In questo quarantasettesimo articolo sulle frazioni algebriche, presentiamo un espressione completamente risolta sull’argomento. Segnaliamo anche il precedente Frazioni algebriche – Esercizio 46 e il successivo Frazioni algebriche – Esercizio 48 per ulteriore materiale sulle frazioni algebriche.
Buona lettura!
Esercizio 47 
. Semplificare la seguente espressione assumendo che siano verificate le condizioni di esistenza:
![\[\left[\left(\dfrac{y}{x}-\dfrac{x}{y}-\dfrac{x+y}{x-y}\right):\dfrac{y^3-xy^2+x^2y}{x^2-xy}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y^2}\right] \cdot \dfrac{y^2}{1-x^2}.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de5f732afb302e231ffd837ff0d84786_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento.
Procediamo come segue
![\[\begin{aligned} & \left[\left(\underbrace{\dfrac{y}{x}-\dfrac{x}{y}-\dfrac{x+y}{x-y}}_{\text{facciamo mcm}}\right):\dfrac{\overbrace{y^3-xy^2+x^2y}^{\text{raccoglimento totale}}}{\underbrace{x^2-xy}_{\text{raccoglimento totale}}}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y^2}\right] \cdot \dfrac{y^2}{1-x^2} = \\ & = \left[\dfrac{y^2(x-y)-x^2(x-y)-xy(x+y)}{xy(x-y)} : \dfrac{y(y^2-xy+x^2)}{x(x-y)}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y^2}\right] \cdot \dfrac{y^2}{1-x^2} = \\ & = \left[\left(\dfrac{-(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy(x-y)}\right) \cdot \dfrac{x(x-y)}{y(y^2-xy+x^2)}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y^2}\right] \cdot \dfrac{y^2}{1-x^2} = \\ & = \left[\dfrac{-(x+y)}{y^2} +\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y^2}\right] \cdot \dfrac{y^2}{\underbrace{1-x^2}_{\text{differenza di quadrati}}} = \\ & = \dfrac{-x+1}{y^2} \cdot \dfrac{y^2}{(1-x)(1+x)} = \\ & = \dfrac{1}{1+x}. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8a1a32b5b38914ae02ce478ca06a90f7_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: Moduli di lineamenti di matematica N.Dodero – P.Baroncini – R.Manfredi
Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica
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- Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
- Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
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