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Frazioni algebriche – Esercizio 48

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Esercizio. (\bigstar\bigstar\bigstar)

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

    \[\left\{ \left[\left(1-\dfrac{1}{x}\right):\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\right]^2-\dfrac{x^2}{x^2+2x+1}\right\}:\dfrac{1}{x^2-1}\]

 

Soluzione. 
Scomponiamo il denominatore dell’ultima frazione a partire da destra essendo differenza di due quadrati

    \[4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b)\]

quindi

    \[\begin{aligned} & \dfrac{\dfrac{2a}{b}+\dfrac{b}{2a}}{\dfrac{2a}{b}-\dfrac{b}{2a}}-a \left(\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2a-b}+\dfrac{2b}{4a^2-b^2}\right) = \\\\ & = \dfrac{\dfrac{4a^2+b^2}{2ab}}{\dfrac{4a^2-b^2}{2ab}}-a \left(\dfrac{1}{2a+b}+\dfrac{1}{2a-b}+\dfrac{2b}{(2a-b)(2a+b)}\right) = \\\\ & = \dfrac{4a^2+b^2}{4a^2-b^2} - a \; \dfrac{2a-b+2a+b+2b}{(2a-b)(2a+b)} = \\\\ & = \dfrac{4a^2+b^2}{4a^2-b^2}-a \; \dfrac{4a+2b}{(2a-b)(2a+b)} \end{aligned}\]

Sfruttando ancora la differenza di due quadrati abbiamo

    \[\begin{aligned} & = \dfrac{4a^2+b^2}{(2a-b)(2a+b)}-a \dfrac{4a+2b}{(2a-b)(2a+b)} = \\\\ & = \dfrac{4a^2+b^2-4a^2-2ab}{(2a-b)(2a+b)} = \\\\ & = \dfrac{b(b-2a)}{(2a-b)(2a+b)} = \\\\ & = \dfrac{-b}{2a+b} \end{aligned}\]

 


Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi