Frazioni algebriche – Esercizio 47

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\bigstar)

Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:

    \[\left[\left(\dfrac{y}{x}-\dfrac{x}{y}-\dfrac{x+y}{x-y}\right):\dfrac{y^3-xy^2+x^2y}{x^2-xy}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y^2}\right] \cdot \dfrac{y^2}{1-x^2}\]

 

Soluzione. 
Procediamo come segue

    \[\begin{aligned} & \left[\left(\underbrace{\dfrac{y}{x}-\dfrac{x}{y}-\dfrac{x+y}{x-y}}_{\text{facciamo mcm}}\right):\dfrac{\overbrace{y^3-xy^2+x^2y}^{\text{raccoglimento totale}}}{\underbrace{x^2-xy}_{\text{raccoglimento totale}}}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y^2}\right] \cdot \dfrac{y^2}{1-x^2} = \\ & = \left[\dfrac{y^2(x-y)-x^2(x-y)-xy(x+y)}{xy(x-y)} : \dfrac{y(y^2-xy+x^2)}{x(x-y)}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y^2}\right] \cdot \dfrac{y^2}{1-x^2} = \\ & = \left[\left(\dfrac{-(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy(x-y)}\right) \cdot \dfrac{x(x-y)}{y(y^2-xy+x^2)}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y^2}\right] \cdot \dfrac{y^2}{1-x^2} = \\ & = \left[\dfrac{-(x+y)}{y^2} +\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y^2}\right] \cdot \dfrac{y^2}{\underbrace{1-x^2}_{\text{differenza di quadrati}}} = \\ & = \dfrac{-x+1}{y^2} \cdot \dfrac{y^2}{(1-x)(1+x)} = \\ & = \dfrac{1}{1+x} \end{aligned}\]

 


Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi