2-b^2}\right).\]

Svolgimento.

Scomponiamo il denominatore dell’ultima frazione a partire da destra essendo differenza di due quadrati

\[4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b)\]

quindi

\[\begin{aligned} & \dfrac{\dfrac{2a}{b}+\dfrac{b}{2a}}{\dfrac{2a}{b}-\dfrac{b}{2a}}-a \left(\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2a-b}+\dfrac{2b}{4a^2-b^2}\right) = \\\\ & = \dfrac{\dfrac{4a^2+b^2}{2ab}}{\dfrac{4a^2-b^2}{2ab}}-a \left(\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2a-b}+\dfrac{2b}{(2a-b)(2a+b)}\right) = \\\\ & = \dfrac{4a^2+b^2}{4a^2-b^2} - a \; \dfrac{2a-b+2a+b+2b}{(2a-b)(2a+b)} = \\\\ & = \dfrac{4a^2+b^2}{4a^2-b^2}-a \; \dfrac{4a+2b}{(2a-b)(2a+b)}. \end{aligned}\]

Sfruttando ancora la differenza di due quadrati abbiamo

\[\begin{aligned} & = \dfrac{4a^2+b^2}{(2a-b)(2a+b)}-a \dfrac{4a+2b}{(2a-b)(2a+b)} = \\\\ & = \dfrac{4a^2+b^2-4a^2-2ab}{(2a-b)(2a+b)} = \\\\ & = \dfrac{b(b-2a)}{(2a-b)(2a+b)} = \\\\ & = \dfrac{-b}{2a+b}. \end{aligned}\]

 


Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
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